Trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 (có đúng sai, trả lời ngắn)
20 câu hỏi
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
(Gồm 10 câu hỏi, hãy chọn phương án đúng duy nhất)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AD\;\left( {D \in BC} \right)\) là đường phân giác của tam giác đó. Khi đó:
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}}.\)
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DC}}{{DB}}.\)
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}.\)
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DC}}{{BC}}.\)
Đáp án đúng là: A
Vì \(AD\) là đường phân giác của \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}}.\)
Tìm \(x\) trong hình vẽ dưới đây: 
\(x = 62\;{\rm{cm}}.\)
\(x = 72\;{\rm{cm}}.\)
\(x = 70\;{\rm{cm}}.\)
\(x = 60\;{\rm{cm}}.\)
Đáp án đúng là: B
Vì \(EM\) là tia phân giác của \(\widehat {DEF}\) trong \(\Delta DEF\) nên \(\frac{{ED}}{{EF}} = \frac{{DM}}{{MF}}.\)
Suy ra \(EF = \frac{{MF \cdot ED}}{{DM}} = \frac{{56 \cdot 45}}{{35}} = 72\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(x = 72\;{\rm{cm}}.\)
Cho \(\Delta ABC\) có \(E\) là một điểm thuộc cạnh \(BC\) thỏa mãn \(\frac{{CE}}{{BE}} = \frac{{AC}}{{AB}}.\) Khi đó:
\(AE\) là đường phân giác của \(\Delta ABC.\)
\(AE\) là đường trung trực của \(\Delta ABC.\)
\(AE\) là đường cao của \(\Delta ABC.\)
\(AE\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC.\)
Đáp án đúng là: A
\(\Delta ABC\) có \(\frac{{CE}}{{BE}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) nên \(AE\) là đường phân giác của \(\Delta ABC.\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 4\;{\rm{cm}}{\rm{,}}\;AC = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{3}.\) Khi đó:
\(\widehat {DAC} = 60^\circ .\)
\(\widehat {DAC} = 40^\circ .\)
\(\widehat {DAC} = 50^\circ .\)
\(\widehat {DAC} = 45^\circ .\)
Đáp án đúng là: D
\(\Delta ABC\) có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\) nên \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) trong \(\Delta ABC.\)
Do đó, \(\widehat {DAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .\) Vậy \(\widehat {DAC} = 45^\circ .\)
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 10\;{\rm{cm}},\;AC = 16\;{\rm{cm}}.\) Đường phân giác của góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D.\) Biết rằng \(BD = 8\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Tính độ dài cạnh \(BC.\)
\(BC = 20\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(BC = 20,4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(BC = 20,8\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(BC = 20,6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
Đáp án đúng là: C\(AD\)
Vì là đường phân giác của \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}}.\) Suy ra: \(DC = \frac{{AC \cdot BD}}{{AB}} = \frac{{16 \cdot 8}}{{10}} = 12,8\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Do đó, \(BC = CD + DB = 12,8 + 8 = 20,8\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(BC = 20,8\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
Cho \(\Delta OEF\) có \(OM\;\left( {M \in EF} \right)\) là tia phân giác của tam giác. Biết rằng: \(\frac{{OE}}{{OF}} = \frac{4}{3}.\) Khi đó:
\(EM = \frac{4}{3}MF.\)
\(EM = \frac{3}{7}MF.\)
\(EM = \frac{3}{4}MF.\)
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: A
Vì \(OM\) là tia phân giác của \(\widehat {EOF}\) trong \(\Delta OEF\) nên \(\frac{{EM}}{{MF}} = \frac{{OE}}{{OF}} = \frac{4}{3}.\) Suy ra \(EM = \frac{4}{3}MF.\)
Cho \(\Delta ABC.\) Tia phân giác góc \(A\) và tia phân giác góc \(B\) của \(\Delta ABC\) cắt nhau tại \(D.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(CD\) và \(AB.\) Khi đó:
\(\frac{{EA}}{{BE}} = \frac{{BC}}{{AC}}.\)
\(\frac{{EA}}{{BE}} = \frac{{AC}}{{BC}}.\)
