Bài tập So sánh các căn bậc hai lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Điền dấu thích hợp vào ô trống .
>.
<.
=.
≤.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{5}{4}\sqrt 2 = \sqrt {\frac{{25}}{{16}}.2} = \sqrt {\frac{{25}}{8}} \); \(\frac{2}{3}\sqrt 7 = \sqrt {\frac{4}{9}.7} = \sqrt {\frac{{28}}{9}} \)
Vì \(\frac{{25}}{8} > \frac{{28}}{9}\) nên \(\sqrt {\frac{{25}}{8}} > \sqrt {\frac{{28}}{9}} \).
Suy ra \(\frac{5}{4}\sqrt 2 < \frac{2}{3}\sqrt 7 \).
Điền dấu thích hợp vào ô trống .
>.
<.
=.
≤.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \( - \sqrt {{3^2}.11} = - \sqrt {99} \); \( - 2\sqrt {23} = - \sqrt {{2^2}.23} = - \sqrt {92} \).
Vì \( - \sqrt {92} > - \sqrt {99} \) nên \( - 3\sqrt {11} {\rm{ < }} - 2\sqrt {23} \).
Điền dấu thích hợp vào ô trống .
>.
<.
=.
≤.
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(\sqrt 8 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 + \sqrt 2 = 3\sqrt 2 = \sqrt {18} \).
Điền dấu thích hợp vào ô trống .
>.
<.
=.
≤.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\sqrt {2019} {\rm{ + }}\sqrt {2022} {\rm{ < }}\sqrt {2020} + \sqrt {2021} \).
Sắp xếp các số sau đây theo thứ tự tăng dần: \(6\sqrt 3 ;7\sqrt 2 ;15\sqrt {\frac{2}{9}} ;9\sqrt {1\frac{2}{9}} \) ta được:
\(6\sqrt 3 ;7\sqrt 2 ;15\sqrt {\frac{2}{9}} ;9\sqrt {1\frac{2}{9}} \).
\(15\sqrt {\frac{2}{9}} ;7\sqrt 2 ;9\sqrt {1\frac{2}{9}} ;6\sqrt 3 \).
\(6\sqrt 3 ;9\sqrt {1\frac{2}{9}} ;7\sqrt 2 ;15\sqrt {\frac{2}{9}} \).
\(6\sqrt 3 ;15\sqrt {\frac{2}{9}} ;7\sqrt 2 ;9\sqrt {1\frac{2}{9}} \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(6\sqrt 3 = \sqrt {108} ;7\sqrt 2 = \sqrt {98} ;\)
\(15\sqrt {\frac{2}{9}} = \sqrt {{{15}^2}.\frac{2}{9}} = \sqrt {50} ;9\sqrt {1\frac{2}{9}} = \sqrt {{9^2}.\frac{{11}}{9}} = \sqrt {99} \).
Vì \(\sqrt {50} < \sqrt {98} < \sqrt {99} < \sqrt {108} \) nên \(15\sqrt {\frac{2}{9}} < 7\sqrt 2 < 9\sqrt {1\frac{2}{9}} < 6\sqrt 3 \).
>
Sắp xếp các số \(3\sqrt 5 ;2\sqrt 6 ;\sqrt {29} ;4\sqrt 2 \) theo thứ tự tăng dần ta được:
\(2\sqrt 6 ;3\sqrt 5 ;4\sqrt 2 ;\sqrt {29} \).
\(3\sqrt 5 ;2\sqrt 6 ;\sqrt {29} ;4\sqrt 2 \).
\(2\sqrt 6 ;\sqrt {29} ;4\sqrt 2 ;3\sqrt 5 \).
\(3\sqrt 5 ;4\sqrt 2 ;\sqrt {29} ;2\sqrt 6 \).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(3\sqrt 5 = \sqrt {45} ;2\sqrt 6 = \sqrt {24} ;4\sqrt 2 = \sqrt {32} \).
