38 bài tập Tính xác suất bằng cách sử dụng công thức Bayes (có lời giải)
38 câu hỏi
Khảo sát thị lực của 100 học sinh, ta thu được bảng số liệu sau:
Chọn ngã̃u nhiên 1 bạn trong 100 học sinh trên.
a) Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ, tính xác suắt bạn đó là học sinh nam.
b) Biết rằng bạn đó là học sinh nam, tính xác suắt bạn đó có tật khúc xạ.
Gọi A là biến cố "Học sinh đó có tật khúc xạ" và B là biến cố "Học sinh đó là học sinh nam".
a) Ta có \(P(B\mid A) = \frac{{18}}{{12 + 18}} = \frac{3}{5}\).
b) Ta có \(P(A\mid B) = \frac{{18}}{{18 + 32}} = \frac{9}{{25}}\).
Một nhà máy có hai phân xường I và II. Phân xường I sản xuất \(40\% \) số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất \(60\% \) số sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là \(2\% \) và của phân xưởng II là \(1\% \). Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.
a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.
b) Biết rằng sản phẩm được kiểm tra bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?
a) Gọi \(A\) là biến cố "Sản phẩm được kiểm tra bị lỗi" và \(B\) là biến cố "Sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất".
Do phân xưởng I sản xuất \(40\% \) số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất \(60\% \) số sản phẩm nên
\(P(B) = 0,4{\rm{ và }}P(\bar B) = 1 - 0,4 = 0,6.{\rm{ }}\)
Do tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là \(2\% \) và của phân xưởng II là \(1\% \) nên
\(P(A\mid B) = 0,02{\rm{ và }}P(A\mid \bar B) = 0,01.{\rm{ }}\)
Xác suất để sản phẩm được kiểm tra bị lỗi là
\(P(A) = P(B)P(A\mid B) + P(\bar B)P(A\mid \bar B) = 0,4.0,02 + 0,6.0,01 = 0,014.\)
b) Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sàn xuất là
\(P(B\mid A) = \frac{{P(B)P(A\mid B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,02}}{{0,014}} = \frac{4}{7}.\)
Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là
\(P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = \frac{3}{7}.\)
Vậy nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất cao hơn xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.
Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quá dương tính với \(76,2\% \) các ca thực sự nhiểm virus và kết quả âm tích với \(99,1\% \) các ca thực sự không nhiểm virus (nguồn: https://tapchiyhocvietnam.vn/index.php/vmj/article/view/2124/1921). Giả sử tỉ lệ người nhiểm virus SARS-CoV-2 trong một cộng đồng là \(1\% \). Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận kết quả dương tính. Hói khả năng người đó thực sự nhiễm virus là cao hay thấp?
Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:
Gọi A là biến cố "Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính" và B là biến cố "Người làm xét nghiệm thực sự nhiêm vi rút".
Ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,762;P(\bar A\mid \bar B) = 0,991;{\rm{P}}({\rm{B}}) = 0,01\).
Suy ra \(P(A\mid \bar B) = 1 - P(\bar A\mid \bar B) = 0,009,P(\bar B) = 1 - P(B) = 0,99\)
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P(A) = P(B) \cdot P(A\mid B) + P(\bar B) \cdot P(A\mid \bar B) = 0,01 \cdot 0,762 + 0,99 \cdot 0,009 = 0,01653.\)
Xác suất một người thực sự nhiễm virus khi người đó có kết quá xét nghiệm dương tính là \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\).
Ta có \(P(B\mid A) = \frac{{P(B) \cdot P(A\mid B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,01.0,762}}{{0,01653}} \approx 0,461\)
Vậy khả năng thực sự người đó nhiễm virus là \(46,1\% \).
Khi phát hiện một vật thể bay, xác suất một hệ thống radar phát cảnh báo là 0,9 nếu vật thể bay đó là mục tiêu thật và là 0,05 nếu đó là mục tiêu giả. Có \(99\% \) các vật thể bay là mục tiêu giả. Biết rằng hệ thống radar đang phát cảnh báo khi phát hiện một vật thể bay. Tính xác suất vật thể đó là mục tiêu thật.
Gọi A là biến cố "Hệ thống radar phát cảnh báo" và B là biến cố "Vật thế bay đó là mục tiêu thật". Theo đề ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,9;P(A\mid \bar B) = 0,05;P(\bar B) = 0,99\).
Suy ra \(P(B) = 1 - P(\bar B) = 0,01\).
Ta có \(P(A) = P(B) \cdot P(A\mid B) + P(\bar B) \cdot P(A\mid \bar B) = 0,01.0,9 + 0,99 \cdot 0,05 = 0,0585\).
Ta cằn tính \(P(B\mid A) = \frac{{P(B) \cdot P(A\mid B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,01.0,9}}{{0,0585}} = \frac{2}{{13}}\).
Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có \(2\% \) tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Trong các vụ tai nạn ở địa phương đó, người ta nhận thấy có \(10\% \) là do tài xế có sử dụng điện thoại khi lái xe gây ra. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?
Gọi A là biến cố "Tài xế gây tai nạn" và B là biến cố "Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe".
Theo đề ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}) = 0,02;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,1\).
Suy ra \(P(\bar B) = 1 - P(B) = 0,98;P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 0,9\).
Cần tính \(P(A\mid B) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(B)}}\).
Có \(P(A) = P(B) \cdot P(A\mid B) + P(\bar B) \cdot P(A\mid \bar B) = 0,02 \cdot x + 0,98 \cdot y\)
(đặt \(P(A\mid B) = x;P(A\mid \bar B) = y\) ).
Có \(P(B\mid A) = \frac{{P(B) \cdot P(A\mid B)}}{{P(A)}} \Leftrightarrow 0,1 = \frac{{0,02 \cdot x}}{{0,02x + 0,98y}} \Leftrightarrow 0,02x + 0,98y = 0,2.x\) \( \Rightarrow > y = \frac{9}{{49}}x\).
Ta có \(\frac{{P(A\mid B)}}{{P(A\mid \bar B)}} = \frac{x}{y} = \frac{x}{{\frac{9}{{49}}x}} = \frac{{49}}{9} \approx 5,44\).
Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên 5,44 lần.
Cho hai biến cố \(A\), \(B\) sao cho \({\rm{P}}(A) = 0,6\); \({\rm{P}}(B) = 0,4;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,3\). Tính \({\rm{P}}(B\mid A)\).
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
\({\rm{P}}(B\mid A) = \frac{{{\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B)}}{{{\rm{P}}(A)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,3}}{{0,6}} = 0,2.\)
Cho hai biến cố \(A\), \(B\) sao cho \({\rm{P}}(A) = 0,4\); \({\rm{P}}(B) = 0,8;{\rm{P}}(B\mid A) = 0,3\). Tính \({\rm{P}}(A\mid B)\).
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(B)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,3}}{{0,8}} = 0,15\)
Cho hai biến cố \(A\), \(B\) với \({\rm{P}}(B) = 0,6;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,7\) và \({\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,4\). Tính \({\rm{P}}(A)\).
Ta có \(P(B) = 0,6\). Suy ra \(P(\bar B) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,6 \cdot 0,7 + 0,4 \cdot 0,4 = 0,58.{\rm{ }}\)
Cho hai biến cố xung khắc \(A\), \(B\) với \({\rm{P}}(A) = 0,2;{\rm{P}}(B) = 0,4\). Tính \({\rm{P}}(A\mid B)\).
Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên \({\rm{A}} \cap {\rm{B}} = \emptyset \), do đó \({\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) = 0\). Khi đó, \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{0}{{0,4}} = 0\)
Có hai chiếc hộp, hộp I chứa 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II chứa 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II . Sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II.
a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng.
b) Giả sử viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng. Tính xác suất để viên bi màu trắng đó thuộc hộp I .
a) Xét các biến cố:
A: "Lấy được viên bi màu trắng từ hộp II ";
\(B\) : "Lấy được viên bi màu trắng từ hộp I bỏ sang hộp II";
\(\bar B\) : "Lấy được viên bi màu đen từ hộp I bỏ sang hộp II".
Theo giả thiết ta có: \({\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2};{\rm{P}}(A\mid B) = \frac{7}{{11}};{\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{6}{{11}}.\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}.\)
Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng là \(\frac{{13}}{{22}}\).
b) Gọi \(N\) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi thuộc hộp I ". Khi đó ta cần tính \({\rm{P}}(N\mid A)\).
Ta có: \({\rm{P}}(N) = \frac{1}{{11}};{\rm{P}}(A) = \frac{{13}}{{22}}\). Để tính \({\rm{P}}(A\mid N)\), hay xác suất để lấy được viên bi màu trắng từ hộp II , biết rằng viên bi đó thuộc hộp I , ta xét các trường hợp sau:
- Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu đen. Khi đó xác suất lấy được viên bi trắng thuộc hộp I bằng 0 .
- Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu trắng. Khi đó xác suất lấy được viên bi màu trắng thuộc hộp I bằng \({\rm{P}}(B) = \frac{1}{2}\).
Do đó, \({\rm{P}}(A\mid N) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Theo công thức Bayes, ta có:
\({\rm{P}}(N\mid A) = \frac{{{\rm{P}}(A\mid N) \cdot {\rm{P}}(N)}}{{{\rm{P}}(A)}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{11}}}}{{\frac{{13}}{{22}}}} = \frac{1}{{13}}.\)
Vậy xác suất viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi thuộc hộp I , biết rằng viên bi đó màu trắng, là \(\frac{1}{{13}}\).
