Bài tập Bài toán thực tiễn có vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 (có lời giải)
25 câu hỏi
Hình dưới đây minh họa một phần nền nhà được lát bởi các viên gạch hình vuông khít nhau trong đó các điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một viên gạch. Đặt một thước gỗ trên mặt nền nhà sao cho thước gỗ luôn đi qua điểm C và cắt tia AB tại M, cắt tia AD tại N. Khẳng định nào sau đây sai?
\(\frac{{CM}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{AN}};\)
\(\frac{{CN}}{{AN}} = \frac{{CM}}{{AM}};\)
\(\frac{{AN}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{CM}};\)
\(\frac{{CN}}{{AM}} = \frac{{CM}}{{AN}}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: ABCD là hình vuông và AC là đường chéo nên AC là đường phân giác của \(\widehat {DAB}\) hay AC là đường phân giác của \(\widehat {NAM}.\)
Áp dụng tính chất đường phân giác trong \(\Delta NAM\) với AC là đường phân giác của \(\widehat {NAM}\) ta có: \(\frac{{CN}}{{CM}} = \frac{{AN}}{{AM}} \Rightarrow \frac{{CN}}{{AN}} = \frac{{CM}}{{AM}};\,\,\frac{{AN}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{CM}}.\)
Như vậy, phương án A, B, C mang nội dung đúng; phương án D mang nội dung sai.
Một người đứng đỉnh tháp Busan (điểm D) quan sát ba điểm thẳng hàng A, B, C lần lượt là chân ba cột đèn sao cho A, B, C thẳng hàng (như hình dưới đây). Người đó nhận thấy góc nhìn đến hai điểm A, B thì bằng góc nhìn đến hai điểm B, C, tức là \(\widehat {ADB} = \widehat {BDC}.\) Hỏi tỉ số khoảng cách từ vị trí D đang đứng đến điểm A và đến điểm C mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó bằng bao nhiêu? Biết khoảng cách giữa hai chân cột đèn A, B là 30 m và khoảng cách giữa hai chân cột đèn B, C là 25 m.
\(\frac{6}{5};\)
\(\frac{5}{6};\)
\(\frac{1}{3};\)
1
Đáp án đúng là: A
Từ giả thiết ta có: AB = 30 m, BC = 25m;
\(\widehat {ADB} = \widehat {BDC}\) suy ra DB là tia phân giác \(\widehat {ADC}.\)
Xét ∆ADC có DB là tia phân giác \[\widehat {ADC},\] nên áp dụng tính chất đường phân giác trong
∆ADC ta có: \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{30}}{{25}} = \frac{6}{5}.\)
Vậy tỉ số khoảng cách từ vị trí D đang đứng đến điểm A và đến điểm C bằng \(\frac{6}{5}.\)
Hai ngư dân A, B đứng ở hai bên bờ sông cách một cái lều M lần lượt là 14 m; 20 m và cùng nhìn thấy một cù lao C trên sông (được mô tả như hình vẽ) sao cho \(\widehat {ACM} = \widehat {MCB}.\) Hỏi tỉ số khoảng cách của ngư dân A và B đến cù lao C trên sông là bao nhiêu?
\(\frac{7}{{10}};\)
\(\frac{{17}}{{10}};\)
\(\frac{{10}}{7};\)
\(\frac{{17}}{3}.\)
Đáp án đúng là: A
Từ giả thiết ta có: MA = 14 m, MB = 20 m;
\(\widehat {ACM} = \widehat {MCB}\) suy ra CM là tia phân giác \(\widehat {ACB}.\)
Xét ∆ACB có CM là tia phân giác \(\widehat {ACB},\) nên áp dụng tính chất đường phân giác trong
∆ACB ta có: \(\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{14}}{{20}} = \frac{7}{{10}}.\)
Vậy tỉ số khoảng cách của ngư dân A và B đến cù lao C trên sông là \(\frac{7}{{10}}.\)
Ba bạn Mai, Lan, Điệp hẹn gặp nhau tại nhà bạn Lan, biết rằng nhà bạn Mai ở vị trí A, nhà bạn Lan ở vị trí G và nhà bạn Điệp ở vị trí M (được mô tả như hình vẽ). Biết rằng tứ giác ABCD là hình vuông và M là trung điểm của CD. Quãng đường bạn Điệp đi từ nhà tới nhà bạn Lan là 3 km. Hỏi bạn Mai phải đi quãng đường ngắn nhất từ nhà tới nhà bạn Lan là bao nhiêu kilômét để gặp Lan và Điệp?