Vì \(\sqrt {24} < \sqrt {29} < \sqrt {32} < \sqrt {45} \) nên \(2\sqrt 6 < \sqrt {29} < 4\sqrt 2 < 3\sqrt 5 \).
>
Sắp xếp các số \(4\sqrt 3 ;\sqrt {50} ;\sqrt {128} ;\frac{{\sqrt {192} }}{{\sqrt 3 }}; - \sqrt {125} \) theo thứ tự giảm dần ta được
\(\sqrt {128} ;\sqrt {50} ;4\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt {192} }}{{\sqrt 3 }}; - \sqrt {125} \)
\(\sqrt {128} ;\frac{{\sqrt {192} }}{{\sqrt 3 }};\sqrt {50} ;4\sqrt 3 ; - \sqrt {125} .\)
\(4\sqrt 3 ;\sqrt {50} ;\sqrt {128} ;\frac{{\sqrt {192} }}{{\sqrt 3 }}; - \sqrt {125} \)
\(\sqrt {50} ;4\sqrt 3 ; - \sqrt {125} ;\sqrt {128} ;\frac{{\sqrt {192} }}{{\sqrt 3 }}.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(4\sqrt 3 = \sqrt {48} ;\frac{{\sqrt {192} }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {\frac{{192}}{3}} = \sqrt {64} \).
Vì \(\sqrt {128} > \sqrt {64} > \sqrt {50} > \sqrt {48} > - \sqrt {125} \) nên \(\sqrt {128} > \frac{{\sqrt {192} }}{{\sqrt 3 }} > \sqrt {50} > 4\sqrt 3 > - \sqrt {125} .\)
Điền dấu thích hợp vào ô trống .
>.
<.
=.
≤.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(2 + \sqrt 3 < 2 + \sqrt 4 \) suy ra \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } < \sqrt {2 + 2} \).
Do đó, \(1 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } < 1 + \sqrt {2 + 2} \), suy ra \(\sqrt {1 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } } < \sqrt {1 + \sqrt {2 + 2} } = \sqrt 3 < \sqrt 4 \).
Suy ra \(\sqrt {1 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } } {\rm{ < 2}}\).
Điền dấu thích hợp vào ô trống .
>.
<.
=.
≤.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\sqrt {10} + \sqrt 5 + 1 > \sqrt 9 + \sqrt 4 + 1\) hay \(\sqrt {10} + \sqrt 5 + 1 > 3 + 2 + 1\)
hay \(\sqrt {10} + \sqrt 5 + 1 > 6\).
Mà \(\sqrt {35} < \sqrt {36} = 6\) nên \(\sqrt {35} {\rm{ < }}\sqrt {10} + \sqrt 5 + 1\).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.
\(\sqrt {24} + \sqrt {45} < 12\).
\(\sqrt {37} - \sqrt {15} < 2\).
\( - 3\sqrt {11} {\rm{ }} < - 33\).
\(\sqrt {15} - 2 > 4\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\sqrt {24} + \sqrt {45} < \sqrt {25} + \sqrt {49} = 5 + 7 = 12\).
Do đó, khẳng định A là đúng.
\(A = 3 - \sqrt 5 \).
\(B = 4 - \sqrt 3 \).
\(A > 1\).
\(A < B.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Ta có:
\(A = \sqrt {14 - 6\sqrt 5 } = \sqrt {9 - 2.3.\sqrt 5 + 5} = \sqrt {{3^2} - 2.3.\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 5 \).
b) Sai.
Ta có:
\(B = \sqrt {13 - 4\sqrt 3 } = \sqrt {12 - 2.2.\sqrt 3 + 1} = \sqrt {4.3 - 2.\left( {2.\sqrt 3 } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.\left( {2.\sqrt 3 } \right) + {1^2}} \)
\( = \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = 2.\sqrt 3 - 1\).
c) Sai.