Một loại linh kiện do hai nhà máy I, II cùng sản xuất. Tî lệ phế phẩm của các nhà máy \({\rm{I}},{\rm{II}}\) lần lượt là: 0,04 ; 0,03. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy I và 120 sản phẩm của nhà máy II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó.
a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra không phải là phế phẩm.
b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Hỏi xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao hơn?
a) Xét các biến cố:
A: "Linh kiện được lấy ra không phải là phế phẩm";
M: "Linh kiện được lấy ra do nhà máy I sån xuất";
\(\bar M\) : "Linh kiện được lấy ra do nhà máy II sản xuất".
Theo giả thiết, ta có:
\({\rm{P}}(M) = \frac{{80}}{{200}} = 0,4;{\rm{P}}(\bar M) = \frac{{120}}{{200}} = 0,6;{\rm{P}}(\bar A\mid M) = 0,04;{\rm{P}}(\bar A\mid \bar M) = 0,03;\)
\({\rm{P}}(A\mid M) = 1 - 0,04 = 0,96;{\rm{P}}(A\mid \bar M) = 1 - 0,03 = 0,97.\)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(M) \cdot {\rm{P}}(A\mid M) + {\rm{P}}(\bar M) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar M) = 0,4 \cdot 0,96 + 0,6 \cdot 0,97 = 0,966.{\rm{ }}\)
Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra không phải là phế phẩm là 0,966 .
b) Xác suất linh kiện phế phẩm được lấy ra do nhà máy I sản xuất là:
\({\rm{P}}(M\mid \bar A) = \frac{{{\rm{P}}(M) \cdot {\rm{P}}(\bar A\mid M)}}{{{\rm{P}}(\bar A)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,04}}{{1 - 0,966}} = \frac{8}{{17}}.\)
Xác suất linh kiện phế phẩm được lấy ra do nhà máy II sản xuất là:
\({\rm{P}}(\bar M\mid \bar A) = \frac{{{\rm{P}}(\bar M) \cdot {\rm{P}}(\bar A\mid \bar M)}}{{{\rm{P}}(\bar A)}} = \frac{{0,6 \cdot 0,03}}{{1 - 0,966}} = \frac{9}{{17}}.\)
Vậy xác suất linh kiện phế phẩm được lấy ra do nhà máy II sản xuất là cao hơn.
Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác \(100\% \). Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A , cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm \({\rm{Al\`a }}70\% \), còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là \(10\% \). Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1000000 con (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics - Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?
Xét các biến cố:
M: "Con bò ở Hà Lan bị bệnh bò điên";
D: "Con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A ".
Theo giả thiết, ta có: \({\rm{P}}(M) = 0,000013;{\rm{P}}(D\mid M) = 0,7;{\rm{P}}(D\mid \bar M) = 0,1\).
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}(D) = {\rm{P}}(M) \cdot {\rm{P}}(D\mid M) + {\rm{P}}(\bar M) \cdot {\rm{P}}(D\mid \bar M) = 0,000013 \cdot 0,7 + (1 - 0,000013) \cdot 0,1\)\( = 0,1000078.\)
Theo công thức Bayes, ta có: \(P(M\mid D) = \frac{{{\rm{P}}(M) \cdot {\rm{P}}(D\mid M)}}{{{\rm{P}}(D)}} = \frac{{0,000013 \cdot 0,7}}{{0,1000078}} = \frac{{91}}{{1000078}}.\)
Vậy xác suất để một con bò Hà Lan bị bệnh bò điên nếu nó phản ứng dương tính với xét nghiệm A là \(\frac{{91}}{{1000078}}\).
Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thược và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II.
a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng.
b) Giả sử viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I.
a) Xét hai biến cố:
A: “Viên bi được lấy ra từ hộp I bỏ sang hộp II là màu trắng";
B: "Viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng".
Theo bài ra ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2};{\rm{P}}(\bar A) = 1 - {\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{1}{2}\). \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = \frac{7}{{11}};P(B\mid \bar A) = \frac{6}{{11}}{\rm{. }}\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) + {\rm{P}}(\bar A) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}.\)
Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng là \(\frac{{13}}{{22}}\).
b) Nếu viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng thì xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I là: \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}}}}{{\frac{{13}}{{22}}}} = \frac{7}{{13}}\).
Vậy nếu viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng thì xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I là \(\frac{7}{{13}}\)
Một loại linh kiện do hai nhà máy số I , số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy \({\rm{I}},{\rm{II}}\) lần lượt là: \(4\% ;3\% \). Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó.
a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt.
b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?
a) Xét hai biến cố:
A: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện tốt”;
B: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng do nhà máy I sản xuất".
