31 bài tập Tính xác suất bằng cách sử dụng công thức xác suất toàn phần (có lời giải)
31 câu hỏi
Cho hai biến cố \(A\), \(B\) với \({\rm{P}}(B) = 0,6;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,7\) và \({\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,4\). Tính \({\rm{P}}(A)\).
Ta có \(P(B) = 0,6\). Suy ra \(P(\bar B) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,6 \cdot 0,7 + 0,4 \cdot 0,4 = 0,58.{\rm{ }}\)
Chị An trà lời hai câu hòi. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7 . Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,9 nếu chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất và là 0,5 nếu chị An không trả lời đúng câu hỏi thứ nhất.
Gọi \(A\) là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất" và \(B\) là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hòi thứ hai". Hãy tìm các giá trị thích hợp điền vào các ô có dấu ? ở sơ đồ hình cây sau:
A là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất" và B là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai".
Ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,7;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,9;P(B\mid \bar A) = 0,5\).
Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 0,3;P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 0,1\); \(P(\bar B\mid \bar A) = 1 - P(B\mid \bar A) = 0,5\)
Ta có sơ đồ hình cây
Vào mỗi buối sáng ở tuyến phố H , xác suất xảy ra tắc đường khi trời mưa và không mưa lần lượt là 0,7 và 0,2 . Xác suất có mưa vào một buối sáng là 0,1 . Tính xác suất đế sáng đó tuyến phố H bị tắc đường.
Gọi A là biến cố "Tuyến phố H bị tắc đường" và B là biến cố "Buối sáng đó có mưa"
Theo đề ta có: \({\rm{P}}({\rm{B}}) = 0,1;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,7;P(A\mid \bar B) = 0,2\)
Suy ra \(P(\bar B) = 1 - P(B) = 0,9\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P(A) = P(B) \cdot P(A\mid B) + P(\bar B) \cdot P(A\mid \bar B) = 0,1 \cdot 0,7 + 0,9 \cdot 0,2 = 0,25\)
Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2 , \(3, \ldots ,24\); hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố \(A\) : "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3 " và biến cố \(B\) : "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4 ".
a) Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố \(A,B,A \cap B,A \cap \bar B\) (Hình 2).
b) So sánh: \(n(A){\rm{ và }}n(A \cap B) + n(A \cap \bar B){\rm{. }}\)
Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: \({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(A \cap B) + {\rm{P}}(A \cap \bar B).\)
c) So sánh: \({\rm{P}}(A \cap B)\) và \({\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B)\); \({\rm{P}}(A \cap \bar B){\rm{ và P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B){\rm{. }}\)
Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: \({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B){\rm{. }}\)
\({\rm{ a) }}\Omega = \{ 1;2;3; \ldots ;24\} .\)
\(A = \{ 3;6;9;12;15;18;21;24\} .\)
\(B = \{ 4;8;12;16;20;24\} .\)
\(A \cap B = \{ 12;24\} \).
\(\bar B = \{ 1;2;3;5;6;7;9;10;11;13;14;15;17;18;19;21;22;23\} {\rm{. }}\)
\(A \cap \bar B = \{ 3;6;9;15;18;21\} \).
b) Từ câu a), suy ra \(n(A) = 8,n(A \cap B) = 2,n(A \cap \bar B) = 6\).
Do \(8 = 2 + 6\) nên \(n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \bar B)\).
Khi đó, \({\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{n(A \cap B) + n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}} + \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}}\).
Mà \({\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}};{\rm{P}}(A \cap \bar B) = \frac{{n(A \cap \bar B)}}{{n(\Omega )}}\).
Vậy \({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) + {\rm{P}}(A \cap \bar B)\).
c) Ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}})\).
\({\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = {\rm{P}}(\bar B) \cdot \frac{{P(A \cap \bar B)}}{{P(\bar B)}} = {\rm{P}}(A \cap \bar B).\)
Vì hai biến cố \({\rm{A}} \cap {\rm{B}}\) và \(A \cap \bar B\) là hai biến cố xung khắc và \(({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) \cup (A \cap \bar B)\) = A nên theo công thức xác suất ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) + {\rm{P}}(A \cap \bar B) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B).\)
Dây chuyền lắp ráp ô tô điện gồm các linh kiện là sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra chiếm \(55\% \) tổng số linh kiện, số linh kiện nhà máy II sản xuất ra chiếm \(45\% \) tổng số linh kiện; tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của nhà máy I là \(90\% \), của nhà máy II là \(87\% \). Lấy ngẫu nhiên ra một linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó để kiểm tra.
Xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu?
Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:
Xét hai biến cố sau:
A: “Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn";
B: "Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất".
Khi đó, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{B}}) = 0,55;{\rm{P}}(\bar B) = 1 - {\rm{P}}({\rm{B}}) = 1 - 0,55 = 0,45;\)
\({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,9;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,87.\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,55 \cdot 0,9 + 0,45 \cdot 0,87 = 0,8865.{\rm{ }}\)
Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865 .
Theo một số liệu thống kê, năm 2004 ở Canada có \(65\% \) nam giởi là thừa cân và \(53,4\% \) nữ giởi là thừa cân. Nam giởi và nữ giới ở Canada đều chiếm \(50\% \) dân số cả nước (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics - Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi rằng, trong năm 2004, xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng bao nhiêu?
