22 câu hỏi
\(\frac{{{x^2} - 2}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{2 - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{{x^2} - 2 + 2 - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x - 1}}\).
\(\frac{{1 - 2x}}{{6{x^3}y}} + \frac{{3 + 2x}}{{6{x^3}y}} + \frac{{2x - 4}}{{6{x^3}y}}\)
=\(\frac{{1 - 2x + 3 + 2x + 2x - 4}}{{6{x^3}y}}\)
=\(\frac{{2x}}{{6{x^3}y}} = \frac{1}{{3{x^2}y}}\).
\(\frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2} - 3x}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 3x}}\)
= \(\frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2} - 3x}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 3x}}\)
= \(\frac{{2{x^2} - 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 3x}}\)
= \(\frac{{2{x^2} - 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 3x}}\)
= \(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 3x}}\)
= \(\frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{x}{{x - 3}}\).
\(\frac{1}{{2x - 3}} - \frac{{13}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\)
= \(\frac{{4x + 7}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {4x + 7} \right)}} - \frac{{13}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\) (Mẫu thức chung là: (2x – 3)(4x + 7))
= \(\frac{{4x + 7 - 13}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\)
= \(\frac{{4x - 6}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\)
= \(\frac{{2\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\)
= \(\frac{2}{{4x + 7}}\).
\(\frac{{5x + {y^2}}}{{{x^2}y}} - \frac{{5y - {x^2}}}{{x{y^2}}}\)
\( = \frac{{y\left( {5x + {y^2}} \right)}}{{{x^2}{y^2}}} - \frac{{x\left( {5y - {x^2}} \right)}}{{{x^2}{y^2}}}\) (Mẫu thức chung là: x2y2)
\( = \frac{{5xy + {y^3}}}{{{x^2}{y^2}}} - \frac{{5xy - {x^3}}}{{{x^2}{y^2}}}\)
\( = \frac{{5xy + {y^3} - 5xy + {x^3}}}{{{x^2}{y^2}}} = \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^2}{y^2}}}\).
\(\frac{y}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{4x}}{{{y^2} - 2xy}}\)=\(\frac{y}{{x\left( {2x - y} \right)}} + \frac{{4x}}{{y\left( {y - 2x} \right)}}\)
=\(\frac{{ - {y^2}}}{{xy\left( {y - 2x} \right)}} + \frac{{4{x^2}}}{{xy\left( {y - 2x} \right)}}\) (Mẫu thức chung là: xy(y – 2x))
= \(\frac{{ - {y^2} + 4{x^2}}}{{xy\left( {y - 2x} \right)}}\)= \(\frac{{{{\left( {2x} \right)}^2} - {y^2}}}{{xy\left( {y - 2x} \right)}}\) = \(\frac{{\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{xy\left( {y - 2x} \right)}}\)
=\(\frac{{ - \left( {y - 2x} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{xy\left( {y - 2x} \right)}}\) = \(\frac{{ - 2x - y}}{{xy}}\).
\(\frac{5}{{6{x^2}y}} + \frac{7}{{12x{y^2}}} + \frac{{11}}{{18xy}}\)
= \(\frac{{30y}}{{36{x^2}{y^2}}} + \frac{{21x}}{{36{x^2}{y^2}}} + \frac{{22xy}}{{36{x^2}{y^2}}}\) (Mẫu thức chung là: 36x2y2)
= \(\frac{{30y + 21x + 22xy}}{{36{x^2}{y^2}}}\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(\frac{{{x^3} + 2x}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\)
= \(\frac{{{x^3} + 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\)
= \(\frac{{{x^3} + 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)
= \(\frac{{{x^3} + 2x + 2x\left( {x + 1} \right) + {x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)
= \(\frac{{{x^3} + 2x + 2{x^2} + 2x + {x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)
= \(\frac{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)
= \(\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)
= \(\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} - x + 1}}\).
