Giải SBT Toán 8 KNTT Phép cộng và phép trừ phân thức đại số có đáp án

\(\frac{{{x^2} - 2}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{2 - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{{x^2} - 2 + 2 - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x - 1}}\).

\(\frac{{1 - 2x}}{{6{x^3}y}} + \frac{{3 + 2x}}{{6{x^3}y}} + \frac{{2x - 4}}{{6{x^3}y}}\)

=\(\frac{{1 - 2x + 3 + 2x + 2x - 4}}{{6{x^3}y}}\)

=\(\frac{{2x}}{{6{x^3}y}} = \frac{1}{{3{x^2}y}}\).

\(\frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2} - 3x}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 3x}}\)

= \(\frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2} - 3x}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 3x}}\)

= \(\frac{{2{x^2} - 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 3x}}\)

= \(\frac{{2{x^2} - 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 3x}}\)

= \(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 3x}}\)

= \(\frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{x}{{x - 3}}\).

\(\frac{1}{{2x - 3}} - \frac{{13}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\)

= \(\frac{{4x + 7}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {4x + 7} \right)}} - \frac{{13}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\) (Mẫu thức chung là: (2x – 3)(4x + 7))

= \(\frac{{4x + 7 - 13}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\)

= \(\frac{{4x - 6}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\)

= \(\frac{{2\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\)

= \(\frac{2}{{4x + 7}}\).

\(\frac{{5x + {y^2}}}{{{x^2}y}} - \frac{{5y - {x^2}}}{{x{y^2}}}\)

\( = \frac{{y\left( {5x + {y^2}} \right)}}{{{x^2}{y^2}}} - \frac{{x\left( {5y - {x^2}} \right)}}{{{x^2}{y^2}}}\) (Mẫu thức chung là: x²y²)

\( = \frac{{5xy + {y^3}}}{{{x^2}{y^2}}} - \frac{{5xy - {x^3}}}{{{x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{5xy + {y^3} - 5xy + {x^3}}}{{{x^2}{y^2}}} = \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^2}{y^2}}}\).

\(\frac{y}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{4x}}{{{y^2} - 2xy}}\)=\(\frac{y}{{x\left( {2x - y} \right)}} + \frac{{4x}}{{y\left( {y - 2x} \right)}}\)

=\(\frac{{ - {y^2}}}{{xy\left( {y - 2x} \right)}} + \frac{{4{x^2}}}{{xy\left( {y - 2x} \right)}}\)           (Mẫu thức chung là: xy(y – 2x))

= \(\frac{{ - {y^2} + 4{x^2}}}{{xy\left( {y - 2x} \right)}}\)= \(\frac{{{{\left( {2x} \right)}^2} - {y^2}}}{{xy\left( {y - 2x} \right)}}\) = \(\frac{{\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{xy\left( {y - 2x} \right)}}\)

=\(\frac{{ - \left( {y - 2x} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{xy\left( {y - 2x} \right)}}\) = \(\frac{{ - 2x - y}}{{xy}}\).

\(\frac{5}{{6{x^2}y}} + \frac{7}{{12x{y^2}}} + \frac{{11}}{{18xy}}\)

= \(\frac{{30y}}{{36{x^2}{y^2}}} + \frac{{21x}}{{36{x^2}{y^2}}} + \frac{{22xy}}{{36{x^2}{y^2}}}\)       (Mẫu thức chung là: 36x²y²)

= \(\frac{{30y + 21x + 22xy}}{{36{x^2}{y^2}}}\).

\(\frac{{{x^3} + 2x}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\)

= \(\frac{{{x^3} + 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\)

= \(\frac{{{x^3} + 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)

= \(\frac{{{x^3} + 2x + 2x\left( {x + 1} \right) + {x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)

= \(\frac{{{x^3} + 2x + 2{x^2} + 2x + {x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)

= \(\frac{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)

= \(\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)

= \(\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} - x + 1}}\).

