Trắc nghiệm Bài tập cuối chương 3 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: B

Căn bậc hai của một số \(a\) không âm là một số \(x\) sao cho \(a = {x^2}\).

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: D

Để biểu thức \(\frac{{x + 3}}{{\sqrt {2 - x} }}\) xác định thì \(2 - x > 0\) hay \(x < 2\).

Đáp án đúng là: C

\(\sqrt[3]{{27 \cdot 28}} = \sqrt[3]{{{3^3} \cdot 28}} = \sqrt[3]{{{3^3}}} \cdot \sqrt[3]{{28}} = 3\sqrt[3]{{28}}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \[\frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt 5 }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} = \frac{{4.\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\].

Đáp án đúng là: D

Biểu thức \[\frac{3}{{\sqrt { - {x^2} - 2021} }}\] có nghĩa khi \( - {x^2} - 2021 > 0\).

Do \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \( - {x^2} \le 0\) với mọi \(x\), do đó \( - {x^2} - 2021 < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)

Vậy không có giá trị của \[x\] để biểu thức có nghĩa.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\sqrt {\frac{m}{{75}}} \cdot \sqrt {\frac{{121}}{{16m}}} \cdot \sqrt {\frac{3}{{64}}} \)

\( = \sqrt {\frac{m}{{75}}.\frac{{121}}{{16m}}.\frac{3}{{64}}} \)

\( = \sqrt {\frac{{121}}{{25.16.64}}} \)

\( = \frac{{\sqrt {121} }}{{\sqrt {25} .\sqrt {16.} \sqrt {64} }}\)

\( = \frac{{11}}{{5.4.8}}\)\( = \frac{{11}}{{160}}\).

Đáp án đúng là: A

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là \(a\) cm.

Thể tích hình lập phương là \({a^3} = 729\)

Do đó \(a = \sqrt[3]{{729}} = \sqrt[3]{{{9^3}}} = 9\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\)

Vậy độ dài cạnh hình lập phương đó là \[9{\rm{ cm}}.\]

Đáp án đúng là: A

Với \( - 1 < a < 1\), ta có

\(\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 + a} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)\)

\( = \frac{{3 + \left( {\sqrt {1 + a} } \right)\left( {\sqrt {1 - a} } \right)}}{{\sqrt {1 + a} }}:\frac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 - {a^2}} }}\)

\( = \frac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 + a} }} \cdot \frac{{\sqrt {1 - {a^2}} }}{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}\)

\( = \frac{{\sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 + a} }}\)\( = \frac{{\left( {\sqrt {1 + a} } \right)\left( {\sqrt {1 - a} } \right)}}{{\sqrt {1 + a} }}\)\( = \sqrt {1 - a} \).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\sqrt[3]{{64}} \cdot \sqrt[3]{{125}} - \sqrt[3]{{216}} = \sqrt[3]{{{4^3}}} \cdot \sqrt[3]{{{5^3}}} - \sqrt[3]{{{6^3}}} = 4 \cdot 5 - 6 = 14\).

a) Đúng.

Vì biểu thức dưới căn bậc ba là \({x^2} + 9\) nên điều kiện xác định của \(A\) là \(x \in \mathbb{R}\).

b) Đúng.

Thay \(x = - \sqrt {18} \) vào \(A\), ta có: \(A = \sqrt[3]{{{{\left( { - \sqrt {18} } \right)}^2} + 9}} = \sqrt[3]{{18 + 9}} = \sqrt[3]{{27}} = 3\).

c) Sai.

Thay \(x = \sqrt 7 \) vào \(A\), ta có: \(A = \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} + 9}} = \sqrt[3]{{7 + 9}} = \sqrt[3]{{16}} < \sqrt[3]{{27}}\).

Do đó, giá trị của \(A\) tại \(x = \sqrt 7 \) nhỏ hơn 3.

d) Đúng.

Thay \(x = \sqrt {55} \) vào \(A\), ta được: \(A = \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt {55} } \right)}^2} + 9}} = \sqrt[3]{{55 + 9}} = \sqrt[3]{{64}} = 4\).

Vậy tại \(x = \sqrt {55} \) thì giá trị của \(A\) là một số nguyên.

a) Sai.

\(A\) xác định khi \(\frac{{10}}{{{x^3}}} \ge 0\), suy ra \(x > 0\). Vậy \(A\) xác định khi \(x > 0\).

b) Sai.