Xét hai biến cố sau:
\(A\) : "Người được chọn ra là người thừa cân";
\(B\) : "Người được chọn ra là nam giới" (biến cố \(\bar B\) : "Người được chọn ra là nữ giới").
Từ giả thiết ta có:
\({\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar B) = 50\% = 0,5;{\rm{P}}(A\mid B) = 65\% = 0,65;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 53,4\% = 0,534.\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,5 \cdot 0,65 + 0,5 \cdot 0,534 = 0,592.\)
Vậy xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng 0,592 . Nói cách khác, tỉ lệ người Canada thừa cân là \(59,2\% \).
Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh tại trường \(X\). Nhóm này có \(60\% \) học sinh là nam. Kết quả khảo sát cho thấy có \(20\% \) học sinh nam và \(15\% \) học sinh nữ biết chơi ít nhất một nhạc cụ.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm này. Tính xác suất để chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ.
Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm.
Gọi \(A\) là biến cố "Chọn được một học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cư" và \(B,\bar B\) lần lượt là các biến cố "Chọn được một học sinh nam" và "Chọn được một học sinh nữ".
Theo đề bài: P(B)=60%=0,6;P(B¯˙)=1−0,6=0,4
\(P(A\mid B) = 20\% = 0,2;P(A\mid \bar B) = 15\% = 0,15.\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(P(A) = P(B) \cdot P(A\mid B) + P(\bar B) \cdot P(A\mid \bar B) = 0,6 \cdot 0,2 + 0,4 \cdot 0,15 = 0,18.{\rm{ }}\)
Vậy xác suất để chọn được một học sinh biết chơi nhạc cụ là 0,18 hay \(18\% \).
Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ.
Xét phép thử lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai.
Cách 1: Gọi:
- A là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ";
- \(B\) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ";
\( \cdot \) \(\bar B\) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh".
Ta có: \(P(B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2};P(\bar B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).
Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh. Do đó \(P(A\mid B) = \frac{7}{{11}}\).
Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh. Do đó \(P(A\mid \bar B) = \frac{6}{{11}}\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(P(A) = P(B) \cdot P(A\mid B) + P(\bar B) \cdot P(A\mid \bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}.\)
Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng \(\frac{{13}}{{22}}\).
Cách 2: Gọi:
- A là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ";
- C là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi của hộp thứ nhất";
\( \cdot \) \(\bar C\) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi của hộp thứ hai".
Sau khi chuyển một viên bi từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì hộp thứ hai có 11 viên bi.
Ta có: \(P(C) = \frac{1}{{11}};P(\bar C) = \frac{{10}}{{11}}\).
Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ của hộp thứ nhất: \(P(A\mid C) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).
Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ của hộp thứ hai: \(P(A\mid \bar C) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(P(A) = P(C) \cdot P(A\mid C) + P(\bar C) \cdot P(A\mid \bar C) = \frac{1}{{11}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{{10}}{{11}} \cdot \frac{3}{5} = \frac{{13}}{{22}}.\)
Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng \(\frac{{13}}{{22}}\).
Một hộp có 60 viên bi màu xanh và 40 viên bi màu đỏ; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi thống kê, người ta thấy: có \(50\% \) số viên bi màu xanh có dán nhãn và \(75\% \) số viên bi màu đỏ có dán nhãn; những viên bi còn lại không dán nhãn.
a) Chọn số thích hợp cho ô có dấu ? trong Bảng 3 (đơn vị: viên bi).
b) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Sử dụng công thức xác suất toàn phần, tính xác suất để viên bi được lấy ra có dán nhãn.
a) Số viên bi màu đỏ có dán nhãn là: \(75\% .40 = 30\) (viên bi).
Số viên bi màu xanh có dán nhãn là: \(50\% .60 = 30\) (viên bi).
b) Xét hai biến cố sau:
A: "Viên bi được chọn ra có dán nhãn";
\(B\) : "Viên bi được chọn ra có màu đỏ".
Khi đó, ta có:
\({\rm{P}}(B) = \frac{{40}}{{100}} = \frac{2}{5};{\rm{ P}}(\bar B) = 1 - {\rm{P}}(B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5};{\rm{P}}(A\mid B) = \frac{{30}}{{40}} = \frac{3}{4};{\rm{ P}}(A\mid \bar B) = \frac{{30}}{{60}} = \frac{1}{2}.\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{5}.\)
Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có dán nhãn bằng \(\frac{3}{5}\).
Dây chuyền lắp ráp ô tô điện gồm các linh kiện là sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra chiếm \(55\% \) tổng số linh kiện, số linh kiện nhà máy II sản xuất ra chiếm \(45\% \) tổng số linh kiện; tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của nhà máy I là \(90\% \), của nhà máy II là \(87\% \). Biết rằng cả hai nhà máy sản xuất được 10000 linh kiện. Lấy ngẫu nhiên ra một linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó để kiểm tra.
Hãy lập bảng thống kê và tính xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu?
Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra là: \(55\% \) - \(10000 = 5500\) (linh kiện).
Số linh kiện nhà máy II sản xuất ra là: \(45\% \cdot 10000 = 4500\) (linh kiện).
Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra đạt tiêu chuẩn là: \(90\% \) - \(5500 = 4950\) (linh kiện), không đạt tiêu chuẩn là: \(5500 - 4950 = 550\) (linh kiện).
Số linh kiện nhà máy II sản xuất ra đạt tiêu chuẩn là: \(87\% \cdot 4500 = 3915\) (linh kiện), không đạt tiêu chuẩn là: \(4500 - 3915 = 585\) (linh kiện).