12 km;
2 km;
3 km;
6 km.
Đáp án đúng là: D
Theo bài ra ta có: GM = 3 km.
Vì ABCD là hình vuông nên CD = AD và DB là tia phân giác của \[\widehat {ADC}.\]
Do M là trung điểm của DC nên \(DM = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}DA\) (do CD = AD).
\( \Rightarrow \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{1}{2}.\)
Xét ∆ADM có: DG là tia phân giác của \(\widehat {ADM}\) (do DB là tia phân giác của \(\widehat {ADC}\)).
Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ADM với DG là tia phân giác của \(\widehat {ADM}\) ta có:
\(\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{GM}}{{GA}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{3}{{GA}} \Rightarrow GA = 6\) (km).
Vậy bạn Mai phải đi quãng đường ngắn nhất từ nhà tới nhà bạn Lan là GA = 6 km để gặp Lan và Điệp.
Để bảo trì tượng nữ thần tự do với chiều cao là AD = 93 m người thợ đã gắn hai dây thép cố định vào hai vị trí B và C (như hình vẽ) sao cho \(\widehat {BAC} = \widehat {CAD}.\) Tính chiều dài của dây thép khi được căng thẳng từ A đến B biết rằng độ dài BC = 20 m và CD = 15 m.
125 m;
124 m;
100 m;
69,75 m.
Đáp án đúng là: B
Do \(\widehat {BAC} = \widehat {CAD}\) nên AC là đường phân giác của \(\widehat {BAD}.\)
Xét ∆BAD có AC là đường phân giác của \(\widehat {BAD},\) nên áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆BAD ta có:
\(\frac{{CB}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{20}}{{15}} = \frac{{AB}}{{93}}\)⇒ AB ∙ 15 = 20 ∙ 93 ⇒ AB ∙ 15 = 1 860
\( \Rightarrow AB = \frac{{1\,\,860}}{{15}} = 124\) (m).
Vậy chiều dài của dây thép khi được căng thẳng từ A đến B là 124 m.
Lúc 6 giờ sáng, bạn Hải đi xe đạp (điểm A) đến trường B phải leo lên và xuống một con dốc với đỉnh dốc tại điểm C (như hình vẽ). Điểm H là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho CH đường là phân giác \(\widehat {ACB},\) AH = 0,32 km và BH = 0,4 km. Biết bạn Hải đi xe đạp đến C lúc 6 giờ 30 phút với tốc độ trung bình lên dốc là 4 km/h. Hỏi bạn Hải đến trường lúc mấy giờ nếu tốc độ trung bình xuống dốc là 10 km/h.
6 giờ 45 phút;
7 giờ;
7 giờ 15 phút;
7 giờ 30 phút.
Đáp án đúng là: A
Thời gian để bạn Hải đi từ A đến C là: 6 giờ 30 phút – 6 giờ = 30 phút = 0,5 giờ.
Quãng đường mà bạn Hải đi từ A đến C trong 0,5 giờ với tốc độ trung bình lên dốc 4 km/h là: AC = SA→C = 4 ∙ 0,5 = 2 (km).
Xét ∆ACB có CH là đường phân giác của \(\widehat {ACB},\) nên áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ACB ta có:
\(\frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{CA}}{{CB}} \Rightarrow \frac{{0,32}}{{0,4}} = \frac{2}{{CB}}\)⇒ 0,32 ∙ CB = 0,4 ∙ 2 ⇒ 0,32 ∙ CB = 0,8
\( \Rightarrow CB = \frac{{0,8}}{{0,32}} = 2,5\) (m).