\(\frac{{EA}}{{BE}} = \frac{{AC}}{{AB}}.\)
\(\frac{{EA}}{{BE}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\)
Đáp án đúng là: B
Vì \(D\) là giao điểm của hai đường phân giác góc \(BAC\) và góc \(ABC\) của \(\Delta ABC\) nên \(CD\) là đường phân giác của \(\Delta ABC.\) Suy ra \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}.\) Do đó, \(\frac{{EA}}{{BE}} = \frac{{AC}}{{BC}}.\)
Cho \(\Delta ABC\) có \(AE\;\left( {E \in BC} \right)\) là đường phân giác của tam giác. Gọi \(I\) là điểm nằm trên cạnh \(AB\) sao cho \(\frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{AC}}{{BC}}.\) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AE\) và \(CI.\) Khi đó:
\(\widehat {ABD} = \frac{2}{3}\widehat {DBC}.\)
\(\widehat {ABD} = \frac{4}{5}\widehat {DBC}.\)
\(\widehat {ABD} = \frac{3}{4}\widehat {DBC}.\)
\(\widehat {ABD} = \widehat {DBC}.\)
Đáp án đúng là: D
có \(\frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{AC}}{{BC}}\) nên \(CI\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}.\)
Vì \(D\) là giao điểm của hai đường phân giác \(AE\) và \(CI\) của \(\Delta ABC\) nên \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) trong \(\Delta ABC.\) Do đó, \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC}.\)\(\Delta ABC\)
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AD = 10\;{\rm{cm}},\;DC = 8\;{\rm{cm}}.\) Tia phân giác \(\widehat {ABC}\) cắt \(AC\) tại \(E.\) Tính tỉ số \(\frac{{EC}}{{AE}}.\)
\(\frac{2}{3}.\)
\(\frac{3}{4}.\)
\(\frac{3}{5}.\)
\(\frac{4}{5}.\)
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC = AD = 10\;{\rm{cm}},\;AB = DC = 8\;{\rm{cm}}.\)
Vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{EC}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{BA}} = \frac{{10}}{8} = \frac{4}{5}.\) Vậy \(\frac{{EC}}{{AE}} = \frac{4}{5}.\)
Cho hình vẽ:
\(\widehat {BAC} = 3\widehat {DAC}.\)
\(\widehat {BAC} = 2\widehat {DAC}.\)
\(\widehat {BAC} = \frac{5}{2}\widehat {DAC}.\)
\(\widehat {BAC} = \frac{3}{2}\widehat {DAC}.\)
Đáp án đúng là: B
\(\Delta ABC\) có \(\frac{{DC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\left( { = \frac{3}{4}} \right)\) nên \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}.\) Do đó, \(\widehat {BAC} = 2\widehat {DAC}.\)
Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai
(Gồm 5 câu hỏi, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d)
Cho \(\Delta ABC\) có các đường phân giác \(AD,\;BE,\;CF\;\left( {D \in BC,\;E \in AC,\;F \in AB} \right).\)
a) \(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{BD}}{{BA}}.\)
b) \(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}}.\)
c) \(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{CA + CD}}{{CD}}.\)
d) \(\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{AC}}{{AB + BC + CA}}.\)
a) Sai.
Vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\) trong \(\Delta ABD\) nên \(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{BA}}{{BD}}.\)
b) Đúng.
Vì \(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{BA}}{{BD}}\) nên \(\frac{{IA}}{{AB}} = \frac{{ID}}{{BD}}.\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{IA}}{{AB}} = \frac{{ID}}{{BD}} = \frac{{IA + ID}}{{AB + BD}} = \frac{{AD}}{{AB + BD}}.\)
Suy ra \(\frac{{ID}}{{BD}} = \frac{{AD}}{{AB + BD}}.\)
Vậy \(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}}.\)
c) Đúng.
Vì \(CI\) là tia phân giác của \(\widehat {ACD}\) trong \(\Delta ACD\) nên \(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{CA}}{{CD}}.\) Suy ra: \(\frac{{IA}}{{CA}} = \frac{{ID}}{{CD}}.\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{IA}}{{CA}} = \frac{{ID}}{{CD}} = \frac{{IA + ID}}{{CA + CD}} = \frac{{AD}}{{CA + CD}}.\)
Vậy \(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{CA + CD}}{{CD}}.\)
d) Sai.