Từ đó ta có bảng thống kê như sau (đơn vị: linh kiện)
Xét hai biến cố sau:
A: “Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn";
B: "Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất".
Khi đó, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{B}}) = 0,55;{\rm{P}}(\bar B) = 1 - {\rm{P}}({\rm{B}}) = 1 - 0,55 = 0,45;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,9;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,87.{\rm{ }}\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,55 \cdot 0,9 + 0,45 \cdot 0,87 = 0,8865.\)
Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865 .
Trong trò chời hái hoa có thưởng của lốp 12 A , cô giáo treo 10 bông hoa trên cành cây, trong đó có 5 bông hoa chứa phiếu có thưởng. Bạn Bình hái bông hoa đầu tiên, sau đó bạn An hái bông hoa thứ hai.
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.
b) Từ đó, tính xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng.
Xét hai biến cố: \(A\) : "Bông hoa bạn An hái được chứa phiếu có thưởng";
\(B\) : "Bông hoa bạn Bình hái được chứa phiếu có thưởng".
Khi đó, ta có:
\({\rm{P}}(B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2},\quad {\rm{P}}(\bar B) = 1 - {\rm{P}}(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2},{\rm{P}}(A\mid B) = \frac{4}{9},\quad {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{5}{9}.\)
a) Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:
b) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1}{2}{\rm{. }}\)
Vậy xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng bằng \(\frac{1}{2}\).
Dây chuyền lắp ráp ô tô điện gồm các linh kiện là sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra chiếm \(55\% \) tổng số linh kiện, số linh kiện nhà máy II sản xuất ra chiếm \(45\% \) tổng số linh kiện; tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của nhà máy I là \(90\% \), của nhà máy II là \(87\% \). Biết rằng cả hai nhà máy sản xuất được 10000 linh kiện. Lấy ngẫu nhiên ra một linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó để kiểm tra.
Hãy sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu?
Xét hai biến cố sau:
A: "Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn";
B: “Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất".
Khi đó, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{B}}) = 0,55;{\rm{P}}(\bar B) = 1 - {\rm{P}}({\rm{B}}) = 1 - 0,55 = 0,45;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,9;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,87.{\rm{ }}\)
Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,55 \cdot 0,9 + 0,45 \cdot 0,87 = 0,8865.{\rm{ }}\)
Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865 .
Số khán giả đến xem buổi biểu diễn ca nhạc ngoài trời phụ thuộc vào thời tiết. Giả sử, nếu trời không mưa thì xác suất để bán hết vé là 0,9 ; còn nếu trời mưa thì xác suất để bán hết vé chỉ là 0,4 . Dự báo thời tiết cho thấy xác suất để trời mưa vào buổi biểu diễn là 0,75 . Nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất để bán được hết vé là bao nhiêu.
Gọi A là biến cố "Trời mưa" và B là biến cố "Bán hết vé" trong tình huống mở đằu.
a) Tính \({\rm{P}}({\rm{A}}),P(\bar A),{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}),P(B\mid \bar A)\).
b) Trong hai xác suất \({\rm{P}}({\rm{A}})\) và \({\rm{P}}({\rm{B}})\), nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất nào nhất?
c) Tính xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé.
a) Với A là biến cố "Trời mưa" và B là biến cố "Bán hết vé".
Theo bài ra ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,75\). Suy ra \({\rm{P}}(\bar A) = 1 - {\rm{P}}({\rm{A}}) = 1 - 0,75 = 0,25\).
Lại có:
+) nếu trời mưa thì xác suất bán hết vé là 0,4 . Vậy \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,4\).
+) nếu trời không mưa thì xác suất bán hết vé là 0,9 . Vậy \(P(B\mid \bar A) = 0,9\).
b) Nhà tổ chức quan tâm tới \({\rm{P}}({\rm{B}})\) nhất.
c) Gọi A là biến cố: "Trời mưa" và B là biến cố: "Bán hết vé".
Từ HÐ 1a, ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,75;{\rm{P}}(\bar A) = 1 - {\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,25\);
\({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,4;P(B\mid \bar A) = 0,9.{\rm{ }}\)
Thay vào công thức xác suất toàn phần ta được
\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) + {\rm{P}}(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = 0,75 \cdot 0,4 + 0,25 \cdot 0,9 = 0,525.{\rm{ }}\)
Vậy xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé là 0,525 .
Ông An hằng ngày đi làm bằng xe máy hoă̆c xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suá́t để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7 . Xét một tuần mà thứ Hai ông An đi làm bằng xe buýt. Tính xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe máy.
Gọi \(A\) là biến cố: "Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy"; \(B\) là biến cố: "Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy". Ta cần tính \(P(B)\). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(P(B) = P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A).\)
- Tính \(P(A)\) : Vi thứ Hai, ông An đi làm bằng xe buýt nên xác suất để thứ Ba (hôm sau), ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Vậy \(P(A) = 0,4\).
- Tính \(P(\bar A)\) : Ta có \(P(\bar A) = 1 - 0,4 = 0,6\).
- Tính \(P(B\mid A)\) : Đây là xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy.
- Theo giả thiết, nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7 và đi làm bằng xe máy là \(1 - 0,7 = 0,3\). Do đó, nếu thứ Ba , ông An đi làm bằng xe máy thì xác suất để thứ Tư, ông đi làm bằng xe máy là 0,3 . Vậy \(P(B\mid A) = 0,3\).