Thời gian để bạn Hải đi hết quãng đường CB = 2,5 m với tốc độ trung bình xuống dốc 10 km/h là: \(\frac{{2,5}}{{10}} = 0,25\) (giờ).
Như vậy, tổng thời gian bạn Hải đi từ A đến trường B là
0,5 + 0,25 = 0,75 (giờ) = 45 (phút).
Do đó bạn Hải đến trường lúc 6 giờ 45 phút.
Nhà bạn Bảo ở vị trí M, nhà bạn Lan ở vị trí D (như hình bên dưới), biết rằng tứ giác ABCD là hình thoi và AB = 3AM. Hai bạn đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường MD để đi đến điểm I. Bạn Lan xuất phát lúc 7 giờ. Hỏi bạn Bảo phải xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút tại điểm I?
7 giờ;
7 giờ 15 phút;
7 giờ 20 phút;
7 giờ 30 phút.
Đáp án đúng là: C
Theo đề bài, ABCD là hình thoi nên AB = AD và AC là tia phân giác của \(\widehat {BAD}.\)
Ta có: AB = 3AM hay AD = 3AM (do AB = AD).
\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}.\)
Xét ∆MAD có: AI là tia phân giác của \(\widehat {MAD}\) (do AC là tia phân giác của \(\widehat {BAD}\)),
Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆MAD ta có:
\(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{IM}}{{ID}} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{IM}}{{ID}} \Rightarrow IM = \frac{1}{3}ID.\)
Theo đề bài, I là địa điểm gặp nhau nên bạn Bảo đi theo quãng đường MI, bạn Lan đi theo quãng đường DI.
Ta có: S = vt, mà quãng đường bạn Bảo đi bằng \(\frac{1}{3}\) lần quãng đường bạn Lan đi và vận tốc đi bộ của hai bạn đều bằng nhau nên thời gian bạn Bảo đi bằng \(\frac{1}{3}\) lần thời gian bạn Lan đi thì hai bạn mới gặp nhau tại địa điểm I.
Bạn Bảo gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút nên thời gian bạn Lan đi hết quãng đường MI là:
7 giờ 30 phút – 7 giờ = 30 phút.
Khi đó, thời gian bạn Bảo đi là \(\frac{1}{3} \cdot 30 = 10\) (phút).
Do đó, bạn Bảo phải xuất phát từ lúc: 7 giờ 30 phút – 10 phút = 7 giờ 20 phút.
Vậy bạn Bảo phải xuất phát lúc 7 giờ 20 phút để gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút tại điểm I.
Một chiếc thuyền xuất phát từ vị trí I chở hàng cho hai hòn đảo A và B theo phương thẳng (được minh họa như trong hình vẽ). Một người đứng ở vị trí K trên bờ quan sát ba điểm thẳng hàng I, A, B. Người đó nhận thấy góc nhìn đến hai điểm I, A thì bằng góc nhìn đến hai điểm A, B, tức là \(\widehat {IKA} = \widehat {AKB}.\) Biết rằng thuyền đi từ vị trí I đến hòn đảo A là 500 m; từ hòn đảo A đến hòn đảo B là 6 km và khoảng cách từ người đó đến vị trí I là 1 km. Tính khoảng cách từ người đó (vị trí K) đến hòn đảo B?
10 km;
20 km;
15 km;
12 km.
Đáp án đúng là: D
Theo bài ra ta có: IA = 500 m = 0,5 km, AB = 6 km, IK = 1 km.
Vì \(\widehat {IKA} = \widehat {AKB}\) nên AK là đường phân giác của \(\widehat {IKB}.\)
Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆IKB có:
\(\frac{{AB}}{{AI}} = \frac{{BK}}{{IK}} \Rightarrow \frac{6}{{0,5}} = \frac{{BK}}{1} \Rightarrow BK = \frac{6}{{0,5}} = 12\) (km).
