Trắc nghiệm Căn bậc hai với phép nhân và phép chia lớp 9 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: B

Ta có \[ - \frac{1}{3}a{b^3} \cdot \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{{{b^6}}}} \]\[ = - \frac{1}{3}a{b^3} \cdot \frac{{\sqrt {9{a^2}} }}{{\sqrt {{b^6}} }}\]

\[ = - \frac{1}{3}a{b^3} \cdot \frac{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {{b^3}} \right)}^2}} }}\]\[ = - \frac{1}{3}a{b^3} \cdot \frac{{\left| {3a} \right|}}{{\left| {{b^3}} \right|}}\]

\[ = - \frac{1}{3}a{b^3} \cdot \frac{{ - 3a}}{{{b^3}}}\]\( = {a^2}\).

a) Sai.

Ta có: \({u_1}{u_2} = \sqrt {4 - \sqrt 7 } .\sqrt {4 + \sqrt 7 } = \sqrt {\left( {4 - \sqrt 7 } \right).\left( {4 + \sqrt 7 } \right)} = \sqrt {16 - 7} = \sqrt 9 = 3\).

b) Đúng.

\(u_1^2 + u_2^2 = {\left( {\sqrt {4 - \sqrt 7 } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {4 + \sqrt 7 } } \right)^2} = 4 - \sqrt 7 + 4 + \sqrt 7 = 8\).

c) Sai.

\({\left( {{u_1} - {u_2}} \right)^2} = u_1^2 - 2{u_1}{u_2} + u_2^2 = 8 - 2.3 = 2\).

d) Đúng.

Ta có: \({\left( {{u_1} + {u_2}} \right)^2} = u_1^2 + 2{u_1}{u_2} + u_2^2 = 8 + 2.3 = 14\)

\(u_1^3 + u_2^3 = \left( {{u_1} + {u_2}} \right)\left( {u_1^2 - {u_1}{u_2} + u_2^2} \right) = \sqrt {14} .\left( {8 - 3} \right) = 5\sqrt {14} \).

a) Đúng.

\[{x_1}{x_2} = \sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} = \sqrt {9 - 5} = \sqrt 4 = 2\].

b) Đúng.

\(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = 3 + \sqrt 5 + 3 - \sqrt 5 = 6.\)

c) Sai.

Ta có: \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 2{x_1}{x_2} = 6 + 2.2 = 10\).

d) Đúng.

Cách 1. \(x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\)

\( = \left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)\left( {6 - 2} \right)\)

\( = 4\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)\)

\( = 4\sqrt {3 + \sqrt 5 } + 4\sqrt {3 - \sqrt 5 } \)

\( = \sqrt {48 + 16\sqrt 5 } + \sqrt {48 - 16\sqrt 5 } \)

\( = \sqrt {48 + 2.8\sqrt 5 } + \sqrt {48 - 2.8\sqrt 5 } \)

\( = \sqrt {48 + 2.\sqrt 8 .\sqrt 8 .\sqrt 5 }  + \sqrt {48 - 2.\sqrt 8 .\sqrt 8 .\sqrt 5 } \)

\( = \sqrt {48 + 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} } + \sqrt {48 - 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} } \)

\( = \sqrt {40 + 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} + 8} + \sqrt {40 - 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} + 8} \)

\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 8 + \sqrt {40} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {40} - \sqrt 8 } \right)}^2}} \)

\( = \sqrt 8 + \sqrt {40} + \sqrt {40} - \sqrt 8 \)

\( = 2\sqrt {40} \)

\( = 4\sqrt {10} \).

Cách 2. Có \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 10\) nên \(\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {10} \) hay \({x_1} + {x_2} = \sqrt {10} \).

Do đó, \(x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = \sqrt {10} .\left( {6 - 2} \right) = 4\sqrt {10} \).

a) Đúng.

Ta có:

\(A = \sqrt {14 - 6\sqrt 5 } = \sqrt {9 - 2.3.\sqrt 5 + 5} = \sqrt {{3^2} - 2.3.\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 5 \).

b) Sai.