Ta có: \(\sqrt 5 > \sqrt 4 \) hay \(\sqrt 5 > 2\), suy ra \( - \sqrt 5 < - 2\) nên \(3 + \left( { - \sqrt 5 } \right) < 3 + \left( { - 2} \right)\) hay \(3 - \sqrt 5 < 1\)
Vậy A < 1.
d) Đúng.
Ta có: \(\sqrt 3 > 1\) nên \(2.\sqrt 3 > 2\), do đó \(2.\sqrt 3 - 1 > 2 - 1\) hay \(B > 1\).
Vì A < 1 và B > 1 nên A < 1 < B.
Vậy A < B.
\(D = \sqrt 5 + 2.\)
\(E = \sqrt 3 + \sqrt 2 \).
D > E.
Có một số nguyên nằm giữa D và E.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(D = \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } = \sqrt {5 + 2.2\sqrt 5 + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 + 2\).
b) Sai.
Ta có: \(E = \sqrt {11 + 6\sqrt 2 } = \sqrt {9 + 2.3\sqrt 2 + 2} = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3 + \sqrt 2 \).
c) Sai.
Ta có: \({D^2} = 9 + 4\sqrt 5 = 9 + \sqrt {16.5} = 9 + \sqrt {80} \)
\({E^2} = 11 + 6\sqrt 2 = 9 + 6\sqrt 2 + 2 = 9 + \sqrt {36.2} + 2 = 9 + \sqrt {72} + 2\).
Nhận thấy \(\sqrt {72} + 2 > \sqrt {64} + 2\) hay \(\sqrt {72} + 2 > 10\); \(\sqrt {80} < \sqrt {100} \) nên \(\sqrt {80} < 10\).
Do đó, \(9 + \sqrt {80} < 9 + \sqrt {72} + 2\) hay D2 < E2.
Suy ra D < E.
d) Sai.
Ta có \(3 + \sqrt 2 > 3 + 1\) hay \(3 + \sqrt 2 > 4\); \(\sqrt 2 + 3 < 3 + 2\) hay \(\sqrt 2 + 3 < 5\).
Do đó, 4 < D < E < 5.
Từ đó ta thấy không có số nguyên nào nằm giữa D và E.
\(M = \sqrt 7 - 2.\)
\(N = \sqrt 7 - \sqrt 5 .\)
M > 1.
M > N.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Ta có: \(M = \sqrt {11 - 4\sqrt 7 } = \sqrt {7 - 4\sqrt 7 + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 7 - 2\).
b) Đúng.
Ta có: \(N = \sqrt {12 - 2\sqrt {35} } = \sqrt {7 - 2.\sqrt 5 .\sqrt 7 + 5} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt 7 - \sqrt 5 \).
c) Sai.
Có \(\sqrt 7 < \sqrt 9 \) nên \(\sqrt 7 - 2 < \sqrt 9 - 2\).
Do đó, \(\sqrt 7 - 2 < 1\).
Vậy M < 1.
d) Đúng.
Vì \(2 < \sqrt 5 \) nên \(\sqrt 7 - 2 > \sqrt 7 - \sqrt 5 \).
Do đó, M > N.
\(M = 2 + \sqrt 3 \).
\(N = \sqrt 7 - 1.\)
M < N.
Tổng M + N là một số nguyên.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(M = \sqrt {7 + 4\sqrt 3 } = \sqrt {4 + 2.2\sqrt 3 + 3} = \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = 2 + \sqrt 3 \).
b) Đúng.
Ta có: \(N = \sqrt {8 - 2\sqrt 7 } = \sqrt {7 - 2\sqrt 7 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 7 - 1\).
c) Sai.
Ta có: \(\sqrt 7 - 1 < 3 - 1\) hay \(\sqrt 7 - 1 < 2\).
\(2 + \sqrt 3 > 2 + 1\) hay \(2 + \sqrt 3 > 3\).
Do đó, \(\sqrt 7 - 1 < 2 + \sqrt 3 \), suy ra M > N.
d) Sai.
