Trắc nghiệm Phép nhân và phép chia phân thức đại số lớp 8 (có đúng sai, trả lời ngắn)
20 câu hỏi
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
(Gồm 10 câu hỏi, hãy chọn phương án đúng duy nhất)
Với hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) thì
\(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{{A \cdot C}}{{B \cdot D}}.\)
\(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{{A \cdot D}}{{B \cdot C}}.\)
\(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{{A \cdot B}}{{D \cdot C}}.\)
\(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{{ - A \cdot C}}{{B \cdot D}}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{{A \cdot C}}{{B \cdot D}}.\)
Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{x}{{x - 1}}\) là
\(\frac{{x - 1}}{x}.\)
\(\frac{{1 - x}}{x}.\)
\(\frac{{ - x}}{{x - 1}}.\)
\(\frac{x}{{x + 1}}.\)
Đáp án đúng là: A
Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{x}{{x - 1}}\) là \(\frac{{x - 1}}{x}.\)
Tích của một phân thức và phân thức nghịch đảo của nó bằng
0.
1.
\( - 1.\)
\(2\)
Đáp án đúng là: B
Tích của một phân thức và phân thức nghịch của nó bằng 1.
Cho hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) với \(\frac{C}{D}\) khác 0 thì
\(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{{A \cdot C}}{{B \cdot D}}.\)
\(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{{A \cdot D}}{{B \cdot C}}.\)
\(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{{A \cdot B}}{{D \cdot C}}.\)
\(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{{B \cdot D}}{{A \cdot C}}.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{{A \cdot D}}{{B \cdot C}}.\)
Tích của hai phân thức \(\frac{x}{{2y}}\) và \(\frac{y}{{3{x^2}}}\) bằng
\(\frac{{2{y^2}}}{{3{x^3}}}.\)
\(\frac{{3{x^3}}}{{2{y^2}}}.\)
\(\frac{1}{{6x}}.\)
\(6x.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{x}{{2y}} \cdot \frac{y}{{3{x^2}}} = \frac{{xy}}{{2y \cdot 3{x^2}}} = \frac{1}{{6x}}.\) Vậy tích của hai phân thức \(\frac{x}{{2y}}\) và \(\frac{y}{{3{x^2}}}\) bằng \(\frac{1}{{6x}}.\)
Thương của phép chia \(\frac{x}{{2y}}:\frac{x}{{4{y^2}}}\) là
\(\frac{{8{y^3}}}{{{x^2}}}.\)
\(\frac{{{x^2}}}{{8{y^3}}}.\)
\(\frac{1}{{2y}}\)
\(2y.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\frac{x}{{2y}}:\frac{x}{{4{y^2}}} = \frac{x}{{2y}} \cdot \frac{{4{y^2}}}{x} = \frac{{4x{y^2}}}{{2xy}} = 2y.\)
Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{x{y^3}}}{2}:\left( {x{y^2}} \right)\) ta được
\(P = 2x.\)
\(P = \frac{x}{2}.\)
\(P = 2y.\)
\(P = \frac{y}{2}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(P = \frac{{x{y^3}}}{2}:\left( {x{y^2}} \right) = \frac{{x{y^3}}}{2} \cdot \frac{1}{{x{y^2}}} = \frac{{x{y^3}}}{{2x{y^2}}} = \frac{y}{2}.\) Vậy \(P = \frac{y}{2}.\)
Giá trị của biểu thức \(P = x \cdot \frac{1}{{{x^2} - x}}\) (với \(x \ne 1;\;\,x \ne 0\)) tại \(x = 1\;000\) là
\(\frac{1}{{1\;000}}.\)
\(P = \frac{1}{{999}}.\)
999.
