10 Bài tập Rút gọn biểu thức có chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức (có lời giải)
10 câu hỏi
Biến đổi phân thức \(\frac{{1 - \frac{2}{{x + 1}}}}{{1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}}}\) ta được kết quả là
\({\left( {x - 1} \right)^2}\);
\({\left( {x + 1} \right)^2}\);
\({\left( {2x - 1} \right)^2}\);
\({x^2} - 1\).
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(\frac{{1 - \frac{2}{{x + 1}}}}{{1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}}} = \left( {1 - \frac{2}{{x + 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}} \right)\)
\( = \frac{{x + 1 - 2}}{{x + 1}}:\frac{{{x^2} - 1 - {x^2} + 2}}{{{x^2} - 1}}\)
\( = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}:\frac{1}{{{x^2} - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\frac{{{x^2} - 1}}{1}\)
\( = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{1} = {\left( {x - 1} \right)^2}\)
Do đó ta chọn đáp án A.
Rút gọn biểu thức \(A = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) - 1\) ta được kết quả là
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\(A = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) - 1\)
\( = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{{x + 1 - x + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) - 1\)
\( = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{2}{{{x^2} - 1}}} \right) - 1\)
= 2 – 1
= 1
Do đó ta chọn đáp án B.
Biểu thức \(\left( {\frac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \frac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)\), sau khi rút gọn ta thu được biểu thức nào dưới đây
\(\frac{{1 - 3x}}{{x + 1}}\);
\(\frac{{3x - 1}}{{x - 1}}\);
\(\frac{{1 - 3x}}{{x - 1}}\);
\(\frac{{1 + 3x}}{{x - 1}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(\left( {\frac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \frac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)\)
\( = \frac{{2x - 3x - 1}}{{3x + 1}}:\frac{{9{x^2} - 1 - 8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}\)
\( = \frac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}:\frac{{{x^2} - 1}}{{9{x^2} - 1}}\)
\( = \frac{{ - \left( {x + 1} \right)}}{{3x + 1}}:\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}\)
\( = \frac{{ - \left( {x + 1} \right)}}{{3x + 1}}.\frac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{ - \left( {3x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \frac{{1 - 3x}}{{x - 1}}\)
Do đó ta chọn đáp án C.
Rút gọn biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right)\) được kết quả là
\(\frac{1}{{x - 1}}\);
\(\frac{1}{{x + 1}}\);
\(\frac{1}{{{x^2} + 1}}\);
\(\frac{x}{{x + 1}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\(A = \left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right)\)
\( = \left( {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + \frac{{{x^2}}}{x} - \frac{{2x}}{x}} \right)\)
\( = \left( {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{{1 + {x^2} - 2x}}{x}} \right)\)
\( = \frac{{1 - 2x + {x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}:\frac{{1 - 2x + {x^2}}}{x}\)
\( = \frac{{1 - 2x + {x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{x}{{1 - 2x + {x^2}}}\)
\( = \frac{1}{{x + 1}}\)
Do đó ta chọn đáp án B.
Biến đổi biểu thức \(B = \frac{{\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^3} - 1}} - x}}{{\frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}}}}\) ta được biểu thức nào dưới đây?
\( - \frac{x}{{x + 2}}\);
\(\frac{1}{{x - 2}}\);
\(\frac{1}{{x + 2}}\);
\( - \frac{1}{{x + 2}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\(B = \frac{{\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^3} - 1}} - x}}{{\frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}}}} = \left( {\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^3} - 1}} - x} \right):\left( {\frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}}} \right)\)
\( = \left( {\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^3} - 1}}} \right):\left( {\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^3} - 1}}} \right)\)
\( = \frac{{{x^4} + 1 - {x^4} + x}}{{{x^3} - 1}}:\frac{{{x^2} - x - 2{x^2} - 2x - 2}}{{{x^3} - 1}}\)
\( = \frac{{x + 1}}{{{x^3} - 1}}:\frac{{ - {x^2} - 3x - 2}}{{{x^3} - 1}}\)
\( = \frac{{x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{{x^3} - 1}}{{ - {x^2} - 3x - 2}}\)
\( = \frac{{x + 1}}{{ - {x^2} - 3x - 2}} = \frac{{x + 1}}{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = - \frac{1}{{x + 2}}\)
Do đó ta chọn đáp án D.
