(Trả lời ngắn) 27 bài tập Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (có lời giải)
27 câu hỏi
Nếu hai biến cố \(A\), \(B\) thoả mãn \({\rm{P}}(B) = 0,4;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,5;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,3\) thì \({\rm{P}}(A)\) bằng bao nhiêu?
Đáp số: 0,38
Nếu hai biến cố \(A\), \(B\) thoả mãn \({\rm{P}}(A) = 0,3;{\rm{P}}(B) = 0,6;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,4\) thì \({\rm{P}}(B\mid A)\) bằng bao nhiêu?
Đáp số: 0,8
Cho hai biến cố xung khắc \(A\), \(B\) với \({\rm{P}}(A) = 0,15;{\rm{P}}(B) = 0,45\). Tính\({\rm{P}}(A\mid B)\).
Đáp số: 0
Cho hai biến cố \(A\), \(B\) với \(0 < {\rm{P}}(B) < 1\) và \({\rm{P}}(A \cap B) = 0,2;{\rm{P}}(A \cap \bar B) = 0,3\). Tính\({\rm{P}}(A)\).
Đáp số: 0,5
Cho hai biến cố \(A\), \(B\) sao cho \({\rm{P}}(A) = 0,5;{\rm{P}}(B) = 0,2;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,25\). Tính \({\rm{P}}(B\mid A)\).
Đáp số: 0,1
Cho hai biến cố \(A\), \(B\) sao cho \({\rm{P}}(A) = 0,6\); \({\rm{P}}(B) = 0,4;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,3\). Tính \({\rm{P}}(B\mid A)\).
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
\({\rm{P}}(B\mid A) = \frac{{{\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B)}}{{{\rm{P}}(A)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,3}}{{0,6}} = 0,2.\)
Cho hai biến cố \(A\), \(B\) sao cho \({\rm{P}}(A) = 0,4\); \({\rm{P}}(B) = 0,8;{\rm{P}}(B\mid A) = 0,3\). Tính \({\rm{P}}(A\mid B)\).
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(B)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,3}}{{0,8}} = 0,15\)
Cho hai biến cố \(A\), \(B\) với \({\rm{P}}(B) = 0,6;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,7\) và \({\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,4\). Tính \({\rm{P}}(A)\).
Ta có \(P(B) = 0,6\). Suy ra \(P(\bar B) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,6 \cdot 0,7 + 0,4 \cdot 0,4 = 0,58.{\rm{ }}\)
Cho hai biến cố xung khắc \(A\), \(B\) với \({\rm{P}}(A) = 0,2;{\rm{P}}(B) = 0,4\). Tính \({\rm{P}}(A\mid B)\).
Xét các biến cố:
“Người được chọn mắc bệnh X”;
“Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y”.
Theo giả thiết ta có: \(P\left( A \right) = 0.002{\kern 1pt} ;\quad P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0.002 = 0.998\);
\[P\left( {A\left| B \right.} \right) = 1{\kern 1pt} ;\quad P\left( {\left. {B{\kern 1pt} } \right|\overline A } \right) = 0.06.\]
Theo công thức Bayes, ta có:
\[P\left( {A\left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {A\left| B \right.} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {A\left| B \right.} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right)}} = \frac{{0,002.1}}{{0,002.1 + 0,998.0,06}} \approx 0,03\]
Vậy nếu người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y thì xác suất bị mắc bệnh X của người đó là khoảng 0,03.
Xét các biến cố: \(A\): "Lấy được 1 chính phẩm từ thùng I sang thùng II";
\(B\): "Lây được 1 chính phẩm từ thùng II".
Khi đó, \(P\left( A \right) = \frac{5}{9};\,\,P\left( {\overline A } \right) = \frac{4}{9};\,\,P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{15}};\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}\).
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố \(B\) là: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{9}.\frac{7}{{15}} + \frac{4}{9}.\frac{2}{5} \approx 0,44\).
Xét các biến cố \(A\): "Chọn được người bi bệnh cúm";
\(B\): "Chọn được người có phản ứng dương tính".