\(1\;000.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(P = x \cdot \frac{1}{{{x^2} - x}} = \frac{x}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}.\)
Với \(x = 1\;000\) (thỏa mãn) thì \(P = \frac{1}{{1\;000 - 1}} = \frac{1}{{999}}.\) Vậy giá trị của \(P\) tại \(x = 1\;000\) là \(P = \frac{1}{{999}}.\)
Cho phân thức \(M\) thỏa mãn \(\frac{{x + 2}}{{x - 3}}:M = \frac{{2x + 4}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\) Phân thức \(M\) là
\(M = \frac{{2{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\)
\(M = \frac{{2{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}.\)
\(M = 2\left( {x + 1} \right).\)
\(M = \frac{{x + 1}}{2}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(M = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}:\frac{{2x + 4}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{x - 3}} \cdot \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 1}}{2}.\)
Vây \(M = \frac{{x + 1}}{2}.\)
Rút gọn phân thức \(P = \frac{{y + 2}}{{x - 2}}:\frac{x}{{x + 1}} \cdot \frac{{x - 2}}{{y + 2}}\) ta được
\(P = \frac{{x + 1}}{{ - x}}.\)
\(P = \frac{x}{{x + 1}}.\)
\(P = \frac{{x + 1}}{x}.\)
\(P = x + 1.\)
Đáp án đúng là: C
\(P = \frac{{y + 2}}{{x - 2}}:\frac{x}{{x + 1}} \cdot \frac{{x - 2}}{{y + 2}} = \left( {\frac{{y + 2}}{{x - 2}} \cdot \frac{{x - 2}}{{y + 2}}} \right) \cdot \frac{{x + 1}}{x} = \frac{{x + 1}}{x}.\) Vậy \(P = \frac{{x + 1}}{x}.\)
Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai
(Gồm 5 câu hỏi, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d))
Cho hai biểu thức \(A = \left( {{x^3} - 1} \right) \cdot \frac{1}{{{x^2} - 4}};\;\,B = \frac{{x + 2}}{{x - 1}} \cdot \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\) với \(x \ne 2;\;\,x \ne - 2;\;\,x \ne 1.\)
a)\(B = \frac{{x + 2}}{{{x^3} + 1}}.\)
b)\(A \cdot B = \frac{1}{{x - 2}}.\)
c)Với \(x = 4\) thì \(A \cdot B = \frac{1}{5}.\)
d)Có hai giá trị của \(x\) để \(A \cdot B = 1.\)
a)Sai.
Ta có: \(B = \frac{{x + 2}}{{x - 1}} \cdot \frac{1}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{{x^3} - 1}}.\) Vậy \(B = \frac{{x + 2}}{{{x^3} - 1}}\) với \(x \ne 2;\;\,x \ne - 2;\;\,x \ne 1.\)
b) Đúng.
Ta có: \(A \cdot B = \left( {{x^3} - 1} \right) \cdot \frac{1}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 2}}{{{x^3} + 1}} = \frac{{\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^3} - 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\)
Vậy \(A \cdot B = \frac{1}{{x - 2}}\) với \(x \ne 2;\;\,x \ne - 2;\;\,x \ne 1.\)
c) Sai.
Với \(x = 4\) (thỏa mãn) ta có: \(A \cdot B = \frac{1}{{4 - 2}} = \frac{1}{2}.\) Vậy với \(x = 4\) thì \(A \cdot B = \frac{1}{2}.\)
d) Sai.
Với \(A \cdot B = 1\) thì \(\frac{1}{{x - 2}} = 1\) nên \(x - 2 = 1\) suy ra \(x = 3\) (thỏa mãn). Vậy có một giá trị của \(x\) để \(A \cdot B = 1.\)
Cho \(A\) là kết quả của phép tính \(\frac{{{x^2}y}}{{x + y}} \cdot \frac{1}{x},\)\(B\) là phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{{x^2}y}}\) với x≠−y≠0. Khi đó:
a)\(B = \frac{{{x^2}y}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}.\)
b)\(A = \frac{{xy}}{{x + y}}.\)
c)\(A:B = \frac{y}{{x + y}}.\)
d)Với \(x - 2y = 0\) thì \(A:B = \frac{1}{2}.\)
a)Đúng.