Có M + N = \(\sqrt 7 - 1 + 2 + \sqrt 3 = 1 + \sqrt 3 + \sqrt 7 \).
Do đó, tổng M + N không là số nguyên.
\(P = 3 - \sqrt 5 \).
\(Q = \sqrt 7 + \sqrt 5 \).
P + Q < 5.
Có đúng hai số nguyên nằm giữa P và Q.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(P = \sqrt {14 - 6\sqrt 5 } = \sqrt {9 - 2.3.\sqrt 5 + 5} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 5 \).
b) Đúng.
Ta có: \(Q = \sqrt {12 + 2\sqrt {35} } = \sqrt {7 + 2.\sqrt {7.5} + 5} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt 7 + \sqrt 5 \).
c) Sai.
Ta có: P + Q = \(3 - \sqrt 5 + \sqrt 5 + \sqrt 7 = 3 + \sqrt 7 \).
Vì \(\sqrt 7 > 2\) nên \(\sqrt 7 + 3 > 2 + 3\) hay P + Q > 5.
d) Sai.
Có \(3 - \sqrt 5 < 3 - 2\) nên 0 < P < 1.
\(\sqrt 4 + \sqrt 4 < \sqrt 7 + \sqrt 5 < 5\) hay 4 < Q < 5.
Do đó: 0 < P < 1 < Q < 5.
Vậy các số nguyên nằm giữa P và Q là: 1; 2; 3; 4.
Vậy có 4 số nguyên nằm giữa P và Q.
Bài 16. Cho \(A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } \) và \(B = \sqrt {7 - 2\sqrt 6 } \). Hãy tìm số nguyên nằm giữa A và B.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 3
Ta có: \(A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1\).
\(B = \sqrt {7 - 2\sqrt 6 } = \sqrt {6 - 2\sqrt 6 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 6 + 1\).
Nhận thấy \(\sqrt 3 < \sqrt 4 \) nên \(\sqrt 3 + 1 < \sqrt 4 + 1\) hay A < 3.
\(\sqrt 6 > \sqrt 4 \) nên \(\sqrt 6 + 1 > 3\) hay B > 3.
Lại có: \(\sqrt 6 > \sqrt 9 \) nên \(\sqrt 6 + 1 < \sqrt 9 + 1\) hay B < 4.
Do đó, ta có: A < 3 < B < 4.
Vậy số nguyên nằm giữa A và B là 3.
Cho \(E = \sqrt {8 + 2\sqrt {15} } \) và \(F = \sqrt {9 + 2\sqrt {14} } \). Biết rằng có một số nguyên a nằm giữa E và F. Tìm a.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 4
Xét \({E^2} = 8 + 2\sqrt {15} = 8 + \sqrt {4.15} = 8 + \sqrt {60} < 8 + \sqrt {64} \) hay \({E^2} < 8 + 8\) nên \({E^2} < 16\).
Suy ra E < 4.
Xét \({F^2} = 9 + 2\sqrt {14} = 9 + \sqrt {4.14} = 9 + \sqrt {56} > 9 + \sqrt {49} \) hay \({F^2} > 9 + 7\) hay F2 > 16.
Suy ra F > 4.
Do đó, ta có E < 4 < F.
Vậy a = 4.
Cho \(C = \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } \) và \(D = \sqrt {37 - 20\sqrt 3 } \). Hỏi có bao nhiêu số nguyên nằm giữa C và D?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1
Ta có:
\(C = \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } = \sqrt {21 - 2.3.2.\sqrt 3 } = \sqrt {12 - 2.3.2.\sqrt 3 + 9} = \sqrt {4.3 - 2.3.2.\sqrt 3 + {3^2}} \)
\( = \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.3.2.\sqrt 3 + {3^2}} = \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 - 3} \right)}^2}} = 2.\sqrt 3 - 3\).