- Tính \(P(B\mid \bar A)\) : Đây là xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông An đi làm bằng xe buýt. Theo giả thiết, né́u hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Do đó nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe buýt thì
\(P(B) = P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = 0,4 \cdot 0,3 + 0,6 \cdot 0,4 = 0,36.\)
Ông An hằng ngày đi làm bằng xe máy hoă̆c xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suá́t để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7 . Xét một tuần mà thứ Hai ông An đi làm bằng xe buýt.
a) Tính xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe máy theo sơ đồ hình cây.
b) Tính xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe buýt theo sơ đồ hình cây.
a) Kí hiệu \(A\) là biến cố: "Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy"; \(B\) là biến cố: "Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy".
Ta vẽ sơ đồ hình cây như sau:
Trên nhánh cây OA và \(O\bar A\) tương ứng ghi \(P(A)\) và \(P(\bar A)\);
Trên nhánh cây AB và \(A\bar B\) tương ứng ghi \(P(B\mid A)\) và \(P(\bar B\mid A)\);
Trên nhánh cây \(\bar AB\) và \(\overline {AB} \) tương ứng ghi \(P(B\mid \bar A)\) và \(P(\bar B\mid \bar A)\).
Có hai nhánh cây đi tới \(B\) là OAB và \(O\bar AB\). Vậy: \(P(B) = 0,4 \cdot 0,3 + 0,6 \cdot 0,4 = 0,36.\)
b) Kí hiệu A là biến cố: "Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy"; B là biến cố: "Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy".
Khi đó, biến cố "Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe buýt" chính là \(\bar B\).
Ta có sơ đồ hình cây mô tả xác suất của biến cố như sau:
Hai nhánh cây đi tới \(\bar B\) là \(OA\bar B\) và \(O\bar A\bar B\).
Như vậy \(P(\bar B) = 0,4 \cdot 0,7 + 0,6 \cdot 0,6 = 0,64\).
Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt trơn và hạt nhăn, có hai gene ứng với hai kiểu hình này là gene trội \(B\) và gene lặn \(b\).
Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một cách độc lập một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. Giả sử cây bố và cây mẹ được chọn ngẫu nhiên từ một quần thể các cây đậu Hà Lan, ở đó tỉ lệ cây mang kiểu gene bb, Bb tương ứng là \(40\% \) và \(60\% \). Tính xác suất để cây con có kiểu gene bb.
Gọi \(A\) là biến cố: "Cây bố có kiểu gene bb";
\(M\) là biến cố: "Cây con lấy gene \(b\) từ cây bố";
\(N\) là biến cố: "Cây con lấy gene \(b\) từ cây mẹ";
\(E\) là biến cố: "Cây con có kiểu gene bb".
Theo giả thiết, \(M\) và \(N\) độc lập nên \(P(E) = P(M) \cdot P(N)\).
Tính \(P(M)\) : Ta áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\(P(M) = P(A) \cdot P(M\mid A) + P(\bar A) \cdot P(M\mid \bar A).\)
Ta có \(P(A) = 0,4;P(\bar A) = 0,6\).
\(P(M\mid A)\) là xác suất để cây con lấy gene b từ cây bố với điều kiện cây bố có kiểu gene bb.
Do đó \(P(M\mid A) = 1\).
\(P(M\mid \bar A)\) là xác suất để cây con lấy gene \(b\) từ cây bố với điều kiện cây bố có kiểu gene Bb .
Do đó \(P(M\mid \bar A) = \frac{1}{2}\).
Thay vào \({\rm{(}}*{\rm{)}}\) ta được: \(P(M) = 0,4 + 0,3 = 0,7\).
Tương tự tính được \(P(N) = 0,7\).
Vậy \(P(E) = P(M) \cdot P(N) = 0,7 \cdot 0,7 = 0,49\).
Từ kết quả trên suy ra trong một quần thể các cây đậu Hà Lan, mà ở đó tỉ lệ cây bố và cây mẹ mang kiểu gene \({\rm{bb}},{\rm{Bb}}\) tương ứng là \(40\% \) và \(60\% \), thì tỉ lệ cây con có kiểu gene bb là khoảng \(49\% \).
Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt trơn và hạt nhẵn, có hai gene ứng với hai kiểu hình này là gene trội B và gene lặn b.
Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một cách độc lập một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. Giả sử cây bố và cây mẹ được chọn ngẫu nhiên từ một quần thể các cây đậu Hà Lan, ở đó tỉ lệ cây mang kiểu gene \({\rm{bb}},{\rm{Bb}}\) tương ứng là \(40\% \) và \(60\% \).
a) Hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene BB.
b) Sử dụng kết quả của vận dụng trên và câu a, hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb .
a) Gọi A là biến cố: "Cây bố có kiểu gene bb";
K là biến cố: "Cây con nhận gene B từ bố";
H là biến cố: "Cây con nhận gene B từ mẹ";
F là biến cố: "Cây con có kiểu gene BB ".
Theo giả thiết, \(K\) và \(H\) độc lập nên \(P(F) = P(K) \cdot P(H)\).
Ta tính \({\rm{P}}({\rm{K}})\) theo công thức xác suất toàn phần:
\({\rm{P}}({\rm{K}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{K}}\mid {\rm{A}}) + {\rm{P}}(\bar A) \cdot {\rm{P}}({\rm{K}}\mid \bar A){\rm{. (1) }}\)
Ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,4;{\rm{P}}(\bar A) = 0,6\).