Với \(x > 0\) ta có: \(A = x\sqrt {\frac{{10}}{{{x^3}}}} = \sqrt {\frac{{10{x^2}}}{{{x^3}}}} = \sqrt {\frac{{10}}{x}} .\) Vậy \(A = \sqrt {\frac{{10}}{x}} .\)

c) Đúng.

\({\rm{B}} = 2\sqrt {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \sqrt {{2^2}\left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2 \cdot \sqrt 3 \cdot 1 + {1^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1.\)

Vậy \({\rm{B}} = \sqrt 3 + 1.\)

d) Sai.

Vì \({\rm{A}} = {\rm{B}} - \sqrt 3 \) nên \(\sqrt {\frac{{10}}{x}} = \sqrt 3 + 1 - \sqrt 3 \)

\(\sqrt {\frac{{10}}{x}} = 1\)

\(\frac{{10}}{x} = 1\)

\(x = 10\) (thỏa mãn).

a) Đúng.

Ta có: \(AB = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = \sqrt {20} \).

b) Đúng.

Ta có: \(BC = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \).

c) Đúng.

Diện tích thửa ruộng hình chữ nhật \(ABCD\) là:

\({S_{ABCD}} = \sqrt {20} .\sqrt 5 = \sqrt {20.5} = \sqrt {100} = 10\).

d) Sai.

Ta có: \(EF = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \).

Diện tích thửa ruộng hình vuông \(EFGH\) là: \(\sqrt {10} .\sqrt {10} = \sqrt {10.10} = \sqrt {100} = 10\).

Do đó, diện tích thửa ruộng hình vuông \(EFGH\) bằng diện tích thửa ruộng hình chữ nhật \(ABCD.\)

a) Sai.

\(2\sqrt a \) xác định khi \(a \ge 0\).

b) Sai.

\(3\sqrt 8 = \sqrt {{3^2} \cdot 8} = \sqrt {72} ;\;\,7\sqrt 3 = \sqrt {{7^2} \cdot 3} = \sqrt {147} ;\;\,2\sqrt a = \sqrt {4a} .\)

c) Sai.

Vì \(\sqrt {72} < \sqrt {147} \) nên \(3\sqrt 8 < 7\sqrt 3 .\)

d) Đúng.

Để \(2\sqrt a \) nằm giữa hai số \(3\sqrt 8 \) và \(7\sqrt 3 \) thì \(\sqrt {72} < \sqrt {4a} < \sqrt {147} \) hay \(72 < 4a < 147\).

Suy ra \(18 < a < 36,75\). Mà \(a\) là số tự nhiên nên \(a \in \left\{ {19;\,\,20;\,\,....;\,\,36} \right\}\)

Vậy có tất cả 18 số tự nhiên \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Sai.

Phương trình xác định khi \(8a \ge 0,\,\,2x \ge 0,\,\,32x \ge 0\) và \(x + 2 \ge 0\). Suy ra \(x \ge 0\).

b) Sai.

Ta có: \(2\sqrt {8x} = 2\sqrt 4 \sqrt {2x} = 4\sqrt {2x} ;\;\,4\sqrt {32x} = 4\sqrt {16} \sqrt {2x} = 16\sqrt {2x} .\)Vậy b) sai.

c) Đúng.

Từ a) và b) thì phương trình đã cho trở thành:

\(4\sqrt {2x} - 3\sqrt {2x} + 16\sqrt {2x} = 17\sqrt {x + 2} \)

\(17\sqrt {2x} = 17\sqrt {x + 2} \)

\(\sqrt {2x} = \sqrt {x + 2} \).

Vậy phương trình đã cho biến đổi được về phương trình \(\sqrt {2x} = \sqrt {x + 2} \).

d) Đúng.

Theo c) ta có:

\(\sqrt {2x} = \sqrt {x + 2} \)

\({\left( {\sqrt {2x} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {x + 2} } \right)^2}\)

\(2x = x + 2\)

\(x = 2\) (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1.

Đáp án: 2

Gọi công suất, hiệu điện thế, điện trở ban đầu lần lượt là \({P_1};\,\,{U_1};\,\,{R_1}\).

Gọi công suất, hiệu điện thế, điện trở về sau lần lượt là \({P_2};\,\,{U_2};\,\,{R_2}\).