\(D = \sqrt {37 - 20\sqrt 3 } = \sqrt {25 - 2.5.2.\sqrt 3 + 12} = \sqrt {{5^2} - 2.5.2.\sqrt 3 + {{\left( {2.\sqrt 3 } \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {{{\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} = 5 - 2\sqrt 3 \).
Nhận thấy \(2\sqrt 3 < 2\sqrt 4 \) hay \(2\sqrt 3 < 2.2\) và \(2\sqrt 3 < 4\).
Do đó, \(2\sqrt 3 - 3 < 4 - 3\) suy ra C < 1.
Từ đây ta được 0 < C < 1. (1)
Có \(2\sqrt 3 < 4\) nên \( - 2\sqrt 3 > - 4\) do đó \(5 - 2\sqrt 3 > 5 - 4\) hay D > 1.
\(2\sqrt 3 > 3\) suy ra \( - 2\sqrt 3 < - 3\) nên \(5 - 2\sqrt 3 < 5 - 3\) hay D < 2.
Từ đây, ta được 1 < D < 2. (2)
Từ (1) và (2) ta có: 0 < C < 1 < D < 2.
Vậy giữa C và D có 1 số nguyên thỏa mãn là 1.
Cho hai biểu thức \(A = \sqrt {28 - 10\sqrt 3 } \) và \(B = \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } \). Hỏi só bao nhiêu số nguyên nằm giữa A và B?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 3
Ta có: \(A = \sqrt {28 - 10\sqrt 3 } = \sqrt {25 - 2.5\sqrt 3 + 3} = \sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = 5 - \sqrt 3 \).
\(B = \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } = \sqrt {9 - 2.3\sqrt 6 + 6} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 6 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 6 \).
Nhận thấy \(5 - \sqrt 4 < 5 - \sqrt 3 < 5 - 1\) hay \(3 < 5 - \sqrt 3 < 4\)
\(0 < 3 - \sqrt 6 < 3 - \sqrt 4 \) hay \(0 < 3 - \sqrt 6 < 1\).
Do đó, 0 < B < 1 < A < 4.
Vậy các số nguyên nằm giữa A và B là: 1; 2; 3.
Vậy có 3 số nguyên nằm giữa A và B.Cho hai biểu thức \(M = \sqrt {17 - 12\sqrt 2 } \) và \(N = \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } \). Tính tổng tất cả các số nguyên nằm giữa M và N.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1
Ta có: \(M = \sqrt {17 - 12\sqrt 2 } = \sqrt {9 - 2.3.2\sqrt 2 + 8} = \sqrt {{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}} = 3 - 2\sqrt 2 \).
\(N = \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } = \sqrt {20 - 2.3.2\sqrt 5 + 9} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 - 3\).
Nhận thấy \(0 < 3 - 2\sqrt 2 < 3 - 2\) hay 0 < M < 1.
\(\sqrt {16} - 3 < 2\sqrt 5 - 3 < \sqrt {25} - 3\) hay \(4 - 3 < 2\sqrt 5 - 3 < 5 - 3\) suy ra 1 < N < 2.
Suy ra M < 1 < N < 2.
Vậy số nguyên nằm giữa M và N là 1.
Cho \(A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } \) và \(B = \sqrt {7 - 2\sqrt 6 } \). Hãy tìm số nguyên nằm giữa A và B.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 3
Ta có: \(A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1\).
\(B = \sqrt {7 - 2\sqrt 6 } = \sqrt {6 - 2\sqrt 6 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 6 + 1\).
Nhận thấy \(\sqrt 3 < \sqrt 4 \) nên \(\sqrt 3 + 1 < \sqrt 4 + 1\) hay A < 3.
\(\sqrt 6 > \sqrt 4 \) nên \(\sqrt 6 + 1 > 3\) hay B > 3.
Lại có: \(\sqrt 6 > \sqrt 9 \) nên \(\sqrt 6 + 1 < \sqrt 9 + 1\) hay B < 4.
Do đó, ta có: A < 3 < B < 4.
Vậy số nguyên nằm giữa A và B là 3.