Vi lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II nên \(P(B) = \frac{{80}}{{80 + 120}} = 0,4\), suy ra \(P(\bar B) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Vì tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: \(4\% ;3\% \) nên tỉ lệ thành phẩm (linh kiện tốt) của các nhà máy I, II lần lượt là \(96\% ;97\% \).
Do đó \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,96\) và \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,97\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt là:
\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,4 \cdot 0,96 + 0,6 \cdot 0,97 = 0,966.\)
b) Xét biến cố C: "Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện phế phẩm".
Khi đó, ta có \({\rm{C}} = \bar A\). Suy ra \({\rm{P}}({\rm{C}}) = {\rm{P}}(\bar A) = 1 - {\rm{P}}({\rm{A}}) = 1 - 0,966 = 0,034\).
Theo bài ra ta có: \(P(C\mid B) = 4\% = 0,04\).
Do đó, nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy I sản xuất là: \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{C}}) = \frac{{P(B) \cdot P(C\mid B)}}{{P(C)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,04}}{{0,034}} = \frac{8}{{17}}\).
Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là: \({\rm{P}}(\bar B\mid {\rm{C}}) = 1 - {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{C}}) = 1 - \frac{8}{{17}} = \frac{9}{{17}}\).
Vi \(\frac{9}{{17}} > \frac{8}{{17}}\) nên nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.
Kết quả khảo sát tại một xã cho thấy có \(20\% \) cư dân hút thuốc lá. Tỉ lệ cư dân thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp trong số những người hút thuốc lá và không hút thuốc lá lần lượt là \(70\% ,15\% \).
a) Nếu ta gặp một cư dân của xã thì xác suất người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp là bao nhiêu?
b) Nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ vể đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là bao nhiêu?
Giả sử ta gặp một cư dân của xã, gọi \(A\) là biến cố "Người đó có hút thuốc lá" và \(B\) là biến cố "Người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp". Ta có sơ đồ hình cây sau:
a) Ta có: \(P(B) = P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = 0,14 + 0,12 = 0,26\).
Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thì xác suất người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp là \(26\% \).
b) Theo công thức Bayes, ta có: \(P(A\mid B) = \frac{{P(A)P(B\mid A)}}{{P(B)}} = \frac{{0,14}}{{0,26}} \approx 0,54\).
Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn để sức khoẻ về đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là khoảng \(54\% \).
Giả sử trong một nhóm 80 người có 69 người không nhiễm bệnh và 11 người nhiễm bệnh. Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm đó. Biết rằng đối với người nhiễm bệnh, xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là 0,9 ; còn đối với người không nhiễm bệnh, xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là 0,05 .
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.
b) Giả sử X là một người trong nhóm bị xét nghiệm có kết quả dương tính. Tính xác suất để X là người nhiễm bệnh.
a) Xét các biến cố:
A: "Người được chọn nhiễm bệnh";
\(B\) : "Người được chọn xét nghiệm có kết quả dương tính".
Khi đó, \({\rm{P}}(A) = \frac{{11}}{{80}};{\rm{P}}(\bar A) = \frac{{69}}{{80}};{\rm{P}}(B\mid A) = 0,9;{\rm{P}}(B\mid \bar A) = 0,05\).
Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:
b) Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất người X xét nghiệm có kết quả dương tính là:
\({\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A) + {\rm{P}}(\bar A) \cdot {\rm{P}}(B\mid \bar A) = \frac{{11}}{{80}} \cdot 0,9 + \frac{{69}}{{80}} \cdot 0,05 = \frac{{267}}{{1600}}.\)
Theo công thức Bayes, ta có:
\({\rm{P}}(A\mid B) = \frac{{{\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A)}}{{{\rm{P}}(B)}} = \frac{{\frac{{11}}{{80}} \cdot 0,9}}{{\frac{{267}}{{1600}}}} = \frac{{66}}{{89}}.\)
Vậy xác suất để X là người nhiễm bệnh, biết rằng X có kết quả xét nghiệm dương tính, là \(\frac{{66}}{{89}}\).
Một chiếc hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, trong đó có 2 chiếc thẻ màu xanh và 18 chiếc thẻ màu trắng. Bạn Châu rút thẻ hai lần một cách ngẫu nhiên, mỗi lần rút một thẻ và thẻ được rút ra không bỏ lại hộp. Tính xác suất để cả hai lần bạn Châu đều rút được thẻ màu xanh. Năm 2001 , Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác \(100\% \). Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A , cho kết quả như sau: khi con bò bị bệnh bò điền thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là \(70\% \), còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là \(10\% \). Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1000000 con (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?
Xét hai biến cố:
A: "Con bò được chọn ra không bị mắc bệnh bò điên".
B: "Con bò được chọn ra có phản ứng dương tính".