Điều kiện xác định của biểu thức là x ≠ 1, ta có:
\(P = \frac{{{x^4}}}{{1 - x}} + {x^3} + {x^2} + x + 1\)
\( = \frac{{{x^4}}}{{1 - x}} + \frac{{{x^3}\left( {1 - x} \right)}}{{1 - x}} + \frac{{{x^2}\left( {1 - x} \right)}}{{1 - x}} + \frac{{x\left( {1 - x} \right)}}{{1 - x}} + \frac{{1 - x}}{{1 - x}}\)
\( = \frac{{{x^4} + {x^3}\left( {1 - x} \right) + {x^2}\left( {1 - x} \right) + x\left( {1 - x} \right) + \left( {1 - x} \right)}}{{1 - x}}\)
\( = \frac{{{x^4} + {x^3} - {x^4} + {x^2} - {x^3} + x - {x^2} + 1 - x}}{{1 - x}}\)
\( = \frac{1}{{1 - x}}\).
Thay x = –99 vào biểu thức P ta có:
\(P = \frac{1}{{1 - ( - 99)}} = \frac{1}{{100}}\).
Điều kiện xác định của Q là: x ≠ ± 3.
Ta có \(Q = \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 9} \right)}} - \frac{3}{{{x^2} - 6x + 9}} - \frac{x}{{{x^2} - 9}}\)
\( = \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} - \frac{x}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
\( = \frac{{18}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}}\)
\( = \frac{{18 - 3\left( {x + 3} \right) - x\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}}\)
\( = \frac{{18 - 3x - 9 - {x^2} + 3x}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}}\)
\( = \frac{{ - {x^2} + 9}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}} = \frac{1}{{3 - x}}\).
Thay x = 103 vào Q ta có: Q = \(\frac{1}{{3 - 103}} = \frac{{ - 1}}{{100}}\).
Với a, b, c ≠ 0, ta có:
\(\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}\)
\( = \frac{c}{{abc}} + \frac{a}{{abc}} + \frac{b}{{abc}}\)
\( = \frac{{a + b + c}}{{abc}}\)
Mà a + b + c = 0 nên ta suy ra: \(\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} = \frac{0}{{abc}} = 0\) (điều cần phải chứng minh).
Với x ≠ y, y ≠ z, z ≠ x, ta có:
\(\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)}}\)
\( = \frac{{z - x}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{y - z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}\)
\( = \frac{{z - x + x - y + y - z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = \frac{0}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 0\).
Vậy \(\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)}} = 0\) (điều cần phải chứng minh).
Điều kiện xác định của P là: y ≠ 2, x ≠ 6.
Nếu 3y – x = 6 thì x = 3y – 6. Thay x = 3y – 6 vào biểu thức P ta có:
\(P = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\)
\( = \frac{{3y - 6}}{{y - 2}} + \frac{{2.\left( {3y - 6} \right) - 3y}}{{\left( {3y - 6} \right) - 6}}\)
\( = \frac{{3y - 6}}{{y - 2}} + \frac{{6y - 12 - 3y}}{{3y - 6 - 6}}\)
\( = \frac{{3\left( {y - 2} \right)}}{{y - 2}} + \frac{{3y - 12}}{{3y - 12}} = 3 + 1 = 4\) không đổi với mọi x, y thỏa mãn 3y – x = 6.
Ta có \(\frac{{2x - 6}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}}\)\( = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) - \left( {x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{{x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)}}\)\( = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{{{x^2} - 1}}\).
\(P = \frac{{2x - 6}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}} + \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}}\)
\( = \frac{2}{{{x^2} - 1}} + \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}}\)
\( = \frac{{ - 2}}{{1 - {x^2}}} + \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}}\)
\( = \left( {\frac{{ - 2}}{{1 - {x^2}}} + \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right) - \frac{6}{{x - 3}}\)
\( = \frac{{ - 2 + 2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}}\)
\( = \frac{{ - 2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}}} - \frac{6}{{x - 3}}\)
\( = - 2 - \frac{6}{{x - 3}} = - 2 + \frac{{ - 6}}{{x - 3}}\).
Do đó, P có thể viết dưới dạng \(P = a + \frac{b}{{x - 3}}\) trong đó a = –2; b = –6.
Vì \(P = - 2 - \frac{6}{{x - 3}}\) nên để P là số nguyên thì \(\frac{6}{{x - 3}}\) phải là số nguyên.