Điều kiện xác định của biểu thức là x ≠ 1, ta có:

\(P = \frac{{{x^4}}}{{1 - x}} + {x^3} + {x^2} + x + 1\)

\( = \frac{{{x^4}}}{{1 - x}} + \frac{{{x^3}\left( {1 - x} \right)}}{{1 - x}} + \frac{{{x^2}\left( {1 - x} \right)}}{{1 - x}} + \frac{{x\left( {1 - x} \right)}}{{1 - x}} + \frac{{1 - x}}{{1 - x}}\)

\( = \frac{{{x^4} + {x^3}\left( {1 - x} \right) + {x^2}\left( {1 - x} \right) + x\left( {1 - x} \right) + \left( {1 - x} \right)}}{{1 - x}}\)

\( = \frac{{{x^4} + {x^3} - {x^4} + {x^2} - {x^3} + x - {x^2} + 1 - x}}{{1 - x}}\)

\( = \frac{1}{{1 - x}}\).

Thay x = –99 vào biểu thức P ta có:

\(P = \frac{1}{{1 - ( - 99)}} = \frac{1}{{100}}\).

Điều kiện xác định của Q là: x ≠ ± 3.

Ta có \(Q = \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 9} \right)}} - \frac{3}{{{x^2} - 6x + 9}} - \frac{x}{{{x^2} - 9}}\)

\( = \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} - \frac{x}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{18}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{18 - 3\left( {x + 3} \right) - x\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{18 - 3x - 9 - {x^2} + 3x}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{ - {x^2} + 9}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}} = \frac{1}{{3 - x}}\).

Thay x = 103 vào Q ta có: Q = \(\frac{1}{{3 - 103}} = \frac{{ - 1}}{{100}}\).

Với a, b, c ≠ 0, ta có:

\(\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}\)

\( = \frac{c}{{abc}} + \frac{a}{{abc}} + \frac{b}{{abc}}\)

\( = \frac{{a + b + c}}{{abc}}\)

Mà a + b + c = 0 nên ta suy ra: \(\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} = \frac{0}{{abc}} = 0\) (điều cần phải chứng minh).

Với x ≠ y, y ≠ z, z ≠ x, ta có:

\(\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)}}\)

\( = \frac{{z - x}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{y - z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}\)

\( = \frac{{z - x + x - y + y - z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = \frac{0}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 0\).

Vậy \(\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)}} = 0\) (điều cần phải chứng minh).

Điều kiện xác định của P là: y ≠ 2, x ≠ 6.

Nếu 3y – x = 6 thì x = 3y – 6. Thay x = 3y – 6 vào biểu thức P ta có:

\(P = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\)

\( = \frac{{3y - 6}}{{y - 2}} + \frac{{2.\left( {3y - 6} \right) - 3y}}{{\left( {3y - 6} \right) - 6}}\)

\( = \frac{{3y - 6}}{{y - 2}} + \frac{{6y - 12 - 3y}}{{3y - 6 - 6}}\)

\( = \frac{{3\left( {y - 2} \right)}}{{y - 2}} + \frac{{3y - 12}}{{3y - 12}} = 3 + 1 = 4\) không đổi với mọi x, y thỏa mãn 3y – x = 6.

Ta có \(\frac{{2x - 6}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}}\)\( = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) - \left( {x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{{x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)}}\)\( = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{{{x^2} - 1}}\).

\(P = \frac{{2x - 6}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}} + \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}}\)

\( = \frac{2}{{{x^2} - 1}} + \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}}\)

\( = \frac{{ - 2}}{{1 - {x^2}}} + \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}}\)

\( = \left( {\frac{{ - 2}}{{1 - {x^2}}} + \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right) - \frac{6}{{x - 3}}\)

\( = \frac{{ - 2 + 2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}}\)

\( = \frac{{ - 2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}}\)

\( = - 2 - \frac{6}{{x - 3}} = - 2 + \frac{{ - 6}}{{x - 3}}\).

Do đó, P có thể viết dưới dạng \(P = a + \frac{b}{{x - 3}}\) trong đó a = –2; b = –6.

