Bài tập Khai căn bậc hai của phép chia lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Kết quả của phép tính \(\left( {\sqrt {\frac{1}{7}} - \sqrt {\frac{{16}}{7}} + \sqrt 7 } \right):\sqrt 7 \) là
\(\frac{4}{7}\).
\(\frac{1}{7}\).
\(\frac{3}{7}\).
\(\frac{8}{7}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(\left( {\sqrt {\frac{1}{7}} - \sqrt {\frac{{16}}{7}} + \sqrt 7 } \right):\sqrt 7 = \left( {\sqrt {\frac{1}{7}} - \sqrt {\frac{{16}}{7}} + \sqrt 7 } \right).\frac{1}{{\sqrt 7 }} = \sqrt {\frac{1}{7}} .\frac{1}{{\sqrt 7 }} - \sqrt {\frac{{16}}{7}} .\frac{1}{{\sqrt 7 }} + \sqrt 7 .\frac{1}{{\sqrt 7 }}\)
\( = \frac{1}{7} - \frac{4}{7} + 1 = \frac{4}{7}\).
Kết quả của phép tính \(\sqrt {36 - 12\sqrt 5 } :\sqrt 6 \) là
\(\sqrt 5 - 1\).
\(\sqrt 5 + 1\).
\( - \sqrt 5 - 1\).
\( - \sqrt 5 + 1\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\sqrt {36 - 12\sqrt 5 } :\sqrt 6 = \sqrt {\frac{{36 - 2.6\sqrt 5 }}{6}} = \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = \sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 - 1\).
Kết quả của phép tính \(\left( {\sqrt {32} + 3\sqrt {18} } \right):\sqrt 2 \) là
10.
13.
12.
2.
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\(\left( {\sqrt {32} + 3\sqrt {18} } \right):\sqrt 2 = \frac{{\sqrt {32} }}{{\sqrt 2 }} + \frac{{3\sqrt {18} }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{32}}{2}} + 3.\sqrt {\frac{{18}}{2}} = \sqrt {16} + 3\sqrt 9 = 4 + 3.3 = 13\).
Kết quả của phép tính \(\left( {20\sqrt {300} - 15\sqrt {675} + 5\sqrt {75} } \right):\sqrt {15} \) là
0.
\(5\sqrt 5 \).
\(45\sqrt 5 \).
\(40\sqrt 5 \).
Đáp án đúng là: A
\(\left( {20\sqrt {300} - 15\sqrt {675} + 5\sqrt {75} } \right):\sqrt {15} = \frac{{20\sqrt {300} }}{{\sqrt {15} }} - \frac{{15\sqrt {675} }}{{\sqrt {15} }} + \frac{{5\sqrt {75} }}{{\sqrt {15} }}\)
Kết quả của biểu thức \(C = \left( {\frac{{1 - \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} - \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }}} \right):\sqrt {72} \) là
\(\frac{2}{3}\).
1.
0.
\(\frac{1}{3}.\)
Đáp án đúng là: A
\(C = \left( {\frac{{1 - \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} - \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }}} \right):\sqrt {72} = \left( {\frac{{1 - \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} - \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }}} \right).\frac{1}{{\sqrt {72} }}\)
\( = \left[ {\frac{{{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}} \right].\frac{1}{{6\sqrt 2 }} = \frac{{1 - 2\sqrt 2 + 2 - 1 - 2\sqrt 2 - 2}}{{ - 1}}.\frac{1}{{6\sqrt 2 }}\)
Rút gọn biểu thức \(A = x{y^2}\sqrt {\frac{5}{{{x^2}{y^4}}}} \) (x < 0, y ≠ 0) ta được
>
\( - \sqrt 5 \).
\(\sqrt 5 \).
5.
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{{xy}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(A = x{y^2}\sqrt {\frac{5}{{{x^2}{y^4}}}} = x{y^2}.\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt {{x^2}{y^4}} }} = x{y^2}.\frac{{\sqrt 5 }}{{\left| x \right|{y^2}}} = x{y^2}.\frac{{\sqrt 5 }}{{ - x{y^2}}} = - \sqrt 5 \).
Rút gọn biểu thức \(Q = \sqrt {\frac{{36{{\left( {a - 4} \right)}^2}}}{{144}}} \) với a < 4 ta được
>
\(\frac{{4 - a}}{2}\).
\(\frac{{ - 4 - a}}{2}\).
\(\frac{{4 + a}}{2}\).