\({\rm{P}}({\rm{K}}\mid {\rm{A}})\) là xác suất để cây con nhận gene B từ bố với điều kiện bố có kiểu gene bb.
Vậy \(P(K\mid A) = 0\).
\({\rm{P}}({\rm{K}}\mid \bar A)\) là xác suất để cây con nhận gene B từ bố với điều kiện bố có kiểu gene $B b$.
Vậy \({\rm{P}}({\rm{K}}\mid \bar A) = 0,5\).
Thay vào (2) ta được \(P(K) = 0,4 \cdot 0 + 0,6 \cdot 0,5 = 0,3\).
Tương tự tính được \({\rm{P}}({\rm{H}}) = 0,3\).
Vậy \(P(F) = P(K) \cdot P(H) = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09\).
Vậy tỉ lệ cây con có kiểu gene BB là khoảng \(9\% \).
b) Gọi G là biến cố: "Cây con có kiểu gene Bb".
Vì \(\bar G = E \cup F\) và hai biến cố \({\rm{E}},{\rm{F}}\) xung khắc nên
\({\rm{P}}(\bar G) = {\rm{P}}({\rm{E}}) + {\rm{P}}({\rm{F}}) = 0,49 + 0,09 = 0,58\)
Vậy \({\rm{P}}({\rm{G}}) = 1 - {\rm{P}}(\bar G) = 1 - 0,58 = 0,42\).
Vậy tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb là khoảng \(42\% \).
Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí \(X\) với xác suất 0,55 . Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí \(X\) thì nó xuất hiện ở vị trí \(Y\). Để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí \(X\) và \(Y\). Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí \(X\) hoặc \(Y\) thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó.
Xét phương án tác chiến sau: Nếu máy bay xuất hiện tại \(X\) thì bắn 2 quả tên lửa và nếu máy bay xuất hiện tại \(Y\) thì bắn 1 quả tên lửa.
Biết rằng, xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 và các bệ phóng tên lửa hoạt động độc lập. Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa. Tính xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến nêu trên.
Gọi A là biến cố: "Máy bay xuất hiện ở vị trí X";
B là biến cố: "Máy bay bị bắn rơi".
Theo bài ra ta có \(P(A) = 0,55\). Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,55 = 0,45\).
Nếu máy bay xuất hiện tại \(X\) thì có hai quả tên lửa bắn lên.
Khi đó, \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\) là xác suất để máy bay bị bắn rơi khi có hai quả tên lửa bắn lên.
Ta tính xác suất của biến cố đối \(P(\bar B\mid A)\) : "Máy bay không rơi khi có hai quả tên lửa bắn lên". Ta có \(P(\bar B\mid A) = (1 - 0,8) \cdot (1 - 0,8) = {0,2^2} = 0,04\).
Vậy \(P(B\mid A) = 1 - P(\bar B\mid A) = 1 - 0,04 = 0,96\).
\(P(\bar B\mid A)\) : Nếu máy bay xuất hiện tại \(Y\) thì có một quả tên lửa bắn lên. Máy bay rơi khi bị quả tên lửa này bắn trúng. Do đó \(P(B\mid \bar A) = 0,8\).
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = 0,55 \cdot 0,96 + 0,45 \cdot 0,8 = 0,888.{\rm{ }}\)
Vậy xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến nêu trên là 0,888 .
Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng. Trước tiên, từ chuồng II lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ rồi cho vào chuồng I. Sau đó, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ. Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng.
Gọi A là biến cố: "Bắt được thỏ trắng từ chuồng ॥";
B là biến cố: "Sau đó bắt được thỏ trắng từ chuồng I".
Ta cần tính \({\rm{P}}({\rm{B}})\). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: \({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)\)
Vỉ chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng nên ta có: \(P(A) = \frac{3}{{10}}\).
Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{{10}} = \frac{7}{{10}}\).
Nếu A xảy ra tức là bắt được thỏ trắng từ chuồng II rồi cho vào chuồng | thì chuồng I có 5 thỏ đen và 11 thỏ trắng. Do đó, \(P(B\mid A) = \frac{{11}}{{16}}\).
Nếu A không xảy ra thì chuồng I có 6 thỏ đen và 10 thỏ trắng. Do đó, \(P(B\mid \bar A) = \frac{{10}}{{16}}\).
Khi đó, \({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = \frac{3}{{10}} \cdot \frac{{11}}{{16}} + \frac{7}{{10}} \cdot \frac{{10}}{{16}} = \frac{{103}}{{160}}\).
Tại nhà máy X sản xuất linh kiện điện tử tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là \(80\% \). Trước khi xuất xưởng ra thị trường, các linh kiện điện tử đều phải qua khâu kiểm tra chất lượng để đóng dấu OTK. Vì sự kiểm tra không tuyệt đối hoàn hảo nên nếu một linh kiện điện tử đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 0,99 được đóng dấu OTK; nếu một linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 0,95 không được đóng dấu OTK. Chọn ngẫu nhiên một linh kiện điện tử của nhà máy X trên thị trường.
a) Tính xác suất để linh kiện điện tử đó được đóng dấu OTK.
b) Dùng sơ đồ hình cây, hãy mô tả cách tính xác suất để linh kiện điện tử được chọn không được đóng dấu OTK.
a) Gọi A là biến cố: "Linh kiện điện tử được chọn đạt tiêu chuẩn";
B là biến cố: "Linh kiện điện tử được chọn được đóng dấu OTK".
