Giải SBT Toán 8 KNTT Phép nhân và phép chia phân thức đại số có đáp án

\(\frac{{2{x^3}}}{{5{y^2}}}.\frac{{125{y^5}}}{{8x}} = \frac{{2{x^3}.125{y^5}}}{{5{y^2}.8x}}\) \( = \frac{{2{x^3}.5.25{y^5}}}{{5{y^2}.2.4x}} = \frac{{25{x^3}{y^5}}}{{4x{y^2}}} = \frac{{25{x^2}{y^3}}}{4}\).

\(\frac{{24{y^5}}}{{7{x^2}}}.\left( { - \frac{{21x}}{{12{y^3}}}} \right) = \frac{{24{y^5}.\left( { - 21x} \right)}}{{7{x^2}.12{y^3}}}\) \( = \frac{{12.2{y^5}.\left( { - 3} \right).7x}}{{7{x^2}.12{y^3}}} = \frac{{ - 6x{y^5}}}{{{x^2}{y^3}}} = \frac{{ - 6{y^2}}}{x}\).

\(\frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{{x^2} - 3x + 9}}.\frac{{{x^3} + 27}}{{3x - 9}} = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2} - 3x + 9}}.\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}}{{3\left( {x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}}{{3\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}} = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{3} = \frac{{{x^2} - 9}}{3}\).

\(\frac{{2{x^2} - 20x + 50}}{{3x + 3}}.\frac{{{x^2} - 1}}{{4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}}\)

\( = \frac{{2\left( {{x^2} - 10x + 25} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}}\)

\( = \frac{{2{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{3\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}}\)

\( = \frac{{2{{\left( {x - 5} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right).4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} = \frac{{x - 1}}{{6\left( {x - 5} \right)}}\).

\(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{6{x^2}y}}:\frac{{x + y}}{{3xy}} = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{6{x^2}y}}.\frac{{3xy}}{{x + y}}\)

\( = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right).3xy}}{{6{x^2}y.\left( {x + y} \right)}} = \frac{{x - y}}{{2x}}\).

\(16{x^2}{y^2}:\left( { - \frac{{18{x^2}{y^5}}}{5}} \right) = 16{x^2}{y^2}.\frac{5}{{\left( { - 18{x^2}{y^5}} \right)}} = \frac{{16{x^2}{y^2}.5}}{{ - 18{x^2}{y^5}}} = \frac{{ - 40}}{{9{y^3}}}\).

\(\frac{{1 - 4{x^2}}}{{{x^2} + 4x}}:\frac{{2 - 4x}}{{3x}} = \frac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)}}:\frac{{2\left( {1 - 2x} \right)}}{{3x}}\)

\( = \frac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)}}.\frac{{3x}}{{2\left( {1 - 2x} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right).3xy}}{{6{x^2}y.\left( {x + y} \right)}} = \frac{{x - y}}{{2x}}\).

\(\left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right)\)

\( = \left[ {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right]:\left( {\frac{1}{x} + \frac{{{x^2}}}{x} - \frac{{2x}}{x}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{1 + {x^2} - 2x}}{x}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{{1 - x\left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{x}} \right]\)

\( = \frac{{1 - 2x + {x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{x}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}.x}}{{x.{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{x + 1}}\).

\(\left( {\frac{{3x}}{{1 - 3x}} + \frac{{2x}}{{3x + 1}}} \right):\frac{{6{x^2} + 10x}}{{1 - 6x + 9{x^2}}}\)

\( = \left[ {\frac{{3x\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {3x + 1} \right)}} + \frac{{2x\left( {1 - 3x} \right)}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {3x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{2x\left( {3x + 5} \right)}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}\)

\( = \left[ {\frac{{3x\left( {3x + 1} \right) + 2x\left( {1 - 3x} \right)}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {3x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{2x\left( {3x + 5} \right)}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}\)

\( = \left[ {\frac{{9{x^2} + 3x + 2x - 6{x^2}}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {3x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{2x\left( {3x + 5} \right)}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}\)

\( = \left[ {\frac{{3{x^2} + 5x}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {3x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{2x\left( {3x + 5} \right)}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{x\left( {3x + 5} \right)}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {3x + 1} \right)}}:\frac{{2x\left( {3x + 5} \right)}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{x\left( {3x + 5} \right)}}{{\left( {1 - 3x} \right)\left( {3x + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{2x\left( {3x + 5} \right)}}\)

\( = \frac{{1 - 3x}}{{2\left( {3x + 1} \right)}}\).

\(\left( {\frac{9}{{{x^3} - 9x}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right):\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 3x}} - \frac{x}{{3x + 9}}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{9}{{x\left( {{x^2} - 9} \right)}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right]:\left[ {\frac{{x - 3}}{{x\left( {x + 3} \right)}} - \frac{x}{{3\left( {x + 3} \right)}}} \right]\)

\( = \left[ {\frac{9}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right]:\left[ {\frac{{x - 3}}{{x\left( {x + 3} \right)}} - \frac{x}{{3\left( {x + 3} \right)}}} \right]\)

\( = \left[ {\frac{9}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{3\left( {x - 3} \right)}}{{3x\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{3x\left( {x + 3} \right)}}} \right]\)

\( = \left[ {\frac{{9 + x\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{3\left( {x - 3} \right) - {x^2}}}{{3x\left( {x + 3} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{{9 + {x^2} - 3x}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\frac{{3x - 9 - {x^2}}}{{3x\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\frac{{ - \left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}}{{3x\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\frac{{3x\left( {x + 3} \right)}}{{ - \left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}}\)

\( = \frac{{ - 3}}{{x - 3}}\).

\(\frac{{x + 1}}{{x + 2}}.\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 3}}:\frac{{x + 3}}{{x + 1}}} \right)\)

\( = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}.\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 3}}.\frac{{x + 1}}{{x + 3}}} \right)\)

\( = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}.\frac{{\left( {x + 2} \right).\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right).\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right){{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{{x + 1}}{{x + 3}}} \right)^2}\).

Điều kiện xác định của P là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\1 - {x^3} \ne 0\\x + 1 \ne 0\\{x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.hay\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.\).

P = \(\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - {x^3}}}.\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right):\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\)

\( = \left[ {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}.\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right]:\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \left[ {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{{x\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \left[ {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \left[ {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \left[ {\frac{{x + 1 + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x + 1}}\)\( = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).

Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào P sau khi rút gọn ta có: \(P = \frac{{\frac{1}{2} + 1}}{{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{ - \frac{1}{2}}} = - 3\).

Phân thức biểu thị số sản phẩm người công nhân thứ nhất làm được trong 1 giờ là:

\(\frac{{1000}}{x}\) (sản phẩm).

Phân thức biểu thị số sản phẩm người công nhân thứ hai làm được trong 1 giờ là:

\(\frac{{1250}}{{x + 10}}\) (sản phẩm).

Tỉ số giữa năng suất của người công nhân thứ hai so với năng suất của người công nhân thứ nhất là: \(\frac{{1250}}{{x + 10}}:\frac{{1000}}{x} = \frac{{1250}}{{x + 10}}.\frac{x}{{1000}} = \frac{{5x}}{{4\left( {x + 10} \right)}}\).

Giá trị tỉ số giữa năng suất của người công nhân thứ hai so với năng suất của người công nhân thứ nhất trong trường hợp x = 240 là: \(\frac{{5.240}}{{4\left( {240 + 10} \right)}} = 1,2\) = 120%.

Do đó, năng suất lao động của người công nhân thứ hai tăng 20% phần trăm so với năng suất lao động của người công nhân thứ nhất.