Vì \(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{CA + CD}}{{CD}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}}\) nên theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{CA + CD}}{{CD}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}} = \frac{{CA + CD + AB + BD}}{{CD + BD}} = \frac{{CA + AB + BC}}{{BC}}.\)
Vậy \(\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(B.\) Kẻ các đường phân giác \(AM\;\left( {M \in BC} \right),\;CN\;\left( {N \in AB} \right).\)
a) \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\)
b) \(\frac{{BN}}{{AN}} = \frac{{AC}}{{BC}}.\)
c) \(MN\;{\rm{//}}\;AC.\)
d) Tứ giác \(MNAC\) là hình thang cân.
a)Đúng.
Vì \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\)
b)Sai.
Vì \(CN\) là tia phân giác của \(\widehat {BCA}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{BN}}{{AN}} = \frac{{BC}}{{AC}}.\)
c)Đúng.
Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(B\) nên \(AB = BC.\)
Vì \(AB = BC,\;\frac{{BN}}{{AN}} = \frac{{BC}}{{AC}},\;\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) nên \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{BN}}{{AN}}.\)
\(\Delta ABC\) có: \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{BN}}{{AN}}\) (định lí Thalès đảo) nên \(MN\;{\rm{//}}\;AC.\)
d) Đúng.
Vì \(MN\;{\rm{//}}\;AC\) nên tứ giác \(MNAC\) là hình thang. Lại có: \(\widehat {NAC} = \widehat {MCA}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(B\)).
Do đó, tứ giác \(MNAC\) là hình thang cân.
Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A.\) Kẻ \(BE\;\left( {E \in AC} \right)\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) và \(AH \bot BC\;\left( {H \in BC} \right).\) Goi \(I\) là giao điểm của \(AH\) và \(BE.\)
a) \(AI > AE.\)
b) \(\frac{{AB}}{{IA}} = \frac{{BH}}{{HI}}.\)
c) \(\frac{{BH}}{{IH}} = \frac{{BC}}{{EC}}.\)
d) \(EC = 3IH.\)
a)Sai.
Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\)
Vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {ABI} = \widehat {IBH} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}.\)
\(\Delta BIH\) vuông tại \(H\) nên: \(\widehat {BIH} + \widehat {HBI} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {BIH} = 90^\circ - \widehat {HBI} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {ABC}.\)
Mà \(\widehat {BIH} = \widehat {AIE}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {AIE} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {ABC}.\)
\(\Delta ABE\) vuông tại \(A\) nên: \(\widehat {IEA} + \widehat {ABI} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {IEA} = 90^\circ - \widehat {ABI} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {ABC}.\)
Do đó, \(\widehat {AIE} = \widehat {IEA}.\) Do đó, \(\Delta IAE\) cân tại \(A.\) Do đó, \(AI = AE.\)
b) Đúng.
Vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat {ABH}\) trong tam giác \(ABH\) nên \(\frac{{AI}}{{IH}} = \frac{{AB}}{{BH}}.\) Suy ra \(\frac{{AB}}{{IA}} = \frac{{BH}}{{HI}}.\)
c) Đúng.
Vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) trong tam giác \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{BC}}.\) Suy ra \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{EC}}.\)
Vì \(\frac{{AB}}{{IA}} = \frac{{BH}}{{HI}},\;\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{EC}},\;AI = AE\) nên \(\frac{{BH}}{{IH}} = \frac{{BC}}{{EC}}.\)
d) Sai.
Vì \(\frac{{BH}}{{IH}} = \frac{{BC}}{{EC}}\) nên \(EC = \frac{{BC \cdot HI}}{{BH}}.\)
Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta ABC.\)
Do đó, \(BC = 2BH.\) Suy ra: \(EC = \frac{{2BH \cdot HI}}{{BH}} = 2HI.\) Vậy \(EC = 2IH.\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A.\) Kẻ \(BE\;\left( {E \in AC} \right)\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) và \(AH \bot BC\;\left( {H \in BC} \right).\) Goi \(I\) là giao điểm của \(AH\) và \(BE.\)
a) \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{BA}}{{BC}}.\)
b) \(\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{FA}}{{FC}}.\)
c) \(\frac{{OD}}{{ED}} > \frac{{OC}}{{FC}}.\)
d) \(EF\;{\rm{//}}\;AB\;{\rm{//}}\;CD.\)
a) Đúng.
Vì \(BF\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{BA}}{{BC}}.\)
b) Đúng.
Vì \(AE\) là tia phân giác của \(\widehat {DAB}\) trong \(\Delta ABD\) nên \(\frac{{BE}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{AD}}.\)
Ta có: \(BC = AD\) (do tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành), \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{BA}}{{BC}},\;\frac{{BE}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{AD}}\) nên \(\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{FA}}{{FC}}.\)
c) Sai.