\(\frac{{a - 4}}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(Q = \sqrt {\frac{{36{{\left( {a - 4} \right)}^2}}}{{144}}} = \frac{{\sqrt {36} .\sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2}} }}{{\sqrt {144} }} = \frac{{6.\left| {a - 4} \right|}}{{12}} = \frac{{4 - a}}{2}\) (do a < 4).
>
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt b - 1}}{{\sqrt a + 1}}} \) ta được
\(\sqrt {\frac{{a - 1}}{{b - 1}}} \).
\(\frac{{a - 1}}{{b - 1}}\).
\(\frac{{\sqrt {a - 1} }}{{b - 1}}\).
\(\frac{{b\sqrt {\left( {a - 1} \right)} }}{{1 - b}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(A = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt b - 1}}{{\sqrt a + 1}}} = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}.} \sqrt {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}} = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}.\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}} \)\( = \sqrt {\frac{{a - 1}}{{b - 1}}} \).
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}} + \frac{{{x^2} - 2}}{{x - 2}}\) với x < 2 ta được
>
\(\frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\).
\(\frac{{2x + 3}}{{x - 2}}\).
\(\frac{{2x - 3}}{{x + 2}}\).
\(\frac{{ - 2x - 3}}{{x - 2}}\)..
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(A = \sqrt {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}} + \frac{{{x^2} - 2}}{{x - 2}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{2 - x}} + \frac{{{x^2} - 2}}{{x - 2}} = \frac{{{x^2} - 2x + 1 - {x^2} + 2}}{{2 - x}} = \frac{{ - 2x + 3}}{{2 - x}} = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}.\)
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{{x^2} - 2x\sqrt 2 + 2}}{{{x^2} - 2}}\) (x ≠ ±\(\sqrt 2 \)) là
\(\frac{{x - \sqrt 2 }}{{x + \sqrt 2 }}\).
\(\frac{{\sqrt x - \sqrt 2 }}{{\sqrt x + \sqrt 2 }}\).
\(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\).
\(\frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt x - \sqrt 2 }}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(A = \frac{{{x^2} - 2x\sqrt 2 + 2}}{{{x^2} - 2}} = \frac{{{{\left( {x - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{x - \sqrt 2 }}{{x + \sqrt 2 }}\).
\(A = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
\(B = \frac{{ - \sqrt {21} }}{7}\).
C < A.
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần về giá trị của các biểu thức là B, C, A.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(A = \frac{{\sqrt {10} - \sqrt {15} }}{{\sqrt 8 - \sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt 5 .\sqrt 2 - \sqrt 5 .\sqrt 3 }}{{\sqrt 4 .\sqrt 2 - \sqrt 4 .\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 5 .\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 4 .\left( {\sqrt 2 - \sqrt 5 } \right)}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 4 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
b) Đúng.
Ta có: \[B = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt {15} }}{{\sqrt {35} - \sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {2.3} - \sqrt {3.5} }}{{\sqrt {5.7} - \sqrt {7.2} }} = \frac{{\sqrt 3 .\left( {\sqrt 2 - \sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt 7 .\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \frac{{ - \sqrt 3 .\sqrt 7 }}{7} = \frac{{ - \sqrt {21} }}{7}\]
c) Sai.
Ta có: \[A = C = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 5 .\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\].
Vì \(\sqrt {10} > \sqrt 5 \) nên \(\frac{{\sqrt {10} }}{2} > \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) hay C > A.
d) Sai.
Nhận thấy B < 0 < A < C nên sắp xếp theo thứ tự tăng dần các giá trị của biểu thức được B, A, C.
x = \(\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\).
Đặt \(a = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \) (a > 0). Khi đó:
a = \(\sqrt {3 + \sqrt 5 } \).
x = 1 + \(\sqrt 2 \).
x2 + 2x – 1 = 0.
A = 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Ta có: \(a = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \)
Suy ra \[{a^2} = {\left( {\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2}\]
\[{a^2} = {\left( {\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2} + 2\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } .\sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \]
\[{a^2} = 2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} + 2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} + 2\sqrt {\left( {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right).\left( {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right)} \]
\[{a^2} = 4 + 2\sqrt {4 - {{\left( {\sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right)}^2}} \]
\[{a^2} = 4 + 2\sqrt {4 - \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} \]
\[{a^2} = 4 + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \]
\[{a^2} = 4 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \]
\[{a^2} = 4 + \sqrt 5 - 1\]
\[{a^2} = 3 + \sqrt 5 \]
\[a = \sqrt {3 + \sqrt 5 } \].
b) Sai.
Ta có: x = \(\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\)
x = \[\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\].