Vậy khoảng cách từ người đó (vị trí K) đến hòn đảo B là BK = 12 km.
Hai vận động viên thi chạy Marathon xuất phát tại điểm A cùng một thời điểm, chạy theo hai hướng khác nhau đến B và C. Sau t phút hai người đó gặp nhau tại D (được mô tả như hình vẽ). Cho độ dài AB = 3 km; AC = 3,5 km; BC = 5 km và \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}.\)Hỏi trong t phút đầu tiên vận động viên nào chạy nhanh hơn?
Vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D chạy nhanh hơn vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D.
Vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D chạy nhanh hơn vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D.
Hai vận động viên chạy với cùng một tốc độ trung bình.
Không thể kết luận vận động viên nào chạy nhanh hơn.
Đáp án đúng là: B
Vì \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) nên AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}.\)
Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆BAC có: \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Suy ra \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB + DC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AB + AC}} \Rightarrow \frac{{DB}}{3} = \frac{{DC}}{{3,5}} = \frac{5}{{3 + 3,5}} = \frac{{10}}{{13}}\)
\( \Rightarrow \frac{{DB}}{3} = \frac{{10}}{{13}} \Rightarrow DB = \frac{{3 \cdot 10}}{{13}} = \frac{{30}}{{13}} \approx 2,31\) (km);
Và \(\frac{{DC}}{{3,5}} = \frac{{10}}{{13}} \Rightarrow DC = \frac{{3,5 \cdot 10}}{{13}} = \frac{{35}}{{13}} \approx 2,69\) (km).
Quãng đường vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D là:
AB + DB ≈ 3 + 2,31 = 5,31 (km).
Quãng đường vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D là:
AC + DC ≈ 3,5 + 2,69 = 6,19 (km).
Biết hai vận động viên xuất phát cùng một thời điểm và sau t phút thì hai vận động viên gặp nhau tại D nên thời gian chạy của hai vận động viên là như nhau. Mà quãng đường vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D nhỏ hơn quãng đường vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D (do 5,31 km < 6,19 km).
Do đó, trong t phút đầu vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D sẽ chạy nhanh hơn vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D.
Nhà bạn Hoa ở vị trí K, nhà bạn Phương ở vị trí A (như hình bên dưới), biết rằng tứ giác ABCD là hình thoi và K là trung điểm của BC. Hai bạn đi xe đạp với cùng một vận tốc trên con đường AK để đi đến điểm H. Bạn Hoa xuất phát lúc 8 giờ. Hỏi bạn Phương phải xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Hoa lúc 8 giờ 15 phút tại điểm H?
7 giờ 45 phút;
7 giờ 30 phút;
7 giờ 20 phút;
7 giờ.
Đáp án đúng là: A
Theo đề bài, ABCD là hình thoi nên BA = BC và BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}.\)
Vì K là trung điểm của BC nên \(BK = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}BA \Rightarrow \frac{{BK}}{{BA}} = \frac{1}{2}.\)
Xét ∆ABK có: BH là tia phân giác của \(\widehat {ABK}\) (do BD là tia phân giác của\(\widehat {ABC}\)).
Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ABK với BH là tia phân giác của \(\widehat {ABK}\) ta có:
\(\frac{{BK}}{{BA}} = \frac{{HK}}{{HA}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{{HK}}{{HA}} \Rightarrow HA = 2HK.\)
Theo đề bài, H là địa điểm gặp nhau nên bạn Hoa đi theo quãng đường KH, bạn Phương đi theo quãng đường AH.
Ta có: S = vt, mà quãng đường bạn Phương đi bằng 2 lần quãng đường bạn Hoa đi và vận tốc đi xe đạp của hai bạn đều bằng nhau nên thời gian bạn Phương đi bằng 2 lần thời gian bạn Hoa đi thì hai bạn mới gặp nhau tại địa điểm H.