Vì \(\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{FA}}{{FC}}\) nên \(\frac{{BE + DE}}{{ED}} = \frac{{AF + FC}}{{FC}}\) hay \(\frac{{BD}}{{ED}} = \frac{{AC}}{{FC}}.\) Suy ra \(\frac{{2OD}}{{ED}} = \frac{{2OC}}{{FC}}\) hay \(\frac{{OD}}{{ED}} = \frac{{OC}}{{FC}}.\)
d) Đúng.
\(\Delta DOC\) có: \(\frac{{OD}}{{ED}} = \frac{{OC}}{{FC}}\) nên \(EF\;{\rm{//}}\;DC\) (Định lí Thalès đảo).
Mà \(DC\;{\rm{//}}\;AB\) (do tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành) nên \(EF\;{\rm{//}}\;AB\;{\rm{//}}\;CD.\)
Nhà bạn Minh ở vị trí \(M,\) nhà bạn Dũng ở vị trí \(B\) (như hình vẽ), biết rằng tứ giác \(ABCD\) là hình vuông và \(M\) là trung điểm của \(CD.\) Hai bạn đi xe đạp với cùng một vận tốc trên con đường \(BM\) để đi đến điểm \(E.\) Bạn Minh xuất phát lúc \(13\) giờ và hai bạn gặp nhau lúc \(13\) giờ \(30\) phút tại điểm \(E.\)
a)\(\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{1}{2}.\)
b)\(BE = 2EM.\)
c) Thời gian bạn Dũng đi gấp hai lần thời gian bạn Minh đi khi hai bạn gặp nhau tại điểm \(E.\)
d)Bạn Dũng cần xuất phát lúc \(12\) giờ thì hai bạn gặp nhau tại điểm \(E\) lúc \(13\) giờ \(30\) phút.
a) Đúng.
Vì tứ giác \(ABCD\) là hình vuông nên \(CB = CD.\)
Vì \(M\) là trung điểm của \(CD\) nên \(\frac{{CM}}{{CD}} = \frac{1}{2}.\) Do đó, \(\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{1}{2}.\)
b) Đúng.
Vì tứ giác \(ABCD\) là hình vuông nên \(CA\) là tia phân giác của góc \(BCD.\)
Vì \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {BCM}\) trong \(\Delta BCM\) nên \(\frac{{BE}}{{EM}} = \frac{{BC}}{{CM}} = 2.\) Do đó, \(BE = 2EM.\)
c) Đúng.
Theo đề bài, \(E\) là điểm gặp nhau của hai bạn nên bạn Minh đi theo quãng đường \(ME,\) bạn Dũng đi theo quãng đường \(BE.\) Mà hai bạn đi với vận tốc bằng nhau nên thời gian bạn Dũng đi gấp hai lần thời gian bạn Minh thì hai bạn gặp nhau tại điểm \(E.\)
d)Sai.
Bạn Minh gặp bạn Dũng lúc \(13\) giờ \(30\) phút và xuất phát lúc \(13\) giờ nên thời gian bạn Minh đi quãng đường \(ME\) là \(30\) phút. Do đó, thời gian bạn Dũng đi quãng đường \(BE\) là \(1\) giờ.
Bạn Dũng xuất phát từ lúc: \(13\) giờ \(30\) phút \( - \;1\) giờ \( = 12\) giờ \(30\) phút.
Vậy bạn Dũng cần xuất phát lúc \(12\) giờ \(30\) phút thì hai bạn gặp nhau tại điểm \(E\) lúc \(13\) giờ \(30\) phút.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
(Gồm 5 câu hỏi, hãy viết câu trả lời/đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết)
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 5\;{\rm{cm}},\;AC = 6\;{\rm{cm}},\;BC = 8\;{\rm{cm}}.\) Tia phân giác góc \(B\) cắt \(AC\) tại \(E.\) Độ dài đoạn thẳng \(AE\) bằng bao nhiêu \({\rm{cm?}}\) (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án: \(2,3\)
Vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{CB}} = \frac{5}{8}.\) Suy ra: \(EC = \frac{8}{5}EA.\)
Lại có: \(AE + EC = AC\) nên \(AE + \frac{8}{5}AE = 6,\) suy ra \(\frac{{13}}{5}AE = 6.\) Vậy \(AE \approx 2,3\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = AC = 12\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Tia phân giác của góc \(B\) cắt đường cao \(AH\;\left( {H \in BC} \right)\) của \(\Delta ABC\) tại \(I.\) Biết rằng \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{3}{5}.\) Tính chu vi \(\Delta ABC.\) (Đơn vị: \({\rm{cm}}\)).