Vỉ tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1000000 con nên tỉ lệ bò mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là \({\rm{P}}(\bar A) = 0,000013\).
Suy ra \(P(A) = 1 - 0,000013 = 0,999987\).
Trong số những con bò không bị mắc bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là \(10\% \), suy ra \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,1\).
Khi con bò mắc bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là \(70\% \) nên \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A) = 0,7\).
Ta thấy xác suất mắc bệnh bò điên của một con bò ở Hà Lan xét nghiệm có phản ứng dương tính với xét nghiệm A chính là \({\rm{P}}(\bar A\mid {\rm{B}})\). Áp dụng công thức Bayes, ta có:
\(P(\bar A\mid B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}{{P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) + P(A) \cdot P(B\mid A)}}\)
\( = \frac{{0,000013 \cdot 0,7}}{{0,000013 \cdot 0,7 + 0,999987 \cdot 0,1}} \approx 0,000091.\)
Vậy khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là 0,000091 .
Một cửa hàng kinh doanh tổ chức rút thăm trúng thưởng cho hai loại sản phẩm. Tỉ lệ trúng thưởng của các loại sản phẩm \({\rm{I}},{\rm{II}}\) lần lượt là: \(6\% ;4\% \). Trong một hộp kín gồm các thăm cùng loại, người ta để lẫn lộn 200 chiếc thăm cho sản phẩm loại I và 300 chiếc thăm cho sản phẩm loại II . Một khách hàng lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thăm từ chiếc hộp đó.
a) Tính xác suất để chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng.
b) Giả sử chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng. Xác suất chiếc thăm đó thuộc loại sản phẩm nào là cao nhất?
a) Xét hai biến cố:
A: "Chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng";
B: "Chiếc thăm được lấy ra là chiếc thăm cho sản phẩm loại l".
Vi người ta để lẫn lộn 200 chiếc thăm cho sản phẩm loại I và 300 chiếc thăm cho sản phẩm loại Il nên \({\rm{P}}({\rm{B}}) = \frac{{200}}{{200 + 300}} = 0,4\) và \({\rm{P}}(\bar B) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Do tỉ lệ trúng thưởng của các loại sản phẩm I, II lần lượt là: \(6\% \); \(4\% \) nên
\({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0,06{\rm{ và P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,04.{\rm{ }}\)
Xác suất để chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng là:
\({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = 0,4 \cdot 0,06 + 0,6 \cdot 0,04 = 0,048.\)
b) Nếu chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng thì xác suất chiếc thăm đó thuộc loại sản phẩm loại I là: \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = \frac{{P(B) \cdot P(A\mid B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,06}}{{0,048}} = 0,5\).
Nếu chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng thì xác suất chiếc thăm đó thuộc loại sản phẩm loại II là: \({\rm{P}}(\bar B\mid {\rm{A}}) = 1 - {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 1 - 0,5 = 0,5\).
Vậy nếu chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng thì xác suất chiếc thăm đó thuộc hai loại sản phẩm I và II là như nhau.
Một xạ thủ bắn vào bia số 1 và bia số 2 . Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng bia số 1 , bia số 2 lần lượt là 0,8 ; 0,9. Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng cả hai bia là 0,8 . Xét hai biến cố sau:
A: "Xạ thủ đó bắn trúng bia số 1";
B: "Xạ thủ đó bắn trúng bia số 2".
a) Hai biến cố \(A\) và \(B\) có độc lập hay không?
b) Biết xạ thủ đó bắn trúng bia số 1 , tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 .
c) Biết xạ thủ đó không bắn trúng bia số 1, tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 .
a) Theo bài ra ta có: \(P(A) = 0,8;P(B) = 0,9;P(A \cap B) = 0,8\).
Vi \(P(A) \cdot P(B) = 0,8 \cdot 0,9 = 0,72 \ne 0,8 = P(A \cap B)\) nên hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.
b) Ta có xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 , biết xạ thủ bắn trúng bia số 1 chính là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\).
Khi đó, \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,8}}{{0,8}} = 1\).
Vậy nếu biết xạ thủ đó bắn trúng bia số 1 thì xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 là 1 .
c) Ta có xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 , biết xạ thủ không bắn trúng bia số 1 chính là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A)\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) + {\rm{P}}(\bar A) \cdot {\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A).\)
Suy ra \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A) = \frac{{P(B) - P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(\bar A)}} = \frac{{0,9 - 0,8 \cdot 1}}{{1 - 0,8}} = 0,5\).
Vậy nếu biết xạ thủ đó không bắn trúng bia số 1 thì xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 là 0,5 .
