(Trả lời ngắn) 34 bài tập Tính đơn diệu và cực trị của hàm số (có lời giải)

Tập xác định D=ℝ .

Ta có: y'=4x2-4x+1 .

Xét y'=0⇔x=12 .

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\].

Giá trị cực tiểu của hàm số là y=-4

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ .

Ta có: y'=3x2-6x-9 ;

y'=0⇔3x2-6x-9=0⇔x=-1 hoac x=3

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng -∞;-1  và 3;+∞ ; nghịch biến trên khoảng -1;3 .

Hàm số đã cho xác định trên ℝ .

Ta có y'=f'x=6x2+12x+6=6x+12 .

Do đó y'≥0  với mọi x∈ℝ  và y'=0  tại x=-1 .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên ℝ .

a) Tập xác định: D=ℝ .

Ta có: y'=-3x2+4x .

Nhận xét y'=0⇔x=0x=43

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0;43  và nghịch biến trên khoảng -∞;0  và 43;+∞ .

a) Tập xác định: D=ℝ .

Ta có: y'=6x2+6x-36 .

Nhận xét y'=0⇔x=2x=-3 .

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x=-3  và đạt cực tiểu tại x=2 .

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ .

Ta có: y'=3x2-6x-9 ;

y'=0⇔3x2-6x-9=0⇔x=-1 hoac x=3

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1  và đạt cực tiểu tại x=3 .

Theo định nghĩa, ta có thể chọn h=1 , ta có x0-h=1, x0+h=3 .

Dựa vào bảng biến thiên, ta có fx>f2, ∀x∈1;3 \ 2 , suy ra x0=2  là điểm cực tiểu của hàm số, giá trị cực tiểu của hàm số là f2=-5 .

Tập xác định D=ℝ .

Ta có: y'=4x3+4x .

Xét y'=0⇔x=0 .

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0;+∞  và nghịch biến trên khoảng -∞;0 .

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ .

Ta có: y'=-x2+2x-1=-x-12 ;

 y'<0 vơii mọi x∈ℝ  và y'=0⇔x=1 .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]

Tập xác định của hàm số là ℝ \ -1 .

Ta có: y'=x+1-x-2x+12=3x+12>0 , với mọi x khác -1.

Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được nói gọn là xét chiều biến thiên của hàm số.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng -∞;-1  và -1;+∞ .

Tập xác định: D=ℝ .

Ta có f'x=6x2-18x-24 ;

f'x=0⇔x=-1hoac x=4

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1, yCD=f-1=14 ;

hàm số đạt cực tiểu tại x=4, yCT=f4=-111  .

Tập xác định: D=ℝ .

Ta có f'x=3x2-6x+3 ;

f'x=0⇔x=1.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số không có cực trị.

Ta có f'x>0  với mọi x∈-∞;0  và f'x<0  với mọi x∈0;1  nên hàm số đạt cực đại tại x=0  và fCD=f0=2 .

Ta có f'x<0  với mọi x∈0;1  và f'x>0  với mọi x∈1;+∞  nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1  và fCT=f1=-3 .

Tập xác định D=ℝ \ -2 .

Ta có: y'=5x+22 .

Nhận xét: y'>0  với mọi x∈D .

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng -∞;-2  và -2;+∞ .

Tập xác định: D=ℝ .

Ta có: y'=4x3-12x+8 .

Xét y'=0⇔x=-2x=1

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x=-2 .

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ 0 .

Ta có: y'=x2-4x2  vơi x khác 0 ;

y'=0⇔x2-4=0⇔x=-2 hoac x=2

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng -∞;2  và 2;+∞ ;

nghịch biến trên mỗi khoảng -2;0  và 0;2 .

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ -1 .

Ta có: y'=x2+2xx+12  với x khác -1;

y'=0⇔x2+2x=0⇔x=-2 hoac x =0

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-2  và đạt cực tiểu tại x=0 .

Hàm số xác định với mọi x∈ℝ . Ta có y'=x2-2x-3 ;

Bảng biến thiên:

y'=0⇔x=-1x=3

Từ bảng biến thiên, suy ra x=-1  là điểm cực đại của hàm số, fCD=2 ;

x=3  là điểm cực đại của hàm số, fCT=-263 ;

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ .

Ta có: y'=-4x+4 ;

y'=0⇔-4x+4=0⇔x=1

Ta có bảng xét dấu của y'  như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng -∞;1 ; nghịch biến trên khoảng 1;+∞ .

Tập xác định D=ℝ .

Ta có: y'=xx2+1 .

Xét y'=0⇔x=0 .

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số y=x2+1  đồng biến trên nửa khoảng [0;+∞) .

f'(x)=x-14x2-7x+10=0⇔x=1 hoac x=5 hoac x=2,

Trong đó x=1  là nghiệm bội chẵn, x=2, x=5  là nghiệm đơn; f'(x)  bị đổi dấu 2 lần khi qua các điểm x=2, x=5 .