Ta cần tính \({\rm{P}}({\rm{B}})\). Theo công thức xác suất toàn phần ta có: \({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)\)
Theo giá thiết \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,8\). Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2\).
Tính \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\) : Đây là xác suất để linh kiện điện tử đạt tiêu chuẩn được đóng dấu OTK. Theo giả thiết ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,99\).
Tính \(P(B\mid \bar A)\) : Đây là xác suất để linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn được đóng dấu OTK. Theo giả thiết nếu linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn thỉ nó không được đóng dấu OTK với xác suất 0,95 . Vậy nếu linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn thì nó được đóng dấu OTK với xác suất là \(1 - 0,95 = 0,05\). Do đó \(P(B\mid \bar A) = 0,05\).
Khi đó, \({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = 0,8 \cdot 0,99 + 0,2 \cdot 0,05 = \) 0,802 .
Vậy xác suất để linh kiện điện tử đó được đóng dấu OTK là 0,802.
b) Với A là biến cố: "Linh kiện điện tử được chọn đạt tiêu chuẩn";
B là biến cố: "Linh kiện điện tử được chọn được đóng dấu OTK".
Khi đó, \(\bar B\) là biến cố: "Linh kiện điện tử được chọn không được đóng dấu OTK".
Ta vẽ sơ đồ hình cây như sau:
Có hai nhánh cây đi tới \(\bar B\) là \(OA\bar B\) và \(O\bar A\bar B\). Vậy \(P(\bar B) = 0,8 \cdot 0,01 + 0,2 \cdot 0,95 = 0,198\)
Một nhóm có 25 học sinh, trong đó có 14 em học khá môn Toán, 16 em học khá môn Vật lí, 1 em không học khá cả hai môn Toán và môn Vật lí. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó. Tính xác suất để học sinh đó:
a) Học khá môn Toán, đồng thời học khá môn Vật lí;
b) Học khá môn Toán, nhưng không học khá môn Vật lí;
c) Học khá môn Toán, biết rằng học sinh đó học khá môn Vật lí.
Gọi A là biến cố: “Học sinh đó học khá môn Toán";
B là biến cố: “Học sinh đó học khá môn Vật lí".
Từ bài ra ta có \(P(A) = \frac{{14}}{{25}},P(B) = \frac{{16}}{{25}},P(\bar A\bar B) = \frac{1}{{25}}\)
a) Ta cần tính \(P(AB)\). Ta có \(P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)\).
Lại có \(P(A \cup B) = 1 - P(\bar A\bar B) = 1 - \frac{1}{{25}} = \frac{{24}}{{25}}\)
Vậy có \(P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{{14}}{{25}} + \frac{{16}}{{25}} - \frac{{24}}{{25}} = \frac{6}{{25}}\).
b) Cần tính \(P(A\bar B)\). vi AB và \({\rm{A}}\bar B\) là hai biến cố xung khắc và \(A = AB \cup A\bar B\) nên ta có \(P(A) = P(AB) + P(A\bar B)\).
Suy ra \(P(A\bar B) = P(A) - P(AB) = \frac{{14}}{{25}} - \frac{6}{{25}} = \frac{8}{{25}}\)
c) Xác suất để học sinh được chọn học khá môn Toán, biết rằng học sinh đó học khá môn Vật lí chính là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\).
Ta có \(P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{6}{{16}} = \frac{3}{8}\)
Chuồng 1 có 5 con gà mái, 2 con gà trống. Chuồng II có 3 con gà mái, 5 con gà trống. Bác Mai bắt một con gà trong số đó theo cách sau: "Bác tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Nếu số chấm chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng I . Nếu số chấm không chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng II. Sau đó, từ chuồng đã chọn bác bắt ngẫu nhiên một con gà”. Tính xác suất để bác Mai bắt được con gà mái.
Gọi A là biến cố: “Chọn chuồng I";
\(B\) là biến cố: "Bắt được gà mái".
Vi nếu tung xúc xắc mà số chấm xuất hiện chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng I nên ta có \(P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = \frac{2}{3}\).
Từ dữ kiện bài ra, ta suy ra được: \(P(B\mid A) = \frac{5}{7},P(B\mid \bar A) = \frac{3}{8}\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{{41}}{{84}} \approx 0,4881\)
Vậy xác suất để bác Mai bắt được con gà mái là 0,4881 .
Một công ty thời trang có hai chi nhánh cùng sản xuất một loại áo thời trang, trong đó có \(56\% \) áo thời trang ở chi nhánh I và \(44\% \) áo thời trang ở chi nhánh II. Tại chi nhánh I có \(75\% \) áo chất lượng cao và tại chi nhánh II có \(68\% \) áo chất lượng cao (kích thước và hình dạng bề ngoài của các áo là như nhau). Chọn ngẫu nhiên 1 áo thời trang. Xác suất chọn được áo chất lượng cao là bao nhiêu?
Xét các biến cố:
A: "Chọn được áo chất lượng cao";
\(B\) : "Chọn được áo ở chi nhánh I";
\(\bar B:\) Chọn được áo ở chi nhánh \({\rm{I}}{{\rm{I}}^\prime }\).
Từ giả thiết, ta có: \({\rm{P}}(B) = 0,56;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,75;{\rm{P}}(\bar B) = 0,44;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,68.\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,56 \cdot 0,75 + 0,44 \cdot 0,68 = 0,7192.{\rm{ }}\)
Vậy xác suất chọn được áo chất lượng cao là 0,7192 .