Lại có \[{\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = 3 + \sqrt 5 + 3 - \sqrt 5 - 2\sqrt {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)} = 2\]
Suy ra \[\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt 2 \]
Vậy x = \[\sqrt 2 - 1\].
c) Đúng.
Thay \[x = \sqrt 2 - 1\] vào x2 + 2x – 1 được
\[{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} + 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right) - 1 = 2 - 2\sqrt 2 + 1 + 2\sqrt 2 - 2 - 1 = 0\].
d) Đúng
Ta có: A = 2x3 + 3x2 – 4x + 2
= 2x3 + 4x2 – 2x – x2 – 2x + 2
= 2x(x2 + 2x – 1) – (x2 + 2x – 1) + 1
Thay \[x = \sqrt 2 - 1\] và x2 + 2x – 1 = 0 vào A, ta được:
A = \(2.\left( {\sqrt 2 - 1} \right).0 - 0 + 1 = 1\).
\(A = \sqrt {\frac{{11}}{7}} .\)
\(B = \sqrt {\frac{3}{2}} .\)
Giá trị của biểu thức B và C bằng nhau.
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần của các biểu thức đã cho là A; C; B.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(A = \frac{{\sqrt {22} + \sqrt {33} }}{{\sqrt {14} + \sqrt {21} }} = \frac{{\sqrt {2.11} + \sqrt {3.11} }}{{\sqrt {2.7} + \sqrt {3.7} }} = \frac{{\sqrt {11} \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{\sqrt {11} }}{{\sqrt 7 }} = \sqrt {\frac{{11}}{7}} \).
b) Đúng.
Ta có: \(B = \frac{{\sqrt {30} - \sqrt {18} }}{{\sqrt {20} - \sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt {3.10} - \sqrt {3.6} }}{{\sqrt {2.10} - \sqrt {2.6} }} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{3}{2}} \).
c) Sai.
Ta có: \(C = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {\frac{2}{3}} \).
Do đó, biểu thức B và C có giá trị khác nhau.
d) Sai.
Vì \(\sqrt {\frac{2}{3}} < \sqrt {\frac{3}{2}} < \sqrt {\frac{{11}}{7}} \) nên C < A < B.
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần của các biểu thức đã cho là C; A; B..
\(E = \sqrt {\frac{7}{5}} \).
\(F = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 7 }}\).
G < E.
Sắp xếp các biểu thức theo thứ tự tăng dần là F; E; G.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Ta có: \(E = \frac{{\sqrt {14} - \sqrt {21} }}{{\sqrt {10} - \sqrt {15} }} = \frac{{\sqrt {2.7} - \sqrt {3.7} }}{{\sqrt {2.5} - \sqrt {3.5} }} = \frac{{\sqrt 7 .\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 5 }} = \sqrt {\frac{7}{5}} \).
b) Sai.
Ta có: \(F = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt {10} }}{{\sqrt {21} - \sqrt {35} }} = \frac{{\sqrt {3.2} - \sqrt {2.5} }}{{\sqrt {3.7} - \sqrt {5.7} }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }} = \sqrt {\frac{2}{7}} \).
c) Sai.
Ta có: \(G = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{3}{2}} \).
Vì \(\frac{7}{5} < \frac{3}{2}\) nên \(\sqrt {\frac{7}{5}} < \sqrt {\frac{3}{2}} \) nên E < G.
d) Đúng.
Vì \(\sqrt {\frac{2}{7}} < \sqrt {\frac{7}{5}} < \sqrt {\frac{3}{2}} \) nên F < E < G.
Do đó, sắp xếp theo thứ tự tăng dần ta được F; E; G.
\(M = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\).
\(N = \sqrt {\frac{4}{7}} \).
Thu gọn được P = M.
Giá trị của biểu thức M + N + P lớn hơn 4.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(M = \frac{{\sqrt {15} - \sqrt {10} }}{{\sqrt 6 - 2}} = \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{5}{2}} = \sqrt {\frac{{10}}{4}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{\sqrt 4 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\).
b) Đúng.
Ta có: \(\,N = \frac{{\sqrt {12} + \sqrt {20} }}{{\sqrt {21} + \sqrt {35} }} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}} = \frac{2}{{\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 7 }} = \sqrt {\frac{4}{7}} \).
c) Đúng.
Ta có: \(P = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{{\sqrt {10} - \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{5}{2}} \).
Nhận thấy \(P = M = \sqrt {\frac{5}{2}} \).
d) Sai.