Đáp án: \(40\)
Vì \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{3}{5}\) nên \(\frac{{AI}}{{IH}} = \frac{3}{2}.\)
Vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat {ABH}\) trong \(\Delta AHB\) nên \(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AI}}{{IH}} = \frac{3}{2}.\)
Do đó, \(BH = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Vì \(AB = AC = 12\;{\rm{cm}}\) nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A.\)
Nên \(AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.
Suy ra: \(BC = 2BH = 2 \cdot 8 = 16\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Chu vi \(\Delta ABC\) là: \(AB + AC + BC = 12 + 12 + 16 = 40\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Vậy chu vi \(\Delta ABC\) bằng \(40\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
Cho \(\Delta ABC\) có chu vi bằng \(148\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Đường phân giác góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D\) sao cho \(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{2}{5}.\) Đường phân giác góc \(C\) cắt \(AB\) tại \(E\) sao cho \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{5}{9}.\) Độ dài cạnh \(BC\) bằng bao nhiêu
Đáp án: \(48\)
Vì \(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{2}{5}\) nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{3}.\) Vì \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{5}{9}\) nên \(\frac{{AE}}{{BE}} = \frac{5}{4}.\)
Vì chu vi \(\Delta ABC\) bằng \(148\;{\rm{cm}}\) nên \(AB + AC + BC = 148.\)
Vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {CAB}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{3}.\) Suy ra \[\frac{{AB}}{2} = \frac{{AC}}{3}.\]
Vì \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{5}{4}.\) Suy ra \(\frac{{AC}}{5} = \frac{{BC}}{4}.\)
Vì \[\frac{{AB}}{2} = \frac{{AC}}{3},\;\frac{{AC}}{5} = \frac{{BC}}{4}\] nên \(\frac{{AB}}{{10}} = \frac{{AC}}{{15}} = \frac{{BC}}{{12}}.\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AB}}{{10}} = \frac{{AC}}{{15}} = \frac{{BC}}{{12}} = \frac{{AB + AC + BC}}{{10 + 15 + 12}} = \frac{{148}}{{37}} = 4.\)
Do đó, \(BC = 4 \cdot 12 = 48\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(BC = 48\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat B = 50^\circ \) và \(I\) là trung điểm của \(BC.\) Tia phân giác của góc \(AIB\) và tia phân giác góc \(AIC\) cắt các cạnh \(AB,\;AC\) lần lượt tại \(M,\;N.\) Số đo \(\widehat {AMN}\) bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: \(50\)
Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BI = IC.\)
Vì \(IM\) là tia phân giác của góc \(AIB\) trong \(\Delta IAB\) nên \(\frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{BM}}{{MA}}.\)
Vì \(IN\) là tia phân giác của góc \(AIC\) trong \(\Delta IAC\) nên \(\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\)
Vì \(BI = IC,\;\frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{BM}}{{MA}},\;\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{NC}}{{NA}}\) nên \(\frac{{BM}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\)
\(\Delta ABC\) có \(\frac{{BM}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}\) nên \(MN\;{\rm{//}}\;BC\) (định lí Thalès đảo). Do đó, \(\widehat {AMN} = \widehat B = 50^\circ \) (hai góc đồng vị)
Vậy \(\widehat {AMN} = 50^\circ .\)
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 4\;{\rm{cm}},\;AC = 6\;{\rm{cm}}\) và đường phân giác \(AD\;\left( {D \in BC} \right).\) Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(E.\) Khi đó, \(AC = ...AE.\) Tìm số thích hợp để điền vào “…”.
Đáp án: \(2,5\)
\(\Delta ABC\) có \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.\)
\(\Delta ABC\) có \(DE\;{\rm{//}}\;BC\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{3}.\) Do đó: \(\frac{{AE}}{{EC + AE}} = \frac{2}{{3 + 2}} = \frac{2}{5}.\)
Suy ra \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{5}.\) Do đó, \(AC = 2,5AE.\)
Vậy số thích hợp điền vào “…” là \(2,5.\)