Bạn Phương gặp bạn Hoa lúc 8 giờ 15 phút và Hoa xuất phát lúc 8 giờ nên thời gian bạn Hoa đi hết quãng đường KH là:
8 giờ 15 phút – 8 giờ = 15 phút.
Khi đó, thời gian bạn Phương đi là 2 ∙ 15 = 30 (phút).
Do đó, bạn Phương phải xuất phát từ lúc: 8 giờ 15 phút – 30 phút = 7 giờ 45 phút.
Vậy bạn Phương phải xuất phát lúc 7 giờ 45 phút giờ để gặp bạn Hoa lúc 8 giờ 15 phút tại điểm H.
Một mảnh vườn hình tam giác ABC. Người ta muốn làm một lối đi AD chia đôi góc A (D nằm trên cạnh BC). Theo tính chất đường phân giác của tam giác, tỉ số độ dài hai đoạn thẳng \(\frac{{DB}}{{DC}}\) bằng tỉ số nào dưới đây?
\(\frac{{AC}}{{AB}}\).
\(\frac{{AB}}{{AC}}\).
\(\frac{{AB}}{{BC}}\).
\(\frac{{AC}}{{BC}}\).
Đáp án đúng là: B
Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.
Do AD là đường phân giác của góc A nên ta có hệ thức \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Một chiếc thang chữ A được thiết kế với hai chân thang tạo thành tam giác MNP. Thanh chống thẳng đứng MI là tia phân giác của góc M (I nằm trên mặt đất NP). Biết cạnh bên MN dài 1,5 m và cạnh bên MP dài 2 m. Tỉ số khoảng cách \(\frac{{IN}}{{IP}}\) trên mặt đất là
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{3}{7}\).
\(\frac{4}{7}\).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆MNP, ta có \(\frac{{IN}}{{IP}} = \frac{{MN}}{{MP}}\).
Thay số đo vào ta được \(\frac{{IN}}{{IP}} = \frac{{1,5}}{2} = \frac{3}{4}\).
Trong một trò chơi bắn tia laser, tia sáng phát ra từ điểm S chiếu vào một bức tường AB. Tia sáng SM là tia phân giác của góc tạo bởi hai tia SA và SB (M nằm trên đoạn thẳng AB). Nếu máy đo ghi nhận độ dài đoạn thẳng MB là 3 m và độ dài đoạn thẳng MA là 4 m thì tỉ số chiều dài hai tia sáng \(\frac{{SA}}{{SB}}\) là
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{3}{7}\).
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{4}{7}\).
Đáp án đúng là: C
Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆SAB, ta có \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{SA}}{{SB}}\).
Thay số ta được \(\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{4}{3}\).
Một khung cửa sổ hình tam giác EFG có cạnh EF dài 80 cm, cạnh EG dài 120 cm. Một thanh nhôm trang trí EH được gắn sao cho EH là tia phân giác của góc E (H nằm trên thanh đáy FG). Nếu đoạn FH đo được 40 cm thì đoạn HG dài
50 cm.
60 cm.
70 cm.
80 cm.
Đáp án đúng là: B
Vì EH là tia phân giác của góc E trong ∆EFG nên ta có \(\frac{{FH}}{{HG}} = \frac{{EF}}{{EG}}\).
Suy ra \(\frac{{40}}{{HG}} = \frac{{80}}{{120}} = \frac{2}{3}\).
Do đó HG = \(\frac{{40 \cdot 3}}{2}\) = 60 (cm).
Một mái nhà hình tam giác PQR. Một cột chống PS được dựng thẳng đứng và chia đôi góc P (S nằm trên dầm ngang QR). Biết mặt mái PQ dài 10 m, mặt mái PR dài 15 m và tổng độ dài dầm ngang QR là 20 m. Độ dài đoạn SQ là
8 m.
10 m.
12 m.
14 m.
Đáp án đúng là: A
Theo tính chất đường phân giác trong ∆PQR, ta có: \[\frac{{SQ}}{{SR}} = \frac{{PQ}}{{PR}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}\].