Ta có:

\(B = \sqrt {13 - 4\sqrt 3 } = \sqrt {12 - 2.2.\sqrt 3 + 1} = \sqrt {4.3 - 2.\left( {2.\sqrt 3 } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.\left( {2.\sqrt 3 } \right) + {1^2}} \)

    \( = \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = 2.\sqrt 3 - 1\).

c) Sai.

Ta có: \(\sqrt 5 > \sqrt 4 \) hay \(\sqrt 5 > 2\), suy ra \( - \sqrt 5 < - 2\) nên \(3 + \left( { - \sqrt 5 } \right) < 3 + \left( { - 2} \right)\) hay \(3 - \sqrt 5 < 1\).

Vậy \(A < 1.\)

d) Đúng.

Ta có: \(\sqrt 3 > 1\) nên \(2.\sqrt 3 > 2\), do đó \(2.\sqrt 3 - 1 > 2 - 1\) hay \(B > 1\).

Vì \(A < 1\) và \(B > 1\) nên \(A < 1 < B\).

Vậy \(A < B\).

a) Đúng.

Ta có: \(D = \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } = \sqrt {5 + 2.2\sqrt 5 + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 + 2\).

b) Sai.

Ta có: \(E = \sqrt {11 + 6\sqrt 2 } = \sqrt {9 + 2.3\sqrt 2 + 2} = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3 + \sqrt 2 \).

c) Sai.

Ta có: \({D^2} = 9 + 4\sqrt 5 = 9 + \sqrt {16.5} = 9 + \sqrt {80} \)

           \({E^2} = 11 + 6\sqrt 2 = 9 + 6\sqrt 2 + 2 = 9 + \sqrt {36.2} + 2 = 9 + \sqrt {72} + 2\).

Nhận thấy \(\sqrt {72} + 2 > \sqrt {64} + 2\) hay \(\sqrt {72} + 2 > 10\); \(\sqrt {80} < \sqrt {100} \) nên \(\sqrt {80} < 10\).

Do đó, \(9 + \sqrt {80} < 9 + \sqrt {72} + 2\) hay \({D^2} < {E^2}\).

Suy ra \(D < E.\)

d) Sai.

Ta có \(3 + \sqrt 2 > 3 + 1\) hay \(3 + \sqrt 2 > 4\); \(\sqrt 2 + 3 < 3 + 2\) hay \(\sqrt 2 + 3 < 5\).

Do đó, \(4 < D < E < 5.\)

Từ đó ta thấy không có số nguyên nào nằm giữa \(D\) và \(E\).

a) Đúng.

Ta có: \(a = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \)

 Suy ra \[{a^2} = {\left( {\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2}\]

\[{a^2} = {\left( {\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2} + 2\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } .\sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \]

\[{a^2} = 2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} + 2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} + 2\sqrt {\left( {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right).\left( {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right)} \]

\[{a^2} = 4 + 2\sqrt {4 - {{\left( {\sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right)}^2}} \]

\[{a^2} = 4 + 2\sqrt {4 - \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} \]

\[{a^2} = 4 + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \]

\[{a^2} = 4 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \]

\[{a^2} = 4 + \sqrt 5 - 1\]

\[{a^2} = 3 + \sqrt 5 \]

\[a = \sqrt {3 + \sqrt 5 } \].

b) Sai.

Ta có: \(x = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\)

          \[x = \sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\].

Lại có \[{\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = 3 + \sqrt 5 + 3 - \sqrt 5 - 2\sqrt {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)} = 2\]

Suy ra \[\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt 2 \]

Vậy \[x = \sqrt 2 - 1\].

c) Đúng.