Một chiếc hộp có 40 viên bi, trong đó có 12 viên bi màu đỏ và 28 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân lấy ngẫu nhiên viên bi từ chiếc hộp đó hai lần, mỗi lần lấy ra một viên bi và viên bi được lấy ra không bỏ lại hộp. Tính xác suất để cả hai lần bạn Ngân đều lấy ra được viên bi màu vàng.
Xét hai biến cố:
A: "Bạn Ngân lấy được viên bi màu vàng ở lần lấy thứ nhất";
B: "Bạn Ngân lấy được viên bi màu vàng ở lần lấy thứ hai".
Khi đó, xác suất để cả hai lần bạn Ngân đều lấy ra được viên bi màu vàng chính là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\).
Lấy một viên bi lần thứ nhất có 40 cách chọn, viên bi được lấy ra không bỏ lại hộp nên lấy một viên bi lần thứ hai có 39 cách chọn. Do đó \(n(\Omega ) = 40 \cdot 39\).
Bạn Ngân lấy được viên bi màu vàng ở lần lấy thứ nhất thì có 28 cách chọn, ở lần lấy thứ hai có 39 cách chọn. Do đó, \({\rm{n}}({\rm{A}}) = 28 \cdot 39\).
Bạn Ngân lấy được viên bi màu vàng ở lần lấy thứ nhất thì có 28 cách chọn, lấy ra viên bi màu vàng ở lần lấy thứ hai có 27 cách chọn. Do đó, \({\rm{n}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) = 28\) . 27.
Khi đó, \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(A)}} = \frac{{28 \cdot 27}}{{28 \cdot 39}} = \frac{{27}}{{39}} = \frac{9}{{13}}\).
Vậy xác suất để cả hai lần bạn Ngân đều lấy ra được viên bi màu vàng là \(\frac{9}{{13}}\)
Giả sử trong một nhóm người có 2 người nhiễm bệnh, 58 người còn lại là không nhiễm bệnh. Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm đó. Biết rằng đối với người nhiễm bệnh, xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là \(85\% \), nhưng đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất để bị xét nghiệm có phản ứng dương tính là \(7\% \).
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.
b) Giả sử X là một người trong nhóm bị xét nghiệm có kết quả dương tính. Tính xác suất để X là người nhiễm bệnh.
a) Xét hai biến cố:
A: "Người được chọn ra không nhiễm bệnh";
B: “Người được chọn ra có phản ứng dương tính".
Vì trong một nhóm người có 2 người nhiễm bệnh, 58 người còn lại là không nhiễm bệnh nên \({\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{{58}}{{2 + 58}} = \frac{{29}}{{30}}\) và \({\rm{P}}(\bar A) = \frac{1}{{30}}\).
Do đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là \(7\% \) nên \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 7\% = 0,07\).
Vi đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là \(85\% \) nên \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A) = 85\% = 0,85\).
Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho như sau:
b) Ta thấy xác suất nhiễm bệnh của \(X\) khi \(X\) là một người trong nhóm bị xét nghiệm có kết quả dương tính chính là \({\rm{P}}(\bar A\mid B)\). Áp dụng công thức Bayes, ta có:
\({\rm{P}}(\bar A\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}{{P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) + P(A) \cdot P(B\mid A)}} = \frac{{\frac{1}{{30}} \cdot 0,85}}{{\frac{1}{{30}} \cdot 0,85 + \frac{{29}}{{30}} \cdot 0,07}} = \frac{{85}}{{288}} \approx 0,295.\)
Vậy xác suất để X là người nhiễm bệnh là 0,295 .
Giả sử có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là \(0,1\% \). Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính, nhưng tỉ lệ phản ứng dương tính giả là \(5\% \) (tức là trong số những người không bị bệnh có \(5\% \) số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính).
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.
b) Khi một người xét nghiệm có phản ứng dưởg tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
a) Xét hai biến cố: \(K\) : "Người được chọn ra không mắc bệnh";
\(D\) : "Người được chọn ra có phản ứng dương tính".
Do tỉ lệ người mắc bệnh là \(0,1\% = 0,001\) nên \({\rm{P}}(K) = 1 - 0,001 = 0,999\).
Trong số những người không mắc bệnh có \(5\% \) số người có phản ứng dương tính nên \({\rm{P}}(D\mid K) = 5\% = 0,05\). Vì ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính nên \({\rm{P}}(D\mid \bar K) = 1\).
Sơ đồ hình cây ở Hình 3 biểu thi tình huống đã cho.
b) Ta thấy: Khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính chính là \({\rm{P}}(\bar K\mid D)\). Áp dụng công thức Bayes, ta có:
\({\rm{P}}(\bar K\mid D) = \frac{{{\rm{P}}(\bar K) \cdot {\rm{P}}(D\mid \bar K)}}{{{\rm{P}}(\bar K) \cdot {\rm{P}}(D\mid \bar K) + {\rm{P}}(K) \cdot {\rm{P}}(D\mid K)}} = \frac{{0,001}}{{0,001 + 0,999 \cdot 0,05}} \approx 1,96\% .\)
Vậy xác suất mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là \(1,96\% \).