Ta có: \(M + N + P = 2\sqrt {\frac{5}{2}} + \sqrt {\frac{4}{7}} = \frac{{7\sqrt {10} + 2\sqrt 7 }}{7} = 3,918...\)
Do đó, tổng của M + N + P có giá trị nhỏ hơn 4.
Tính giá trị của biểu thức C = \(\left( {5\sqrt {28} - 2\sqrt {63} + 3\sqrt {112} } \right):\sqrt 7 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 16
Ta có: \(C = \left( {5\sqrt {28} - 2\sqrt {63} + 3\sqrt {112} } \right):\sqrt 7 \)
\( = \frac{{5\sqrt {28} - 2\sqrt {63} + 3\sqrt {112} }}{{\sqrt 7 }}\)
\( = \frac{{5\sqrt {28} }}{{\sqrt 7 }} - \frac{{2\sqrt {63} }}{{\sqrt 7 }} + \frac{{3\sqrt {112} }}{{\sqrt 7 }}\)
\( = 5.\sqrt {\frac{{28}}{7}} - 2\sqrt {\frac{{63}}{7}} + 3\sqrt {\frac{{112}}{7}} \)
\( = 5.\sqrt 4 - 2\sqrt 9 + 3\sqrt {16} \)
\( = 5.2 - 2.3 + 3.4\)
= 16.
Tính giá trị của biểu thức D = \(\sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} + \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 4
Ta có: \(D = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} + \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}} \)
\( = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)
\[ = \frac{{\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right) + \left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)}}{{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)}}\]
\[ = \frac{{{{\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)}^2}}}{{\sqrt {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} }}\]
\[ = \frac{{2 - \sqrt 3 + 2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt {{2^2} - \left( {\sqrt 3 } \right)} }}\]
\[ = \frac{4}{1} = 4\].
Vậy A = 4.
Cho biểu thức E = \(\sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt b - 1}}{{\sqrt a + 1}}} \) với a, b > 0. Biết rằng giá trị của biểu thức E tại a = 7,25, b = 3,25 có dạng phân số tối giản \(\frac{m}{n}\) (với m, n ∈ ℤ). Tính giá trị của biểu thức T = m + n.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 8
Ta có: \(E = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt b - 1}}{{\sqrt a + 1}}} \)
\( = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} .\sqrt {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}} \)
\( = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}.\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}} \)
\( = \sqrt {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt b + 1} \right)\left( {\sqrt b - 1} \right)}}} \)
\( = \sqrt {\frac{{a - 1}}{{b - 1}}} \).
Thay a = 7,25, b = 3,25 (thỏa mãn điều kiện) vào E, ta có:
\(E = \sqrt {\frac{{7,25 - 1}}{{3,25 - 1}}} = \sqrt {\frac{{6,25}}{{2,25}}} = \sqrt {\frac{{625}}{{225}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{25}}{{15}}} \right)}^2}} = \frac{{25}}{{15}} = \frac{5}{3}\).
Vậy \(\frac{m}{n} = \frac{5}{3}\) hay m = 5 và n = 3.
Vậy T = m + n = 3 + 5 = 8.
Hướng dẫn giải
Đáp án: −3
Với a = 2,25 và b = 0,25, ta có:
\(M = \sqrt {\frac{{\sqrt {2,25} - 1}}{{\sqrt {0,25} + 2}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt {0,25} - 1}}{{\sqrt {2,25} - 2}}} = \sqrt {\frac{{1,5 - 1}}{{0,5 + 2}}} :\sqrt {\frac{{0,5 - 1}}{{1,5 - 2}}} = \sqrt {\frac{1}{5}} :1 = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
Do đó, m = 1 và n = 5.
Vậy T = 2.1 – 5 = −3.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 28
Thay x = 12,25 và y = 6,25 được :
\(K = \sqrt {\frac{{\sqrt {12,25} - 2}}{{\sqrt {6,25} + 3}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt {6,25} - 2}}{{\sqrt {12,25} + 3}}} = \sqrt {\frac{{3,5 - 2}}{{2,5 + 3}}} :\sqrt {\frac{{2,5 - 2}}{{3,5 + 3}}} \)
\( = \sqrt {\frac{{1,5}}{{5,5}}} :\sqrt {\frac{{0,5}}{{6,5}}} = \sqrt {\frac{{1,5}}{{5,5}}} .\sqrt {\frac{{6,5}}{{0,5}}} = \sqrt {\frac{{1,5}}{{5,5}}.\frac{{6,5}}{{0,5}}} = \sqrt {\frac{{39}}{{11}}} \).
Do đó p =39 và q = 11.
Vậy S = p – q = 39 – 11 = 28.