Theo bài ra ta có: \({P_2} = 8{P_1};\,\,{R_2} = \frac{{{R_1}}}{2}\).

Mà \(\frac{{{U_2}}}{{{U_1}}} = \frac{{\sqrt {{P_2}.{R_2}} }}{{\sqrt {{P_1}.{R_1}} }} = \frac{{\sqrt {8{P_1}.\frac{{{R_1}}}{2}} }}{{\sqrt {{P_1}.{R_1}} }} = \frac{{\sqrt {4{P_1}.{R_1}} }}{{\sqrt {{P_1}.{R_1}} }} = \sqrt {\frac{{4{P_1}.{R_1}}}{{{P_1}.{R_1}}}} = \sqrt 4 = 2\).

Đáp án: 1

Ta có: \(A = \frac{{a + 2}}{4}\sqrt {\frac{{8{a^2}}}{{{{\left( {a + 2} \right)}^2}}}} = \frac{{a + 2}}{4} \cdot \frac{{2a\sqrt 2 }}{{a + 2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},\)\(B = \frac{{\sqrt {{3^2} \cdot 2} - \sqrt 2 }}{4} = \frac{{3\sqrt 2 - \sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Để \(A = B\) thì \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), suy ra \(a = 1\) (thỏa mãn).

Vậy có một giá trị của \(a = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 8

\(B = \frac{3}{{\sqrt 5 - \sqrt 2 }} + \frac{4}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{3\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}} + \frac{{4\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}} + \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }}{{\left( {\sqrt 6 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 6 - \sqrt 5 } \right)}}\)

\( = \frac{{3\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{{4\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }}{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{3\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{3} + \frac{{4\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{4} + \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }}{1}\)

\( = \sqrt 5 + \sqrt 2 + \sqrt 6 - \sqrt 2 + \sqrt 6 - \sqrt 5 \)

\( = 2\sqrt 6 \).

Do đó, \(a = 2,\,\,b = 6\).

Vậy \(T = a + b = 8\).

Đáp án: 216

Vì \(a = \sqrt[3]{V}\) nên \(V = {a^3}\).

Gọi diện tích xung quanh của hình lập phương B là \(S\,\,\left( {\,S > 0} \right)\)

Diện tích xung quanh của hình lập phương A là \(36S\).

Độ dài cạnh của hình lập phương B là: \({a_1} = \sqrt {\frac{S}{4}} = \frac{{\sqrt S }}{2}.\)

Độ dài cạnh của hình lập phương A là: \({a_2} = \sqrt {\frac{{36S}}{4}} = 3\sqrt S .\)

Thể tích của hình lập phương B là: \({V_1} = a_1^3 = {\left( {\frac{{\sqrt S }}{2}} \right)^3} = \frac{{S\sqrt S }}{8}.\)

Thể tích của hình lập phương A là: \({V_2} = a_2^3 = {\left( {3\sqrt S } \right)^3} = 27S\sqrt S .\)

Ta có: \(\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{27S\sqrt S }}{{\frac{{S\sqrt S }}{8}}} = 216\) hay \({V_2} = 216{V_1}\).

Vậy thể tích hình lập phương A gấp 216 lần thể tích hình lập phương B.

Đáp án: 62

Cạnh của hình vuông có diện tích \[24{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] là: \(\sqrt {24} = \sqrt {4.6} = \sqrt 4 .\sqrt 6 = 2\sqrt 6 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Cạnh của hình vuông có diện tích \[40{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] là: \(\sqrt {40} = \sqrt {4.10} = \sqrt 4 .\sqrt {10} = 2\sqrt {10} \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Hai hình chữ nhật còn lại có chiều dài bằng nhau (đều bằng cạnh của hình vuông có diện tích \[40{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\] và có chiều rộng bằng nhau (đều bằng cạnh của hình vuông có diện tích \[24{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}).\]

Diện tích phần còn lại của tấm thép (bằng tổng diện tích hai hình chữ nhật trong hình vẽ) là:

\(2 \cdot 2\sqrt 6 \cdot 2\sqrt {10} = 8\sqrt {6 \cdot 10} = 8\sqrt {60} = 8\sqrt {4.15} = 8\sqrt 4 \cdot \sqrt {15} = 8 \cdot 2 \cdot \sqrt {15} = 16\sqrt {15} \approx 62\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

Vậy diện tích phần còn lại của tấm thép là khoảng \(62\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\)