Được biết có \(5\% \) đàn ông bị mù màu, và \(0,25\% \) phụ nữ bị mù màu (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics - Understanding why and how, Springer, 2005). Giả sử số đàn ông bằng số phụ nữ. Chọn một người bị mù màu một cách ngẫu nhiên. Hỏi xác suất để người đó là đàn ông là bao nhiêu?
Xét hai biến cố:
A: "Người được chọn là đàn ông";
B: "Người được chọn bị mù màu".
Theo bài ra ta có: \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,05;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A) = 0,0025\).
Vi số đàn ông bằng số phụ nữ nên ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,5\) và \({\rm{P}}(\bar A) = 1 - 0,5 = 0,5\).
Áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất để một người mù màu được chọn là đàn ông là: \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}} = \frac{{0,5 \cdot 0,05}}{{0,5 \cdot 0,05 + 0,5 \cdot 0,0025}} \approx 0,9524\).
Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ hai.
a) Tính xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ.
b) Biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ.
a) Gọi A là biến cố "Lấy được 1 viên bi màu xanh ở hộp thứ nhất" và B là biến cố "Lấy được 2 viên bi màu đỏ ở hộp thứ hai".
Khi đó ta có \(P(A) = \frac{3}{9};P(B\mid A) = \frac{{C_7^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{21}}{{55}}\).
Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = \frac{2}{3};P(B\mid \bar A) = \frac{{C_8^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{28}}{{55}}\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\(P(B) = P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = \frac{3}{9} \cdot \frac{{21}}{{55}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{{28}}{{55}} = \frac{7}{{15}}.\)
b) Ta cần tính \(P(\bar A\mid B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{28}}{{55}}}}{{\frac{7}{{15}}}} = \frac{8}{{11}}\).
Trong một trường học, tì lệ học sinh nữ là \(52\% \). Tì lệ học sinh nữ và tì lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là \(18\% \) và \(15\% \). Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường.
a) Tính xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật.
b) Biết rằng học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Tính xác suất học sinh đó là nam.
Gọi A là biến cố "Học sinh được chọn là học sinh nữ" và B là biến cố “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ nghệ thuật".
Ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,52;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,18;P(B\mid \bar A) = 0,15\)
Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 0,48\).
a) \(P(B) = P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = 0,52 \cdot 0,18 + 0,48 \cdot 0,15 = \) 0,1656 .
b) Cần tính \(P(\bar A\mid B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}{{P(B)}} = \frac{{0,48 \cdot 0,15}}{{0,1656}} = \frac{{10}}{{23}}\)
Tỉ lệ người dân đã tiêm vắc xin phòng bệnh A ở một địa phương là \(65\% \). Trong số những người đã tiêm phòng, tì lệ mắc bệnh A là \(5\% \); trong số những người chưa tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là \(17\% \). Chọn ngấu nhiên một người ở địa phương đó.
a) Tính xác suất người được chọn mắc bệnh A .
b) Biết rằng người được chọn mắc bệnh A . Tính xác suất người đó chưa tiêm vắc xin phòng bệnh A .
Gọi A là biến cố "Người được chọn đã tiêm vắc xin phòng bệnh A " và B là biến cố "Người được chọn mắc bệnh \({\rm{A}}\)".
Ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,65;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,05;P(B\mid \bar A) = 0,17\)
Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 0,35\)
a) \(P(B) = P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = 0,65 \cdot 0,05 + 0,35 \cdot 0,17 = \) 0,092 .
b) Cần tính \(P(\bar A\mid B)\). Ta có \(P(\bar A\mid B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}{{P(B)}} = \frac{{0,35.0,17}}{{0,992}} \approx 0,6467\)
Ở một khu rừng nọ có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú luôn nói thật, 3 chú còn lại luôn tự nhận mình nói thật nhưng xác suất để mỗi chú này nói thật là 0,5 . Bạn Tuyết gặp ngẫu nhiên một chú lùn. Gọi \(A\) là biến cố "Chú lùn đó luôn nói thật" và \(B\) là biến cố "Chú lùn đó tự nhận mình luôn nói thật".
a) Tính xác suất của các biến cố \(A\) và \(B\).
b) Biết rằng chú lùn mà bạn Tuyết gặp tự nhận mình là người luôn nói thật. Tính xác suất để chú lùn đó luôn nói thật.
A là biến cố "Chú lùn đó luôn nói thật" và B là biến cố "Chú lùn đó nhận mình là người luôn nói thật".
a) Trong 7 chú lún có 4 chú lùn luôn nói thật nên \(P(A) = \frac{4}{7}\). Suy ra \(P(\bar A) = \frac{3}{7}\).