Vì \(B\) là phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{{x^2}y}}\) nên \(B = \frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + 2xy + {y^2}}} = \frac{{{x^2}y}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}.\)
Vậy \(B = \frac{{{x^2}y}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\) với \(x \ne - y \ne 0.\)
b) Đúng.
Ta có: \(A = \frac{{{x^2}y}}{{x + y}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{{{x^2}y}}{{x\left( {x + y} \right)}} = \frac{{xy}}{{x + y}}.\) Vậy \(A = \frac{{xy}}{{x + y}}\) với \(x \ne - y \ne 0.\)
c) Sai.
Ta có: \(A:B = \frac{{xy}}{{x + y}}:\frac{{{x^2}y}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{xy{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x + y} \right){x^2}y}} = \frac{{x + y}}{x}.\) Vậy \(A:B = \frac{{x + y}}{x}.\)
d) Sai.
Vì \(x - 2y = 0\) nên \(x = 2y.\)
Với \(x = 2y\) (thỏa mãn) ta có: \(A:B = \frac{{2y + y}}{{2y}} = \frac{{3y}}{{2y}} = \frac{3}{2}.\)/\(x - 2y = 0\) thì \(A:B = \frac{3}{2}.\)
Cho hai phân thức \(A\) và \(B\) thỏa mãn:
\(\frac{x}{{{x^2} - 1}}:A = \frac{x}{{x + 1}};\;\,B:\frac{1}{{2x + 2}} = \frac{{x + 1}}{x}\) với \(x \ne 0;\;\,x \ne - 1;\;\,x \ne 1.\)
a) \(A = \frac{1}{{x - 1}}.\)
b) \(B = \frac{1}{{2x}}.\)
c) \(A:B = \frac{{x - 1}}{{2x}}.\)
d) Với \(x > 1\) thì \(\frac{A}{B}\) có giá trị là số dương.
a) Đúng.
Ta có: \(A = \frac{x}{{{x^2} - 1}}:\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}.\) Vậy \(A = \frac{1}{{x - 1}}\) với \(x \ne 0;\;\,x \ne - 1;\;\,x \ne 1.\)
b) Đúng.
\(B = \frac{{x + 1}}{x} \cdot \frac{1}{{2x + 2}} = \frac{{x + 1}}{{2x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{2x}}.\) Vậy \(B = \frac{1}{{2x}}\) với \(x \ne 0;\;\,x \ne - 1;\;\,x \ne 1.\)
c) Sai.
Ta có: \(A:B = \frac{1}{{x - 1}}:\frac{1}{{2x}} = \frac{{2x}}{{x - 1}}.\) Vậy \(A:B = \frac{{2x}}{{x - 1}}\) với \(x \ne 0;\;\,x \ne - 1;\;\,x \ne 1.\)
d) Đúng.
Với \(x > 1\) thì \(2x > 0;\;\,x - 1 > 0\) nên \(\frac{{2x}}{{x - 1}} > 0.\) Vậy với \(x > 1\) thì \(\frac{A}{B}\) có giá trị là số dương.
Năm ngoái, trên diện tích \(a\;\left( {{\rm{ha}}} \right)\) nhà bác An thu hoạch được \(b\) tấn sắn. Năm nay so với năm ngoái, nhà bác An giảm \(2\;\left( {{\rm{ha}}} \right)\) diện tích trồng sắn nhưng nhờ cải tiến kĩ thuật, sản lượng sắn tăng 5 tấn.
a)Năng suất sắn của nhà bác An năm ngoái là \(\frac{b}{a}\) (tấn/ ha).
b)Năng suất sắn của nhà bác An năm nay là \(\frac{{b + 5}}{{a + 2}}\) (tấn/ ha).
c)Năng suất sắn của nhà bác An năm nay gấp \(\frac{{b + 5}}{{a - 2}}\) lần năm ngoái.
d)Với \(a = 10;\;\,b = 45\) thì năng suất sắn nhà bác An năm nay gấp \(\frac{{25}}{{18}}\) năm ngoái.
a) Đúng.