Tại một địa phương có 500 người cao tuổi, bao gồm 260 nam và 240 nữ. Trong nhóm người cao tuổi nam và nữ lần lượt có \(40\% \) và \(55\% \) bị bệnh tiểu đường. Chọn ngẫu nhiên một người. Xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là bao nhiêu?
Xét các biến cố:
A: "Chọn được người không bị bệnh tiểu đường";
\(B\) : "Chọn được người cao tuổi là nam";
\(\bar B\) : "Chọn được người cao tuổi là nữ".
Từ giả thiết, ta có: \({\rm{P}}(B) = \frac{{260}}{{500}} = 0,52;{\rm{P}}(A\mid B) = 1 - 0,4 = 0,6\);
\({\rm{P}}(\bar B) = \frac{{240}}{{500}} = 0,48;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 1 - 0,55 = 0,45.{\rm{ }}\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,52 \cdot 0,6 + 0,48 \cdot 0,45 = 0,528.{\rm{ }}\)
Vậy xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là 0,528 .
Có hai hộp bóng bàn, các quả bóng bàn có kích thước và hình dạng như nhau. Hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng. Hộp thứ hai có 6 quả bóng bàn màu trắng và 4 quả bóng bàn màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng bàn ở hộp thứ hai ra. Tính xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai.
Vì hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng nên khi lấy 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất thì có hai khả năng: khả năng thứ nhất là lấy được 3 quả bóng bàn màu trắng và 1 quả bóng bàn màu vàng; khả năng thứ hai là lấy được 2 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng.
Xét các biến cố:
A: "Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai";
\(B\) : "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 1 quả bóng bàn màu vàng"; \(\bar B\) : "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 2 quả bóng bàn màu vàng".
- Xét khả năng thư nhất: Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là \({\rm{C}}_5^4\), có 1 cách lấy 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 cách lấy 1 quả bóng bàn màu vàng, suy ra \({\rm{P}}(B) = \frac{{1 \cdot 2}}{{{\rm{C}}_5^4}} = \frac{2}{5}\). Vì khi đó hộp thứ hai có 9 quả bóng bàn màu trắng và 5 quả bóng bàn màu vàng nên \({\rm{P}}(A\mid B) = \frac{5}{{14}}\).
- Xét khả năng thú hai: Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là \({\rm{C}}_5^4\), có \({\rm{C}}_3^2\) cách lấy 2 quả bóng bàn màu trắng và 1 cách lấy 2 quả bóng bàn màu vàng, suy ra \({\rm{P}}(\bar B) = \frac{{{\rm{C}}_3^2 \cdot 1}}{{{\rm{C}}_5^4}} = \frac{3}{5}\). Vì khi đó hộp thứ hai có 8 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng nên \({\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{6}{{14}}\).
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{{14}} + \frac{3}{5} \cdot \frac{6}{{14}} = \frac{2}{5}.\)
Vậy xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai là \(\frac{2}{5}\).
Trước khi đưa ra thị trường một sản phẩm, công ty phỏng vấn 800 khách hàng và được kết quả là 550 người nói sẽ mua, còn 250 người nói sẽ không mua. Theo kinh nghiệm của nhà sản xuất thì trong những người nói sẽ mua sẽ có \(60\% \) số người chắc chắn mua, còn trong những người nói sẽ không mua lại có \(1\% \) người chắc chắn mua. Chọn ngẫu nhiên một khách hàng. Xác suất chọn được khách hàng chắc chắn mua là bao nhiêu?
Xét các biến cố:
A: "Khách hàng được chọn chắc chắn mua";
\(B\) : "Khách hàng được chọn nói sẽ mua".
Theo giả thiết, ta có:
\({\rm{P}}(B) = \frac{{550}}{{800}} = \frac{{11}}{{16}};{\rm{P}}(\bar B) = \frac{{250}}{{800}} = \frac{5}{{16}};{\rm{P}}(A\mid B) = 0,6;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,01\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B)\)\( = \frac{{11}}{{16}} \cdot 0,6 + \frac{5}{{16}} \cdot 0,01 = \frac{{133}}{{320}}.\)
Vậy xác suất chọn được khách hàng chắc chắn mua là \(\frac{{133}}{{320}}\).
Trong một ngày hội giao lưu học sinh, chỉ có 350 học sinh trường Hoà Bình và 450 học sinh trường Minh Phúc đứng ở hội trường. Trong các học sinh giao lưu, tỉ lệ học sinh trường Hoà Bình bị cận thị là 0,2 , còn tỉ lệ học sinh trường Minh Phúc bị cận thị là 0,3 . Các học sinh của hai trường đứng lẫn với nhau. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xác suất chọn được học sinh bị cận thị là bao nhiêu?
Xét các biến cố:
A: "Học sinh được chọn bị cận thị";
B: "Học sinh được chọn thuộc trường Hoà Bình".
Theo giả thiết, ta có:
\({\rm{P}}(B) = \frac{{350}}{{800}} = \frac{7}{{16}};{\rm{P}}(\bar B) = \frac{{450}}{{800}} = \frac{9}{{16}};{\rm{P}}(A\mid B) = 0,2;{\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,3.{\rm{ }}\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B)\)\( = \frac{7}{{16}} \cdot 0,2 + \frac{9}{{16}} \cdot 0,3 = \frac{{41}}{{160}}.\)
Vậy xác suất chọn được học sinh bị cận thị là \(\frac{{41}}{{160}}\).