Khi đó \(P\left( A \right) = 0,25;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0,75;\,\,P\left( {B|A} \right) = 0,96;\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,08\).
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố \(B\) là:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,25.0,96 + 0,75.0,08 = 0,3\).
Xét các biến cố: \(A\): "Chọn được tré em nam";
\(B\): "Chọn được trẻ em nam bị hen phế quån".
Khi đó, \(P\left( A \right) = \frac{{1,5}}{{1 + 1,5}} = 0,6;\,\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0,4;\,\,\,P\left( {B|A} \right) = 0,08;\,\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,05.\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,6.0,08 + 0,4.0,05 = 0,068\).
Xét các biến cố: \(A\): "Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc";
\(B\): “Chọn được học sinh biết chơi đàn guitar”.
Khi đó, \[P\left( A \right) = 0,2;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0,8;\,\,P\left( {B|A} \right) = 0,85;\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\].
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,2.0,85 + 0,8.0,1 = 0,25\).
Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc, biết học sinh đó chơi được đàn guitar, là:
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B\backslash A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2.0,85}}{{0,25}} = 0,68\).
Kết quả khảo sát tại một xã cho thấy có \(20\% \) cư dân hút thuốc lá. Tỉ lệ cư dân thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp trong số những người hút thuốc lá và không hút thuốc lá lần lượt là \(70\% ,15\% \). Nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là bao nhiêu?
Giả sử ta gặp một cư dân của xã, gọi
- A là biến cố "Người đó có hút thuốc lá"
- B là biến cố "Người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp".
Ta có sơ đồ hình cây sau:
Ta có: \[P(B) = P(A){\rm{ }}.P(B|A) + P(\overline A ){\rm{ }}.P(B|\overline A ) = 0,14 + 0,12 = 0,26\].
Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thì xác suất người đó thường xuyên gặp các vấn đề
sức khoẻ về đường hô hấp là \[26\% \].
Theo công thức Bayes, ta có: \[P(A|B) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,14}}{{0,26}} \approx 0,54\]
Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường
hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là khoảng \[54\% \]
- Gọi \(A\) là sự kiện "sản phẩm được kiểm tra là loại một"; \({B_1},{B_2},{B_3}\) lần lượt là sự kiện "sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I, II và III sản xuất".
- Hệ \(\left\{ {{B_1},{B_2},{B_3}} \right\}\) tạo thành một hệ đầy đủ với \(P\left( {{B_1}} \right) = 0,2,P\left( {{B_2}} \right) = 0,5\) và \(P\left( {{B_3}} \right) = 0,3\).
- Áp dụng công thức xác suất đầy đủ với \(P\left( {A\mid {B_1}} \right) = 0,7,P\left( {A\mid {B_2}} \right) = 0,8\) và \(P\left( {A\mid {B_3}} \right) = 0,6\) ta nhận được
\(\begin{array}{l}P(A) = P\left( {{B_1}} \right)P\left( {A\mid {B_1}} \right) + P\left( {{B_2}} \right)P\left( {A\mid {B_2}} \right) + P\left( {{B_3}} \right)P\left( {A\mid {B_3}} \right)\\{\rm{ }} = 0,2 \times 0,7 + 0,5 \times 0,8 + 0,3 \times 0,6 = 0,72 = 72\% \end{array}\)
Có 10 lọ hóa chất trong đó có 4 lọ loại I, 6 lọ loại II. Nếu dùng lọ loại I thì kết quả tốt với xác suất 0, 9 , nếu dùng lọ loại II thì kết quả tốt với xác suất 0, 5 . Xác suất để lọ hóa chất tốt này thuộc loại I bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).