Vì \(P = - 2 - \frac{6}{{x - 3}}\) nên để P là số nguyên thì \(\frac{6}{{x - 3}}\) phải là số nguyên.

Suy ra 6 ⋮ (x – 3) hay (x – 3) ∈ Ư(6).

Khi đó (x – 3) ∈ {1; 2; 3; 6; –1; –2; –3; –6}.

Suy ra x ∈ {4; 5; 6; 9; 2; 1; 0; –3}.

Loại x = 1 vì không thỏa mãn điều kiện x ≠ 3, x ≠ 1, x ≠ –1.

Vậy x ∈ {4; 5; 6; 9; 2; 0; –3} thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có:

\(P = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^3} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} - x}} - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\) (x ≠ 0, x ≠ 1)

\( = \frac{{{x^2} + 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{1}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^2} + 2x} \right)x}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^2} + 2x} \right)x - \left( {{x^2} + x + 1} \right) - x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^3} + 2{x^2} - {x^2} - x - 1 - {x^2} + x}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{{x^3} - 1}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)\( = \frac{1}{x}\).

Để P nguyên thì 1 ⋮ x, tức là x ∈ Ư(1).

Suy ra x ∈ Ư(1) = {1; –1}.

Mà điều kiện xác định của P là x ≠ 0, x ≠ 1 nên ta loại trường hợp x = 1.  

Do đó, chỉ có một giá trị x = –1 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Quãng đường tàu đi với vận tốc x (km/h) là: \(900.\frac{1}{3}\)= 300 (km).

Thời gian tàu đi với vận tốc x (km/h) là: \(\frac{{300}}{x}\) (giờ).

Quãng đường tàu đi với vận tốc 12 km/h là: 12 . 3 = 36 (km).

Quãng đường còn lại dài: 900 – 300 – 36 = 564 (km).

Vận tốc tàu đi trên quãng đường 564 km là: x + 5 (km/h).

Thời gian tàu đi quãng đường 564 km là: \(\frac{{564}}{{x + 5}}\) (giờ).

Thời gian thực tế tàu đi là:

\(\frac{{300}}{x} + 3 + \frac{{564}}{{x + 5}} = \frac{{300\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{3x\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{564x}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\)

\( = \frac{{300x + 1500 + 3{x^2} + 15x + 564x}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\)

\( = \frac{{3{x^2} + 879x + 1500}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\) (giờ).

Vậy phân thức tính thời gian thực tế để tàu đi từ cảng A đến cảng B là:

\(\frac{{3{x^2} + 879x + 1500}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\) giờ.

Gọi y (cm) là độ dài đoạn thẳng DE. (y > 0).

Ta có: AB = DE + EF

Vì hình hộp chữ nhật 200 cm³ có diện tích đáy là: (x + 1)x (cm²), từ đó suy ra chiều cao EF = \(\frac{{200}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)  (cm).

Vì hình hộp chữ nhật 500 cm³ có diện tích đáy là: (x + 2)x (cm²), từ đó suy ra chiều cao AB = \(\frac{{500}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\) (cm).

Vì AB = DE + EF

Suy ra DE = AB – EF = \(\frac{{500}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\) – \(\frac{{200}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

= \(\frac{{500\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{200\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

= \(\frac{{500\left( {x + 1} \right) - 200\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{500x + 500 - 200x - 400}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{300x + 100}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\).

Ta lại có:

CB = EF = \(\frac{{200}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) (cm) (vì hai hình hộp chữ nhật bằng nhau có cùng thể tích 200 cm²).

AC = CB + AB = \(\frac{{200}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) + \(\frac{{500}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\)

= \(\frac{{500\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{200\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

= \(\frac{{500\left( {x + 1} \right) + 200\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{500x + 500 + 200x + 400}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{700x + 900}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\).

Vậy phân thức biểu diễn độ dài độ dài các đoạn thẳng DE và AC là

DE =\(\frac{{300x + 100}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) (cm) và AC = \(\frac{{700x + 900}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) (cm).