Vậy hàm số y=f(x)  có 2 điểm cực trị: x=2, x=5 .

Ta có: \({y^\prime } = 3{x^2} - 6x + 2a;{y^{\prime \prime }} = 6x - 6\)

Để đồ thị hàm số có điểm cực tiểu \(A(2; - 2)\) cần có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y^\prime }(2) = 0}\\{{y^{\prime \prime }}(2) > 0}\\{y(2) =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = 0}\\{6.2 - 6 > 0}\\{4a + b - 4 =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{b = 2}\end{array}{\rm{. }}} \right.} \right.} \right.\]

Vậy: \(a + b = 2\)

Xét hàm số g(x)=f(3-x) .

Ta có g'(x)=-f'(3-x)=-(3-x-1)(3-x+1)(3-x-4)=(x-2)(x-4)(x+1)

g'(x)=0⇔x=-1 hoac x=2 hoac x=4.

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số g(x)  đạt cực đại tại x=2 .

Ta có: f'(x)=0⇔x(x-1)(x+2)3=0⇔x=0 hoac x=1 hoac x=-2 .

Vì x=0  và x=1  là các nghiệm đơn,x=2 là nghiệm bội lẻ nên f'(x)  đổi dấu khi đi qua các nghiệm này.

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

\[f\left( x \right) < m - {e^{ - x}} \Leftrightarrow f\left( x \right) + {e^{ - x}} < m\].

Xét hàm số \[g(x) = f\left( x \right) + {e^{ - x}}\] trên khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\)

\[g'(x) = f'\left( x \right) - {e^{ - x}}\].

Từ bảng biến thiên ta thấy \(f'\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \left( { - 2;2} \right)\) và \( - {e^{ - x}} < 0,\,\,\forall x\) nên \(g'(x) < 0,\,\,\forall x \in \left( { - 2;2} \right)\)

Suy ra hàm số \[g(x) = f\left( x \right) + {e^{ - x}}\] nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\) và do \[g(x)\] liên tục trên

\(\left[ { - 2\,;\,2} \right]\)nên \[g(x)\] nghịch biến trên \(\left[ { - 2\,;\,2} \right]\).

Bất phương trình \[f\left( x \right) + {e^{ - x}} < m\] nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( { - 2;2} \right)\) khi và chỉ khi \(g(x) < m,{\rm{ }}\forall x \in \left( { - 2;2} \right) \Leftrightarrow g( - 2) \le m \Leftrightarrow f\left( { - 2} \right) + {e^2} \le m.\)

Tập xác định D=ℝ \ -12 .

y'=2x2+2x-42x+12,y'=0⇔2x2+2x-4=0⇔x=1(⇒y=2)x=-2(⇒y=-1), .

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là M1;2  và N-2;-1 .

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị M, N của đồ thị hàm số đã cho là: y=x+1 .

Ta có: y'=-3x2+6x .

y'=0⇔-3x2+6x=0⇔x=0x=2.

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0;5)  và B(2;9) .

→AB=2;4⇒AB=25.

Phương trình đường thẳng AB qua A(0;5)  có véc tơ pháp tuyến : n→=(-2;1): 2x-y+5=0 .

d(O, AB)=2.0-0+522+(-1)2=5.

Vậy diện tích của tam giác OAB  là: S=12dO,AB.AB=12.5.25=5 .

Ta có: f'(x)=0⇔x=-1 hoac x=-2 hoac x=0

y'=(2x-2)f'(x2-2x);y'=0↔f'(x2-2x)=02x-2=0⇔x2-2x=-1x2-2x=-2hoac x2-2x=0x=1⇔x=2 hoac x=0 hoac x=1;

Bảng biến thiên:

b) Tập xác định: D=ℝ.

Ta có: y'=4x3-4x .

Nhận xét y'=0⇔x=0x=±1

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng -1;0  và 1;+∞  và nghịch biến trên khoảng -∞;-1  và 0;1 .

c) Tập xác định: D=ℝ\2 .

Ta có: y'=52-x2 .

Nhận xét y'>0∀x∈D

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng -∞;2  và 2;+∞ .

d) Tập xác định: D=ℝ \ -1 .

Ta có: y'=2x-2x+1-x2+2xx+12=x2+2x-2x+12 .

Nhận xét y'=0⇔x=-1+3x=-1-3 .

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng -∞;-1-3  và -1+3;+∞  và nghịch biến trên khoảng -1-3;-1  và -1;-1+3 .

b) Tập xác định: D=ℝ .

Ta có: y'=x3+4x .

Nhận xét y'=0⇔x=0 .

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=0

c) Tập xác định: D=ℝ \ 0 .

Ta có: y'=1+1x2 .

Nhận xét y'>0∀x∈D .

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số không có điểm tiểu và điểm cực đại.