Trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 (có đáp án)

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc A nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC có BE là phân giác của góc B nên \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\).

Thay số ta được \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(\frac{{EA}}{2} = \frac{{EC}}{3}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\frac{{EA}}{2} = \frac{{EC}}{3} = \frac{{EA + EC}}{{2 + 3}} = \frac{{AC}}{5} = \frac{{10}}{5} = 2\).

Do đó AE = 2.2 = 4 cm.

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 15 cm và BC = 10 cm.

Vì BD là đường phân giác cho góc B nên \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{15}}{{10}} = \frac{3}{2}\).

Suy ra \(\frac{{DA}}{3} = \frac{{DC}}{2}.\)

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có \(\frac{{DA}}{3} = \frac{{DC}}{2} = \frac{{DA + DC}}{{3 + 2}} = \frac{{AC}}{5} = \frac{{15}}{5} = 3\).

Vậy AD = 3.3 = 9 cm.

Đáp án đúng là: A

Chu vi tam giác là tổng độ dài ba cạnh nên tổng hai cạnh là:

AB + AC = 30 – 10 = 20 cm.

Theo tính chất đường phân giác ta có \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{2}{3}\).

Từ đó ta có \(\frac{{AB}}{2} = \frac{{AC}}{3} = \frac{{AB + AC}}{{2 + 3}} = \frac{{20}}{5} = 4\).

Vậy AB = 2.4 = 8 cm.

Đáp án đúng là: C

Ta tiến hành lập tỉ số: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Do đó \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\). (1)

Gọi AE là đường phân giác của góc A, với (E ∈ BC).

Theo định lí đường phân giác, ta có \(\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\)

Từ (1) và (2), suy ra \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{EB}}{{EC}}.\)

Vì D và E đều nằm trên đoạn thẳng BC, nên điểm chia đoạn BC theo cùng một tỉ số là duy nhất. Do đó D trùng E.

Vậy AD trùng với AE. Mà AE là đường phân giác của góc A, nên AD cũng là đường phân giác của góc A.

Đáp án đúng là: B

Hai tam giác ABD và ACD có chung đường cao h₁ hạ từ A xuống BC, nên tỉ số diện tích của chúng là: \(\frac{{{S_{\Delta ABD}}}}{{{S_{\Delta ACD}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{h_1}BD}}{{\frac{1}{2}{h_1}CD}} = \frac{{BD}}{{CD}}.\)

Mà S_∆ABD = 15 cm² và S_∆ACD = 20 cm² nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}\).

Vì AD là đường phân giác của góc A nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{3}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Vì M là trung điểm của BC nên \(BM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) cm.

Vì AD là phân giác của góc A nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{10}}{{14}} = \frac{5}{7}\).

Suy ra \(\frac{{DB}}{{DC + DB}} = \frac{5}{{7 + 5}}\) hay \(\frac{{DB}}{{BC}} = \frac{5}{{12}}\)

Do đó \(DB = \frac{5}{{12}} \cdot BC = \frac{5}{{12}} \cdot 12 = 5\) cm.

Khoảng cách giữa hai điểm là MD = BM – DB = 6 – 5 = 1 cm.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có DE // AB nên \(\frac{{CE}}{{EA}} = \frac{{CD}}{{DB}}\) (định lí Thalès).

Mặt khác, vì AD là đường phân giác của góc A nên \(\frac{{CD}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}}\).

Do đó \(\frac{{CE}}{{EA}} = \frac{{AC}}{{AB}}\).

Đáp án đúng là: B

Gọi I là giao điểm của AD và MN.

Xét tam giác ABD có MI // BD nên \(\frac{{MI}}{{BD}} = \frac{{AI}}{{AD}}\) (hệ quả định lí Thalès).

Xét tam giác ACD có IN // CD nên \(\frac{{IN}}{{CD}} = \frac{{AI}}{{AD}}\) (hệ quả định lí Thalès).

Suy ra \(\frac{{MI}}{{BD}} = \frac{{IN}}{{CD}}\), do đó \(\frac{{MI}}{{IN}} = \frac{{BD}}{{CD}}\).

Vì AD là đường phân giác của góc A nên \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Do đó \(\frac{{MI}}{{IN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có AE là đường phân giác ngoài của góc A nên \(\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Ta có EC = EB + BC = EB + 5 (cm).

Thay vào tỉ lệ thức ta có \(\frac{{EB}}{{EB + 5}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra 3EB = 2(EB + 5).

Hay 3EB = 2EB + 10

Do đó EB = 10 cm.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC có AD là tia phân giác trong của góc A nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(\frac{{DB}}{1} = \frac{{DC}}{2}.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{{DB}}{1} = \frac{{DC}}{2} = \frac{{DB + DC}}{{1 + 2}} = \frac{{BC}}{3} = \frac{4}{3}\).

Suy ra \(DB = \frac{4}{3}\) cm.

Xét tam giác ABC có AE là đường phân giác ngoài của góc A nên \(\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(\frac{{EB}}{{EB + BC}} = \frac{1}{2}\) hay \(\frac{{EB}}{{EB + 4}} = \frac{1}{2}\).

Do đó 2EB = EB + 4 nên EB = 4 cm.

Vậy \(DE = EB + DB = 4 + \frac{4}{3} = \frac{{12}}{3} + \frac{4}{3} = \frac{{16}}{3}\) cm.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC có AD là phân giác góc A nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\).

Suy ra \(\frac{{DB}}{c} = \frac{{DC}}{b}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{DB}}{c} = \frac{{DC}}{b} = \frac{{BD + DC}}{{c + b}} = \frac{{BC}}{{c + b}} = \frac{a}{{b + c}}\).

Suy ra \(BD = \frac{{ac}}{{b + c}}\).

Xét tam giác ABD có BI là đường phân giác của góc B nên \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{c}{{\frac{{ac}}{{b + c}}}} = \frac{{b + c}}{a}.\)

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác AMB có MD là đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) nên \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AM}}{{BM}}\).

Xét tam giác AMC có ME là đường phân giác của \(\widehat {AMC}\) nên \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AM}}{{CM}}\).

Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC, suy ra BM = CM.

Từ đó suy ra \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\).

Xét tam giác ABC có \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\) nên DE // BC (định lí Thalès đảo).

Đáp án đúng là: B

Tứ giác BDEF có BD // EF và ED // BF nên nó là hình bình hành.

Xét tam giác ABC có DE // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}\).

Lại có AD là đường phân giác của góc A nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{3}{2}\) nên \(\frac{{DC}}{{DB + DC}} = \frac{3}{{2 + 3}}\) hay \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{3}{5}\).

Do đó \(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{3}{5},\) suy ra \(\frac{{DE}}{6} = \frac{3}{5}\) nên \(DE = \frac{{6 \cdot 3}}{5} = \frac{{18}}{5} = 3,6\) cm.

Đáp án đúng là: B

Tứ giác AKDH có AK // DH, AH // DK nên nó là hình bình hành.

Hình bình hành có đường chéo AD là đường phân giác của góc A nên nó là hình thoi.

Gọi độ dài cạnh của hình thoi là x (cm, x > 0).

Khi đó DH = x (cm) và CH = AC – AH = 9 – x (cm).

Xét tam giác ABC có DH // AB nên \(\frac{{DH}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{AC}}\) (hệ quả định lí Thalès).

Suy ra \(\frac{x}{6} = \frac{{9 - x}}{9}\).

Do đó 9x = 6(9 – x) hay 9x = 54 – 6x

Suy ra 15x = 54 nên x = 3,6 cm.

Chu vi của hình thoi AKDH bằng 4.3,6 = 14,4 cm.