Trên bàn có hai hộp bi với hình dạng và kích thước như nhau. Hộp thứ nhất có 6 viên bi đỏ, 7 viên bi vàng; còn hộp thứ hai có 10 viên bi đỏ, 11 viên bi vàng. Các viên bi có hình dạng và kích thước như nhau. Chọn ngẫu nhiên một hộp bi và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất để viên bi được lấy có màu đỏ.
Xét các biến cố:
A: "Lấy được viên bi màu đỏ";
B: "Chọn được hộp bi thứ nhất".
Theo giả thiết, ta có: \({\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar B) = \frac{1}{2};{\rm{P}}(A\mid B) = \frac{6}{{13}};{\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{{10}}{{21}}.\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{13}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{10}}{{21}} = \frac{{128}}{{273}}.\)
Vậy xác suất để viên bi được lấy có màu đỏ là \(\frac{{128}}{{273}}\).
Huy thực hiện liên tiếp hai thí nghiệm. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,6 . Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,8 . Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,3 . Tính xác suất của các biến cố:
A: "Cả hai thí nghiệm đều thành công";
B: "Thí nghiệm thứ nhất không thành công, còn thí nghiệm thứ hai thành công";
\(C\) : "Thí nghiệm thứ hai thành công".
Xét biến cố \(M\) : "Thí nghiệm thứ nhất thành công".
Khi đó, \({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(M \cap C);{\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar M \cap C)\).
Theo giả thiết, ta có: \({\rm{P}}(M) = 0,6;{\rm{P}}(\bar M) = 0,4;{\rm{P}}(C\mid M) = 0,8;{\rm{P}}(C\mid \bar M) = 0,3\).
Suy ra xác suất của biến cố \(A\) là:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(M \cap C) = {\rm{P}}(M) \cdot {\rm{P}}(C\mid M) = 0,6 \cdot 0,8 = 0,48;\)
Xác suất của biến cố \(B\) là: \({\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar M \cap C) = {\rm{P}}(\bar M) \cdot {\rm{P}}(C\mid \bar M) = 0,4 \cdot 0,3 = 0,12.\)
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố \(C\) là:
\({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(M \cap C) + {\rm{P}}(\bar M \cap C) = 0,48 + 0,12 = 0,6.\)
Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra 1600 sản phẩm, trong đó có 35 sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên 2 sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của các biến cố:
A: "Sản phẩm lấy ra lần thứ hai không bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi";
B: "Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi";
C: "Sản phẩm lấy ra lần thứ hai không bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi”;
\(D\) : "Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi";
E: "Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi".
Xét các biến cố:
M: "Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi";
\(N\) : "Sản phẩm lấy ra lần thứ hai không bị lỗi".
Khi đó, ; \({\rm{P}}(E) = {\rm{P}}(\bar N)\).
- Sau khi lấy một sản phẩm không bị lỗi thì số sản phẩm còn lại 1599 , số sản phẩm lỗi là 35 nên xác suất của biến cố \(A\) là:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(N\mid M) = \frac{{1599 - 35}}{{1599}} = \frac{{1564}}{{1599}};\)
Xác suất của biến cố \(B\) là: \({\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar N\mid M) = \frac{{35}}{{1599}}\).
- Sau khi lấy một sản phẩm bị lỗi thì số sản phẩm còn lại 1599 , số sản phẩm lỗi là 34 nên xác suất của biến cố \(C\) là: \({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(N\mid \bar M) = \frac{{1599 - 34}}{{1599}} = \frac{{1565}}{{1599}};\)
xác suất của biến cố \(D\) là: \({\rm{P}}(D) = {\rm{P}}(\bar N\mid \bar M) = \frac{{34}}{{1599}}.\)
- Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố \(E\) là:
\({\rm{P}}(E) = {\rm{P}}(\bar N) = {\rm{P}}(M) \cdot {\rm{P}}(\bar N\mid M) + P(\bar M) \cdot {\rm{P}}(\bar N\mid \bar M)\)\( = \frac{{1600 - 35}}{{1600}} \cdot \frac{{35}}{{1599}} + \frac{{35}}{{1600}} \cdot \frac{{34}}{{1599}} = \frac{7}{{320}}.\)
Một đội tuyển thi bắn súng có 10 xạ thủ, bao gồm 4 xạ thủ hạng I và 6 xạ thủ hạng II. Xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ hạng I và hạng II lần lượt là 0,75 và 0,6 . Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ đó chỉ bắn 1 viên đạn. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất để viên đạn đó trúng mục tiêu.
Xét các biến cố:
A: "Chọn được xạ thủ hạng I";
\(B\) : "Viên đạn đó trúng mục tiêu".
Khi đó, \({\rm{P}}(A) = \frac{4}{{10}} = 0,4;{\rm{P}}(\bar A) = \frac{6}{{10}} = 0,6;{\rm{P}}(B\mid A) = 0,75;{\rm{P}}(B\mid \bar A) = 0,6\).
Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A) + {\rm{P}}(\bar A) \cdot {\rm{P}}(B\mid \bar A) = 0,4 \cdot 0,75 + 0,6 \cdot 0,6 = 0,66.{\rm{ }}\)
Vậy xác suất để viên đạn đó trúng mục tiêu là 0,66 .