a) Gọi \({B_1}\) là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại I", \({B_2}\) là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại II", \(A\) là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất có kết quả tốt". Ta thấy \(\left\{ {{B_1},{B_2}} \right\}\) là hệ đầy đủ các biến cố và
\(\begin{array}{l}\mathbb{P}\left( {{B_1}} \right) = \frac{4}{{10}},\mathbb{P}\left( {{B_2}} \right) = \frac{6}{{10}}\\\mathbb{P}\left( {A\mid {B_1}} \right) = 0,9,\mathbb{P}\left( {A\mid {B_2}} \right) = 0,5\end{array}\)\(\)
Theo công thức xác suất đầy đủ
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\mathbb{P}(A)}&{ = \mathbb{P}\left( {{B_1}} \right)\mathbb{P}\left( {A\mid {B_1}} \right) + \mathbb{P}\left( {{B_2}} \right)\mathbb{P}\left( {A\mid {B_2}} \right)}\\{}&{ = \frac{4}{{10}} \times 0,9 + \frac{6}{{10}} \times 0,5}\\{}&{ = 0,66}\end{array}\)\(\)
Ta cần tính xác suất \(\mathbb{P}\left( {{B_1}\mid A} \right)\), theo công thức Bayes
\[\mathbb{P}\left( {{B_1}\mid A} \right) = \frac{{\mathbb{P}\left( {{B_1}} \right)\mathbb{P}\left( {A\mid {B_1}} \right)}}{{\mathbb{P}(A)}} = \frac{{\frac{4}{{10}} \times 0,9}}{{0,66}} = \frac{6}{{11}} \approx 0,545\]
Xét các biến cố \(A\): "Chọn được người bi bệnh cúm";
\(B\): "Chọn được người có phản ứng dương tính".
Khi đó \(P\left( A \right) = 0,25;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0,75;\,\,P\left( {B|A} \right) = 0,96;\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,08\).
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố \(B\) là:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,25.0,96 + 0,75.0,08 = 0,3\).
Xét các biến cố: \(A\): "Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc";
\(B\): “Chọn được học sinh biết chơi đàn guitar”.
Khi đó, \[P\left( A \right) = 0,2;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0,8;\,\,P\left( {B|A} \right) = 0,85;\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\].
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,2.0,85 + 0,8.0,1 = 0,25\).
Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc, biết học sinh đó chơi được đàn guitar, là:
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2.0,85}}{{0,25}} = 0,68.\)
Chuồng 1 có 5 con gà mái, 2 con gà trống. Chuồng II có 3 con gà mái, 5 con gà trống. Bác Mai bắt một con gà trong số đó theo cách sau: "Bác tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Nếu số chấm chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng I . Nếu số chấm không chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng II. Sau đó, từ chuồng đã chọn bác bắt ngẫu nhiên một con gà”. Tính xác suất để bác Mai bắt được con gà mái.
Gọi A là biến cố: “Chọn chuồng I";
\(B\) là biến cố: "Bắt được gà mái".
Vi nếu tung xúc xắc mà số chấm xuất hiện chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng I nên ta có \(P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = \frac{2}{3}\).
Từ dữ kiện bài ra, ta suy ra được: \(P(B\mid A) = \frac{5}{7},P(B\mid \bar A) = \frac{3}{8}\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{{41}}{{84}} \approx 0,4881\)
Vậy xác suất để bác Mai bắt được con gà mái là 0,4881 .
Một công ty thời trang có hai chi nhánh cùng sản xuất một loại áo thời trang, trong đó có \(56\% \) áo thời trang ở chi nhánh I và \(44\% \) áo thời trang ở chi nhánh II. Tại chi nhánh I có \(75\% \) áo chất lượng cao và tại chi nhánh II có \(68\% \) áo chất lượng cao (kích thước và hình dạng bề ngoài của các áo là như nhau). Chọn ngẫu nhiên 1 áo thời trang. Xác suất chọn được áo chất lượng cao là bao nhiêu?
Xét các biến cố:
A: "Chọn được áo chất lượng cao";
\(B\) : "Chọn được áo ở chi nhánh I";
\(\bar B:\) Chọn được áo ở chi nhánh \({\rm{I}}{{\rm{I}}^\prime }\).