Thay \[x = \sqrt 2 - 1\] vào \[{x^2} + 2x - 1\] được

\[{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} + 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right) - 1 = 2 - 2\sqrt 2 + 1 + 2\sqrt 2 - 2 - 1 = 0\].

d) Đúng

Ta có: \[A = 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 2\]

              \[ = 2{x^3} + 4{x^2} - 2x - {x^2} - 2x + 2\]

              \[ = 2x\left( {{x^2} + 2x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) + 1\]

Thay \[x = \sqrt 2 - 1\] và \[{x^2} + 2x - 1 = 0\] vào \[A\], ta được:

\(A = 2.\left( {\sqrt 2 - 1} \right).0 - 0 + 1 = 1\).

Đáp án: 0,75

Thay \[H = 5,76\,\,{\rm{m}}\] và \[h = 3,24\,\,{\rm{m,}}\] ta được:

\[{C_R} = \sqrt {\frac{h}{H}} = \sqrt {\frac{{3,24}}{{5,76}}} = \sqrt {\frac{{324}}{{576}}} = \frac{{\sqrt {324} }}{{\sqrt {576} }} = \frac{{18}}{{24}} = \frac{3}{4} = 0,75\].

Vậy hệ số phục hồi của quả bóng là \({C_R} = 0,75\).

Đáp án: 2,5

Theo bài, ta có \[R = 80\,\,\Omega ,\] \[t = 1\] (s), \[Q = 500\] (J).

Áp dụng công thức \[Q = {I^2}Rt\], ta có: \[500 = {I^2} \cdot 80 \cdot 1\]

Suy ra \(80{I^2} = 500\), nên \[{I^2} = \frac{{500}}{{80}} = \frac{{25}}{4}\].

Do đó \[I = \sqrt {\frac{{25}}{4}} = \frac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt 4 }} = \frac{5}{2} = 2,5\] (A).

Vậy cường độ dòng điện chạy trong dây dẫn là \[2,5\] Ampe.

Đáp án: 15

Vận tốc bay của một vật khi biết vật đó có khối lượng \[2,5{\rm{ kg}}\] và động năng \[281,25{\rm{ J}}\] là:

\[v = \sqrt {\frac{{2E}}{m}} = \sqrt {\frac{{2.281,25}}{{2,5}}} = \sqrt {\frac{{562,5}}{{2,5}}} = \sqrt {\frac{{5625}}{{25}}} = \frac{{\sqrt {5625} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{75}}{5} = 15\,\,\left( {{\rm{m/}}\,{\rm{s}}} \right)\].

Vậy vận tốc bay của vật đó là 15 m/s.

Đáp án: 2

Ta có: \(A = \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)

              \( = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + \sqrt {15} .\sqrt {10} - \sqrt {15} .\sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)

             \( = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + 5\sqrt 6 - 3\sqrt {10} } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)

             \( = \left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)

             \( = \sqrt 2 \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)

            \( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {2\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \)

           \( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {8 - 2\sqrt {15} } \)

          \( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)

         \( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\)

         \( = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\)

        \( = 5 - 3\)

        = 2.

Vậy \(A = 2\).

Đáp án: 8

Ta có: \(E = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt b - 1}}{{\sqrt a + 1}}} \)

             \( = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} .\sqrt {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}} \)

             \( = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}.\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}} \)

            \( = \sqrt {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt b + 1} \right)\left( {\sqrt b - 1} \right)}}} \)

            \( = \sqrt {\frac{{a - 1}}{{b - 1}}} \).

Thay \(a = 7,25;\,\,b = 3,25\) (thỏa mãn điều kiện) vào \(E\), ta có:

\(E = \sqrt {\frac{{7,25 - 1}}{{3,25 - 1}}} = \sqrt {\frac{{6,25}}{{2,25}}} = \sqrt {\frac{{625}}{{225}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{25}}{{15}}} \right)}^2}} = \frac{{25}}{{15}} = \frac{5}{3}\).

Vậy \(\frac{m}{n} = \frac{5}{3}\) hay \(m = 5;\,\,\,n = 3.\)

Vậy \(T = m + n = 5 + 3 = 8.\)