Suy ra \[\frac{{SQ}}{2} = \frac{{SR}}{3}\]
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{SQ}}{2} = \frac{{SR}}{3} = \frac{{SQ + SR}}{{2 + 3}} = \frac{{QR}}{5} = \frac{{20}}{5} = 4\).
Vậy SQ = 4 ∙ 2 = 8 (m).
Một khu đồi hình tam giác ABC được bao quanh bởi ba con đường. Chiều dài các con đường lần lượt là AB = 600 m, AC = 800 m, BC = 1000 m. Người ta xây dựng một hàng rào thẳng AD sao cho AD là đường phân giác của góc A (D nằm trên con đường BC). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
\(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
\(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{4}{3}\).
\(\frac{{BD}}{3} = \frac{{CD}}{4}\).
CD ≈ 571 m.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Xét ∆ABC có AD là phân giác của góc A, suy ra \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
b) Sai. Theo ý a), ta có \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{600}}{{800}} = \frac{3}{4}\).
c) Đúng. Từ \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{3}{4}\) suy ra \(\frac{{BD}}{3} = \frac{{CD}}{4}\).
d) Đúng. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{BD}}{3} = \frac{{CD}}{4} = \frac{{BD + CD}}{{3 + 4}} = \frac{{BC}}{7} = \frac{{1000}}{7}\).
Do đó \(CD = 4 \cdot \frac{{1000}}{7} = \frac{{4000}}{7} \approx 571\) (m).
Trong việc thiết kế một chiếc cầu, một dầm thép tạo thành tam giác DEF với dầm phụ EG là tia phân giác của góc E (G nằm trên thanh ngang DF). Kỹ sư đo được đoạn GD = 12 m, GF = 20 m và chiều dài dầm ED = 15 m. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
\(\frac{{ED}}{{EF}} = \frac{{GF}}{{GD}}\).
\(\frac{{ED}}{{EF}} = \frac{3}{5}\).
EF = 20 m.
Chu vi của phần khung tam giác DEF là 72 m.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Xét ∆DEF có EG là đường phân giác của góc E nên \(\frac{{ED}}{{EF}} = \frac{{GD}}{{GF}}\).
b) Đúng. Ta có \(\frac{{ED}}{{EF}} = \frac{{GD}}{{GF}} = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}\).
c) Sai. Từ tỉ số \(\frac{{ED}}{{EF}} = \frac{3}{5}\) ta có \(\frac{{15}}{{EF}} = \frac{3}{5}\), suy ra EF = \(\frac{{15 \cdot 5}}{3}\) = 25 m.
d) Đúng. Chiều dài DF = GD + GF = 12 + 20 = 32 m.
Chu vi ∆DEF là ED + EF + DF = 15 + 25 + 32 = 72 (m).
Một chiếc lều cắm trại có mặt trước là hình tam giác MNP với hai mép lều MN = 4 m, MP = 6 m. Một khóa kéo thẳng MQ chia đôi góc M của cửa lều (Q nằm trên đoạn đáy NP tiếp đất). Biết rằng phần đáy QP dài hơn phần đáy QN là 1 m. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
\(\frac{{QN}}{{QP}} = \frac{{MN}}{{MP}}\).
\(\frac{{QN}}{{QP}} = \frac{3}{2}\).
QN = 2 m.
NP = 6 m.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Xét ∆MNP có MQ là đường phân giác của góc M nên \(\frac{{QN}}{{QP}} = \frac{{MN}}{{MP}}\).
b) Sai. Ta có \(\frac{{QN}}{{QP}} = \frac{{MN}}{{MP}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
c) Đúng. Theo bài, QP – QN = 1.
Từ \(\frac{{QN}}{{QP}} = \frac{2}{3}\) ta có \(\frac{{QN}}{2} = \frac{{QP}}{3}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{QN}}{2} = \frac{{QP}}{3} = \frac{{QP - QN}}{{3 - 2}} = \frac{1}{1} = 1\).