Năng suất sắn của nhà bác An năm ngoái là \(\frac{b}{a}\) (tấn/ ha).
b) Sai.
Năm nay, diện tích trồng sắn nhà bác An là: \(a - 2\;\,\left( {{\rm{ha}}} \right)\) và sản lượng sắn thu được là \(b + 5\) (tấn).
Năng suất sắn của nhà bác An năm nay là \(\frac{{b + 5}}{{a - 2}}\) (tấn/ ha).
c) Sai.
Ta có: \(\frac{{b + 5}}{{a - 2}}:\frac{b}{a} = \frac{{a\left( {b + 5} \right)}}{{b\left( {a - 2} \right)}}.\)
Vậy năng suất sắn của nhà bác An năm nay gấp \(\frac{{a\left( {b + 5} \right)}}{{b\left( {a - 2} \right)}}\) lần năm ngoái.
d) Đúng.
Với \(a = 10;\;\,b = 45\) ta có: \(\frac{{a\left( {b + 5} \right)}}{{b\left( {a - 2} \right)}} = \frac{{10\left( {45 + 5} \right)}}{{45\left( {10 - 2} \right)}} = \frac{{25}}{{18}}.\)
Với \(a = 10;\;\,b = 45\) thì năng suất sắn nhà bác An năm nay gấp \(\frac{{25}}{{18}}\) năm ngoái.
Hai máy bay cùng bay quãng đường \(900\;\,{\rm{km}}{\rm{.}}\) Biết tốc độ của máy bay thứ hai lớn hơn tốc độ của máy bay thứ nhất là \(200\;\,{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}{\rm{.}}\) Gọi \(x\;\,\left( {{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}} \right)\) là tốc độ của máy bay thứ nhất \(\left( {x > 0} \right).\)
a) Thời gian máy bay thứ nhất đã bay là \(\frac{{900}}{x}\) giờ.
b) Thời gian máy bay thứ hai đã bay là \(\frac{{900}}{{x - 200}}\) giờ.
c) Tỉ số thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là \(\frac{{x - 200}}{x}.\)
d) Với tốc độ bay của máy bay thứ nhất là \(150\;\,{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}\) thì tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là \(\frac{3}{5}.\)
a) Đúng.
Thời gian máy bay thứ nhất đã bay là \(\frac{{900}}{x}\) giờ.
b) Sai.
Tốc độ của máy bay thứ hai là: \(x + 200\;\,\left( {{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}} \right).\)
Thời gian máy bay thứ hai đã bay là \(\frac{{900}}{{x + 200}}\) giờ.
c) Sai.
Ta có: \(\frac{{900}}{x}:\frac{{900}}{{x + 200}} = \frac{{900\left( {x + 200} \right)}}{{900x}} = \frac{{x + 200}}{x}.\)
Vậy tỉ số thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là \(\frac{{x + 200}}{x}.\)
d) Sai.