Từ giả thiết, ta có: \({\rm{P}}(B) = 0,56;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,75;{\rm{P}}(\bar B) = 0,44;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,68.\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,56 \cdot 0,75 + 0,44 \cdot 0,68 = 0,7192.{\rm{ }}\)
Vậy xác suất chọn được áo chất lượng cao là 0,7192 .
Tại một địa phương có 500 người cao tuổi, bao gồm 260 nam và 240 nữ. Trong nhóm người cao tuổi nam và nữ lần lượt có \(40\% \) và \(55\% \) bị bệnh tiểu đường. Chọn ngẫu nhiên một người. Xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là bao nhiêu?
Xét các biến cố:
A: "Chọn được người không bị bệnh tiểu đường";
\(B\) : "Chọn được người cao tuổi là nam";
\(\bar B\) : "Chọn được người cao tuổi là nữ".
Từ giả thiết, ta có: \({\rm{P}}(B) = \frac{{260}}{{500}} = 0,52;{\rm{P}}(A\mid B) = 1 - 0,4 = 0,6\);
\({\rm{P}}(\bar B) = \frac{{240}}{{500}} = 0,48;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 1 - 0,55 = 0,45.{\rm{ }}\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,52 \cdot 0,6 + 0,48 \cdot 0,45 = 0,528.{\rm{ }}\)
Vậy xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là 0,528 .
Có hai hộp bóng bàn, các quả bóng bàn có kích thước và hình dạng như nhau. Hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng. Hộp thứ hai có 6 quả bóng bàn màu trắng và 4 quả bóng bàn màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng bàn ở hộp thứ hai ra. Tính xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai.
Vì hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng nên khi lấy 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất thì có hai khả năng: khả năng thứ nhất là lấy được 3 quả bóng bàn màu trắng và 1 quả bóng bàn màu vàng; khả năng thứ hai là lấy được 2 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng.
Xét các biến cố:
A: "Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai";
\(B\) : "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 1 quả bóng bàn màu vàng"; \(\bar B\) : "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 2 quả bóng bàn màu vàng".
- Xét khả năng thư nhất: Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là \({\rm{C}}_5^4\), có 1 cách lấy 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 cách lấy 1 quả bóng bàn màu vàng, suy ra \({\rm{P}}(B) = \frac{{1 \cdot 2}}{{{\rm{C}}_5^4}} = \frac{2}{5}\). Vì khi đó hộp thứ hai có 9 quả bóng bàn màu trắng và 5 quả bóng bàn màu vàng nên \({\rm{P}}(A\mid B) = \frac{5}{{14}}\).
- Xét khả năng thú hai: Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là \({\rm{C}}_5^4\), có \({\rm{C}}_3^2\) cách lấy 2 quả bóng bàn màu trắng và 1 cách lấy 2 quả bóng bàn màu vàng, suy ra \({\rm{P}}(\bar B) = \frac{{{\rm{C}}_3^2 \cdot 1}}{{{\rm{C}}_5^4}} = \frac{3}{5}\). Vì khi đó hộp thứ hai có 8 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng nên \({\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{6}{{14}}\).
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{{14}} + \frac{3}{5} \cdot \frac{6}{{14}} = \frac{2}{5}.\)
Vậy xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai là \(\frac{2}{5}\).
Trước khi đưa ra thị trường một sản phẩm, công ty phỏng vấn 800 khách hàng và được kết quả là 550 người nói sẽ mua, còn 250 người nói sẽ không mua. Theo kinh nghiệm của nhà sản xuất thì trong những người nói sẽ mua sẽ có \(60\% \) số người chắc chắn mua, còn trong những người nói sẽ không mua lại có \(1\% \) người chắc chắn mua. Chọn ngẫu nhiên một khách hàng. Xác suất chọn được khách hàng chắc chắn mua là bao nhiêu?
Xét các biến cố:
A: "Khách hàng được chọn chắc chắn mua";
\(B\) : "Khách hàng được chọn nói sẽ mua".