Suy ra QN = 2 (m).
d) Sai. Từ ý c) ta cũng tính được QP = 3 (m).
Chiều dài đáy NP là NP = QN + QP = 2 + 3 = 5 (m).
Trong một cuộc thi chạy định hướng, ba trạm gác A, B, C tạo thành một tam giác. Một thí sinh chạy dọc theo đường phân giác AD của góc A để đến con đường BC. Máy định vị ghi nhận tỉ số khoảng cách \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{4}{5}\) và tổng khoảng cách từ trạm A đến hai trạm B và C là 9 km. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DC}}{{DB}}\).
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{5}\).
AC = 4 km.
Khoảng cách từ trạm A đến trạm B ngắn hơn từ A đến C là 1 km.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Xét ∆ABC có AD là tia phân giác góc A nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).
b) Đúng. Vì \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) và \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{4}{5}\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{5}\).
c) Sai. Từ \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{5}\) ta có \(\frac{{AB}}{4} = \frac{{AC}}{5}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{AB}}{4} = \frac{{AC}}{5} = \frac{{AB + AC}}{{4 + 5}} = \frac{9}{9} = 1\).
Suy ra AC = 5 (km).
d) Đúng. Từ tính toán trên AB = 4 km.
Vậy khoảng cách từ trạm A đến trạm B ngắn hơn từ A đến C là 5 – 4 = 1 (km).
Hai camera an ninh được đặt tại vị trí X và Y. Trạm điều khiển T tạo thành tam giác TXY. Một tia hồng ngoại TM quét qua không gian và là tia phân giác của góc XTY (M nằm trên đoạn thẳng XY). Đoạn quét trên mặt đất cho thấy MX = 6 km, MY = 9 km và đường truyền tín hiệu TY dài hơn đường truyền TX là 6 km. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
\(\frac{{TX}}{{TY}} = \frac{{MX}}{{MY}}\).
\(\frac{{TX}}{{TY}} = \frac{3}{2}\).
TX = 12 km.
Tổng khoảng cách của hai đường truyền TX và TY là 20 km.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Xét ∆TXY có TM là phân giác của góc T nên \(\frac{{TX}}{{TY}} = \frac{{MX}}{{MY}}\).
b) Sai. Ta có \(\frac{{TX}}{{TY}} = \frac{{MX}}{{MY}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).
c) Đúng. Từ \(\frac{{TX}}{{TY}} = \frac{2}{3}\) ta có \(\frac{{TX}}{2} = \frac{{TY}}{3}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{TX}}{2} = \frac{{TY}}{3} = \frac{{TY - TX}}{{3 - 2}} = \frac{6}{1} = 6\).
Suy ra TX = 6 ∙ 2 = 12 (km).
d) Sai. Từ ý c) ta có TY = 6 ∙ 3 = 18 km.
Tổng khoảng cách TX + TY = 12 + 18 = 30 (km).
Một máng nước trong công viên có mặt cắt ngang là hình tam giác ABC với tổng chu vi là 21 m. Một thanh đỡ an toàn AD được lắp đặt sao cho AD là tia phân giác của góc A (D nằm trên mặt đất BC). Nếu khoảng cách phần đế đo được là BD = 3 m và CD = 4 m, tính chiều dài của mặt AC (đơn vị: m).
Đáp án: 8.
Chiều dài tổng đáy BC = BD + CD = 3 + 4 = 7 (m).
Tổng độ dài hai cạnh bên là AB + AC = Chu vi – BC = 21 – 7 = 14 (m).
Theo tính chất đường phân giác, ta có:
\(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\frac{3}{4} = \frac{{AB}}{{AC}}\), tức là \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{AB + AC}}{{3 + 4}} = \frac{{14}}{7} = 2\).
Do đó độ dài AC = 4 ∙ 2 = 8 (m).
Một kệ sách có khung đỡ hình tam giác MNP có MN = 30 cm, MP = 40 cm. Thanh ván ngăn giữa MI chia đôi góc M (I nằm trên mép NP). Biết rằng phần diện tích của khung tam giác nhỏ MNI là 120 cm2. Tính diện tích của khung tam giác nhỏ MPI (đơn vị: cm2).