Với \(x = 150\) ta có: \(\frac{{x + 200}}{x} = \frac{{150 + 200}}{{150}} = \frac{7}{3}.\)
Vậy với tốc độ bay của máy bay thứ nhất là \(150\;\,{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}\) thì tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là \(\frac{7}{3}.\)
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
(Gồm 5 câu hỏi, hãy viết câu trả lời/đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết)
Cho \(M = \frac{{x - y}}{z} \cdot \left( {\frac{{x + 1}}{{2x + 2}} \cdot \frac{z}{{x - y}}} \right)\) với \(x \ne - 1;\;\,z \ne 0;\;\,x \ne y.\) Hỏi thu gọn biểu thức \(M\) ta được kết quả bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: 0,5
Với \(x \ne - 1;\;\,z \ne 0;\;\,x \ne y\) ta có: \(M = \frac{{x - y}}{z} \cdot \left( {\frac{{x + 1}}{{2x + 2}} \cdot \frac{z}{{x - y}}} \right) = \left( {\frac{{x - y}}{z} \cdot \frac{z}{{x - y}}} \right) \cdot \frac{{x + 1}}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{2} = 0,5.\)
Kết quả của phép tính \(\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{x + y}}:\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{2x + 2y}} \cdot \frac{1}{{x - y}}\) (với \(x \ne - y;\;x \ne y\)) bằng bao nhiêu?
Đáp án: \(2\)
Với \(x \ne - y;\;x \ne y\) ta có:
\(\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{x + y}}:\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{2x + 2y}} \cdot \frac{1}{{x - y}}\)
\( = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}{{x + y}} \cdot \frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} \cdot \frac{1}{{x - y}}\)
\( = \frac{{2\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\left( {x - y} \right)}}\)
\( = 2.\)
Vậy kết quả của phép tính đã cho là 2.
Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x + y}}{{xy}} - \frac{2}{y}} \right) \cdot \frac{{{x^2}{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}\) với \(x \ne y \ne 0.\) Tính giá trị của \(P\) khi \(x = - 22;\)\(y = 20.\)
Đáp án: \( - 220\)
Với \(x \ne y;\;\,x \ne - y\) ta có:
\(P = \left( {\frac{{x + y}}{{xy}} - \frac{2}{y}} \right) \cdot \frac{{{x^2}{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{x + y - 2x}}{{xy}} \cdot \frac{{{x^2}{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{ - \left( {x - y} \right){x^2}{y^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{ - xy}}{{x + y}}.\)
Với \(x = - 22;\;\,y = 20\) (thỏa mãn) ta có: \(P = \frac{{ - \left( { - 22} \right) \cdot 20}}{{\left( { - 22} \right) + 20}} = - 220.\)
Vậy với \(x = - 22;\;\,y = 20\) thì \(P = - 220.\)
Cho phân thức \(M\left( x \right)\) thỏa mãn \(M\left( x \right) \cdot \frac{1}{{{x^2} - x}} = \frac{x}{{x - 1}}\) với \(x \ne 1;\;\,x \ne 0.\) Tính giá trị của \(M\left( x \right)\) tại \(x = 15.\)
Đáp án: \(225\)
Với \(x \ne 1;\;\,x \ne 0\) ta có: \(M\left( x \right) = \frac{x}{{x - 1}}:\frac{1}{{{x^2} - x}} = \frac{x}{{x - 1}} \cdot \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{1} = \frac{{{x^2}\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = {x^2}.\)
Với \(x = 15\) (thỏa mãn) ta có: \(M = {15^2} = 225.\)
Vậy với \(x = 15\) thì \(M = 225.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(E = \frac{{x + 2}}{{x - 1}} \cdot \frac{{{x^3} - 1}}{{2 + x}}\) đạt giá trị nguyên.
Đáp án: \(0,75\)
Điều kiện xác định: \(x \ne - 2\) và \(x \ne 1.\)
Ta có: \(E = \frac{{x + 2}}{{x - 1}} \cdot \frac{{{x^3} - 1}}{{2 + x}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {x^2} + x + 1.\)
Lại có: \({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}.\)
Vì \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\) với mọi \(x \ne - 2\) và \(x \ne 1\) nên \(E \ge \frac{3}{4} = 0,75\) với mọi \(x \ne - 2\) và \(x \ne 1.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x + \frac{1}{2} = 0\) suy ra \(x = \frac{{ - 1}}{2}\) (thỏa mãn).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) bằng \(0,75\) với mọi \(x \ne - 2\) và \(x \ne 1.\)