Suy ra 6 ⋮ (x – 3) hay (x – 3) ∈ Ư(6).
Khi đó (x – 3) ∈ {1; 2; 3; 6; –1; –2; –3; –6}.
Suy ra x ∈ {4; 5; 6; 9; 2; 1; 0; –3}.
Loại x = 1 vì không thỏa mãn điều kiện x ≠ 3, x ≠ 1, x ≠ –1.
Vậy x ∈ {4; 5; 6; 9; 2; 0; –3} thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ta có:
\(P = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^3} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} - x}} - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\) (x ≠ 0, x ≠ 1)
\( = \frac{{{x^2} + 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{1}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\)
\( = \frac{{\left( {{x^2} + 2x} \right)x}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {{x^2} + 2x} \right)x - \left( {{x^2} + x + 1} \right) - x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^3} + 2{x^2} - {x^2} - x - 1 - {x^2} + x}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{{x^3} - 1}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)\( = \frac{1}{x}\).
Để P nguyên thì 1 ⋮ x, tức là x ∈ Ư(1).
Suy ra x ∈ Ư(1) = {1; –1}.
Mà điều kiện xác định của P là x ≠ 0, x ≠ 1 nên ta loại trường hợp x = 1.
Do đó, chỉ có một giá trị x = –1 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Quãng đường tàu đi với vận tốc x (km/h) là: \(900.\frac{1}{3}\)= 300 (km).
Thời gian tàu đi với vận tốc x (km/h) là: \(\frac{{300}}{x}\) (giờ).
Quãng đường tàu đi với vận tốc 12 km/h là: 12 . 3 = 36 (km).
Quãng đường còn lại dài: 900 – 300 – 36 = 564 (km).
Vận tốc tàu đi trên quãng đường 564 km là: x + 5 (km/h).
Thời gian tàu đi quãng đường 564 km là: \(\frac{{564}}{{x + 5}}\) (giờ).
Thời gian thực tế tàu đi là:
\(\frac{{300}}{x} + 3 + \frac{{564}}{{x + 5}} = \frac{{300\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{3x\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{564x}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\)
\( = \frac{{300x + 1500 + 3{x^2} + 15x + 564x}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\)
\( = \frac{{3{x^2} + 879x + 1500}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\) (giờ).
Vậy phân thức tính thời gian thực tế để tàu đi từ cảng A đến cảng B là:
\(\frac{{3{x^2} + 879x + 1500}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\) giờ.
Cho hai hình hộp chữ nhật bằng nhau cùng có thể tích 200 cm3 và một hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 sắp xếp như trong hình bên (độ dài các cạnh hình hộp được tính bằng đơn vị cm). Viết các phân thức biểu thị độ dài (tính bằng cm) của các đoạn thẳng AC và DE.
Gọi y (cm) là độ dài đoạn thẳng DE. (y > 0).
Ta có: AB = DE + EF
Vì hình hộp chữ nhật 200 cm3 có diện tích đáy là: (x + 1)x (cm2), từ đó suy ra chiều cao EF = \(\frac{{200}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) (cm).
Vì hình hộp chữ nhật 500 cm3 có diện tích đáy là: (x + 2)x (cm2), từ đó suy ra chiều cao AB = \(\frac{{500}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\) (cm).
Vì AB = DE + EF
Suy ra DE = AB – EF = \(\frac{{500}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\) – \(\frac{{200}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)
= \(\frac{{500\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{200\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
= \(\frac{{500\left( {x + 1} \right) - 200\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{500x + 500 - 200x - 400}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{300x + 100}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\).
Ta lại có:
CB = EF = \(\frac{{200}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) (cm) (vì hai hình hộp chữ nhật bằng nhau có cùng thể tích 200 cm2).
AC = CB + AB = \(\frac{{200}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) + \(\frac{{500}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\)
= \(\frac{{500\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{200\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
= \(\frac{{500\left( {x + 1} \right) + 200\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{500x + 500 + 200x + 400}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{700x + 900}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\).
Vậy phân thức biểu diễn độ dài độ dài các đoạn thẳng DE và AC là
DE =\(\frac{{300x + 100}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) (cm) và AC = \(\frac{{700x + 900}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) (cm).
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