Đáp án: 160.
Hai tam giác MNI và MPI có chung đường cao hạ từ đỉnh M xuống cạnh đáy NP.
Do đó tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số hai cạnh đáy tương ứng là \(\frac{{{S_{MNI}}}}{{{S_{MPI}}}} = \frac{{IN}}{{IP}}\).
Theo tính chất đường phân giác, \(\frac{{IN}}{{IP}} = \frac{{MN}}{{MP}} = \frac{{30}}{{40}} = \frac{3}{4}\).
Suy ra \(\frac{{{S_{MNI}}}}{{{S_{MPI}}}} = \frac{3}{4}\) hay \(\frac{{120}}{{{S_{MPI}}}} = \frac{3}{4}\).
Diện tích ∆MPI là: \({S_{MPI}} = \frac{{120 \cdot 4}}{3} = 160\) (cm2).
Ba đài quan sát E, F, G tạo thành một tam giác có tổng chu vi là 42 km. Khoảng cách FG = 14 km, khoảng cách EF = 12 km. Một tuyến cáp quang EH được kéo thẳng từ E, chia đôi góc FEG (H nằm trên tuyến đường FG). Tính chiều dài của đoạn cáp ngầm HG (đơn vị: km).
Đáp án: 8.
Chiều dài EG = Chu vi – FG – EF = 42 – 14 – 12 = 16 km.
Theo tính chất đường phân giác trong ∆EFG, ta có \(\frac{{FH}}{{HG}} = \frac{{EF}}{{EG}} = \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\).
Suy ra \(\frac{{FH}}{3} = \frac{{HG}}{4}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{FH}}{3} = \frac{{HG}}{4} = \frac{{FH + HG}}{{3 + 4}} = \frac{{FG}}{7} = \frac{{14}}{7} = 2\).
Suy ra HG = 4 ∙ 2 = 8 (km).
Một lá cờ trang trí hình tam giác ABC có các cạnh AB = 15 cm, AC = 25 cm và cạnh đáy BC = 32 cm. Một đường may nổi AD xuất phát từ đỉnh A và là đường phân giác của góc A (D nằm trên cạnh BC). Tính hiệu độ dài giữa hai đoạn vải CD và BD (đơn vị: cm).
Đáp án: 8.
Áp dụng tính chất đường phân giác cho góc A của ∆ABC, ta có:
\(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) nên \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{15}}{{25}} = \frac{3}{5}\), tức là \(\frac{{BD}}{3} = \frac{{CD}}{5}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{BD}}{3} = \frac{{CD}}{5} = \frac{{BD + CD}}{{3 + 5}} = \frac{{BC}}{8} = \frac{{32}}{8} = 4\).
Do đó BD = 3 ∙ 4 = 12 cm và CD = 5 ∙ 4 = 20 (cm).
Hiệu độ dài CD – BD = 20 – 12 = 8 (cm).
Một khu đất hình tam giác ABC. Các cạnh ranh giới đo được là AB = 10 m và AC = 15 m. Người ta đào một mương nước AD chạy dọc theo đường phân giác của góc A (D nằm trên cạnh BC). Từ điểm D, người ta làm thêm một hàng rào DE song song với cạnh AB (E nằm trên cạnh AC). Tính độ dài đoạn ranh giới AE (đơn vị: m).
Đáp án: 6.
Theo tính chất đường phân giác của góc A, ta có \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}\).
Vì DE // AB, theo định lí Thalès trong ∆ABC, ta có \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{3}\).
Suy ra \(\frac{{AE}}{2} = \frac{{EC}}{3}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{AE}}{2} = \frac{{EC}}{3} = \frac{{AE + EC}}{{2 + 3}} = \frac{{AC}}{5} = \frac{{15}}{5} = 3\).
Suy ra AE = 2 ∙ 3 = 6 (m).