Theo giả thiết, ta có:
\({\rm{P}}(B) = \frac{{550}}{{800}} = \frac{{11}}{{16}};{\rm{P}}(\bar B) = \frac{{250}}{{800}} = \frac{5}{{16}};{\rm{P}}(A\mid B) = 0,6;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,01\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B)\)\( = \frac{{11}}{{16}} \cdot 0,6 + \frac{5}{{16}} \cdot 0,01 = \frac{{133}}{{320}}.\)
Vậy xác suất chọn được khách hàng chắc chắn mua là \(\frac{{133}}{{320}}\).
Trong một ngày hội giao lưu học sinh, chỉ có 350 học sinh trường Hoà Bình và 450 học sinh trường Minh Phúc đứng ở hội trường. Trong các học sinh giao lưu, tỉ lệ học sinh trường Hoà Bình bị cận thị là 0,2 , còn tỉ lệ học sinh trường Minh Phúc bị cận thị là 0,3 . Các học sinh của hai trường đứng lẫn với nhau. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xác suất chọn được học sinh bị cận thị là bao nhiêu?
Xét các biến cố:
A: "Học sinh được chọn bị cận thị";
B: "Học sinh được chọn thuộc trường Hoà Bình".
Theo giả thiết, ta có:
\({\rm{P}}(B) = \frac{{350}}{{800}} = \frac{7}{{16}};{\rm{P}}(\bar B) = \frac{{450}}{{800}} = \frac{9}{{16}};{\rm{P}}(A\mid B) = 0,2;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,3.{\rm{ }}\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B)\)\( = \frac{7}{{16}} \cdot 0,2 + \frac{9}{{16}} \cdot 0,3 = \frac{{41}}{{160}}.\)
Vậy xác suất chọn được học sinh bị cận thị là \(\frac{{41}}{{160}}\).
Trên bàn có hai hộp bi với hình dạng và kích thước như nhau. Hộp thứ nhất có 6 viên bi đỏ, 7 viên bi vàng; còn hộp thứ hai có 10 viên bi đỏ, 11 viên bi vàng. Các viên bi có hình dạng và kích thước như nhau. Chọn ngẫu nhiên một hộp bi và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất để viên bi được lấy có màu đỏ.
Xét các biến cố:
A: "Lấy được viên bi màu đỏ";
B: "Chọn được hộp bi thứ nhất".
Theo giả thiết, ta có: \({\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar B) = \frac{1}{2};{\rm{P}}(A\mid B) = \frac{6}{{13}};{\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{{10}}{{21}}.\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{13}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{10}}{{21}} = \frac{{128}}{{273}}.\)
Vậy xác suất để viên bi được lấy có màu đỏ là \(\frac{{128}}{{273}}\).
Huy thực hiện liên tiếp hai thí nghiệm. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,6 . Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,8 . Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,3 . Tính xác suất của các biến cố:
A: "Cả hai thí nghiệm đều thành công";
B: "Thí nghiệm thứ nhất không thành công, còn thí nghiệm thứ hai thành công";
\(C\) : "Thí nghiệm thứ hai thành công".
Xét biến cố \(M\) : "Thí nghiệm thứ nhất thành công".
Khi đó, \({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(M \cap C);{\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar M \cap C)\).
Theo giả thiết, ta có: \({\rm{P}}(M) = 0,6;{\rm{P}}(\bar M) = 0,4;{\rm{P}}(C\mid M) = 0,8;{\rm{P}}(C\mid \bar M) = 0,3\).
Suy ra xác suất của biến cố \(A\) là:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(M \cap C) = {\rm{P}}(M) \cdot {\rm{P}}(C\mid M) = 0,6 \cdot 0,8 = 0,48;\)
Xác suất của biến cố \(B\) là: \({\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar M \cap C) = {\rm{P}}(\bar M) \cdot {\rm{P}}(C\mid \bar M) = 0,4 \cdot 0,3 = 0,12.\)
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố \(C\) là:
\({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(M \cap C) + {\rm{P}}(\bar M \cap C) = 0,48 + 0,12 = 0,6.\)