Rút gọn biểu thức \(B = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right)\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)\) ta được kết quả là
\(\frac{{4 + x}}{{x + 2}}\);
\(\frac{4}{{x + 2}}\);
\(\frac{{4x}}{{x + 2}}\);
\(\frac{4}{{x - 2}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\(B = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right)\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)\)
\( = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right)\frac{{2 - x}}{x}\)
\( = \left( {\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}}} \right)\frac{{2 - x}}{x}\)
\( = \frac{{x + 2 + 2x + x - 2}}{{{x^2} - 4}}.\frac{{2 - x}}{x}\)
\( = \frac{{4x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}.\frac{{ - \left( {x - 2} \right)}}{x}\)
\( = \frac{{ - 4}}{{x + 2}}\)
Do đó ta chọn đáp án B.
Biểu thức \(B = \frac{{1 + \frac{2}{{x - 1}}}}{{1 + \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}}}\) rút gọn được kết quả là
\(\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}\);
1;
\(\frac{1}{{{x^2} - 1}}\);
\(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(B = \frac{{1 + \frac{2}{{x - 1}}}}{{1 + \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}}} = \left( {1 + \frac{2}{{x - 1}}} \right):\left( {1 + \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right)\)
\( = \frac{{x - 1 + 2}}{{x - 1}}:\frac{{{x^2} + 1 + 2x}}{{{x^2} + 1}}\)
\( = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}:\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.\frac{{{x^2} + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}\)
Do đó ta chọn đáp án A.
Rút gọn biểu thức \(\frac{{1 - \frac{2}{{x + 1}}}}{{1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}}}\) ta được kết quả là
\({\left( {x - 2} \right)^2}\);
\({\left( {x - 1} \right)^2}x\);
\({\left( {x - 1} \right)^2}\);
\({\left( {x + 1} \right)^2}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(\frac{{1 - \frac{2}{{x + 1}}}}{{1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}}} = \left( {1 - \frac{2}{{x + 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}} \right)\)
\( = \left( {\frac{{x + 1 - 2}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{{{x^2} - 1 - {x^2} + 2}}{{{x^2} - 1}}} \right)\)
\( = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}:\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)
\( = {\left( {x - 1} \right)^2}\)
Do đó ta chọn đáp án C.
Rút gọn biểu thức \(\left( {\frac{x}{{x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right)\) ta được kết quả là
\(\frac{x}{{2x + 1}}\);
\(\frac{{1 + x}}{{2x + 1}}\);
\(\frac{{1 + x}}{{2x - 1}}\);
\(\frac{{1 - x}}{{2x + 1}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\(\left( {\frac{x}{{x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right) = \left( {\frac{{x + x + 1}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{{1 - {x^2} - 3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right)\)
\( = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}:\frac{{1 - 4{x^2}}}{{1 - {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\frac{{1 - {x^2}}}{{1 - 4{x^2}}}\)
\( = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}\)
\( = \frac{{1 - x}}{{1 - 2x}}\)
Do đó ta chọn đáp án D.
Cho biểu thức \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}} - 1} \right)\). Rút gọn biểu thức ta được kết quả là
\(3 - {x^2}\);
3 – x ;
\(3 + {x^2}\);
\({x^2} - 3\).
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}} - 1} \right)\)
\( = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right)\)
\( = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{x + 1 - x + 1 - {x^2} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right)\)
\( = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\frac{{3 - {x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = 3 - {x^2}\)
Do đó ta chọn đáp án A.