Theo đề ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 1;P(B\mid \bar A) = 0,5\).
Ta cần tính \({\rm{P}}({\rm{B}})\). Ta có \(P(B) = P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = \frac{4}{7} \cdot 1 + \frac{3}{7} \cdot 0,5 = \frac{{11}}{{14}}\).
b) Cần tính \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\). Ta có \(P(A\mid B) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{4}{7} \cdot 1}}{{\frac{{11}}{{14}}}} = \frac{8}{{11}}\).
Trong một kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, một tỉnh \(X\) có 80 % học sinh lựa chọn tổ hợp A 00 (gồm các môn Toán, Vật lí, Hoá học). Biết rằng, nếu một học sinh chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,6 ; còn nếu một học sinh không chọn tổ hợp A 00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,7 . Chọn ngẫu nhiền một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên. Biết rằng học sinh này đã đỗ đại học. Tính xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00.
Gọi \(A\) là biến cố: "Học sinh đó chọn tổ hợp A00 "; \(B\) là biến cố: "Học sinh đó đỗ đại học". Ta cần tính \(P(A\mid B)\). Theo công thức Bayes, ta cần biết: \(P(A),P(\bar A),P(B\mid A)\) và \(P(B\mid \bar A)\). Ta có: \(P(A) = 0,8;P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2\).
\(P(B\mid A)\) là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó chọn tổ hợp A 00 \( \Rightarrow P(B\mid A) = 0,6\).
\(P(B\mid \bar A)\) là xác suất để một học sinh đõ̃ đại học với điều kiện học sinh đó không chọn tổ hợp \({\rm{A}}00 \Rightarrow P(B\mid \bar A) = 0,7\).
Thay vào công thức Bayes ta được:
\(P(A\mid B) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}} = \frac{{0,8 \cdot 0,6}}{{0,8 \cdot 0,6 + 0,2 \cdot 0,7}} \approx 0,7742.\)
Trong một kho rượu có \(30\% \) là rượu loại I. Chọn ngã̃u nhiên một chai rượu đưa cho ông Tùng, một người sành rượu, để nếm thử. Biết rằng, một chai rượu loại I có xác suất 0,9 để ông Tùng xác nhận là loại I ; một chai rượu không phải loại I có xác suất 0,95 để ông Tùng xác nhận đây không phải là loại I. Sau khi nếm, ông Tùng xác nhận đây là rượu loại I. Tính xác suất để chai rượu đúng là rượu loại I.
Gọi A là biến cố: "Chai rượu là rượu loại l";
B là biến cố: "Ông Tùng xác nhận nhận đây là rượu loại I".
Bài toán yêu cầu tính \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\).
Áp dụng công thức Bayes ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}{\rm{. }}\)
Ta cần xác định \({\rm{P}}({\rm{A}}),P(\bar A),{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\) và \(P(B\mid \bar A)\).
Vi kho rượu có \(30\% \) là rượu loại I nên \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 30\% = 0,3\).
Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7\).
\({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\) là xác suất để một chai rượu loại I được ông Tùng xác nhận là rượu Ioại I.
Theo bài ra ta có \(P(B\mid A) = 0,9\).
\(P(B\mid \bar A)\) là xác suất để một chai rượu không phải loại I được ông Tùng xác nhận là rượu loại I.
Theo đề bài ta có \(P(B\mid \bar A) = 1 - 0,95 = 0,05\).
Thay vào công thức Bayes ta được
\({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}\)\( = \frac{{0,3 \cdot 0,9}}{{0,3 \cdot 0,9 + 0,7 \cdot 0,05}} \approx 0,8852.\)
Vậy xác suất để chai rượu đúng là rượu loại I là khoảng 0,8852 .
Trong \(Y\) học, để chẩn đoán bệnh \(X\) nào đó, người ta thường dùng một xét nghiệm. Xét nghiệm dương tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người mắc bệnh \(X\). Xét nghiệm âm tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người không mắc bệnh \(X\). Vỉ không có một xét nghiệm nào tuyệt đối đưng nên trên thực tế có thể xảy ra hai sai lầm sau:
- Xét nghiệm dương tính nhưng thực tế người xét nghiệm không mắc bệnh. Ta gọi đây là dương tính giả.
- Xét nghiệm âm tính nhưng thực tế người xét nghiệm lại mắc bệnh. Ta gọi đây là âm tính giả.
Ông \(M\) đi xét nghiệm bệnh hiểm nghèo \(X\). Biết rằng, nếu một người mắc bệnh \(X\) thì với xác suất 0,95 xét nghiệm cho dương tính; nếu một người không bị bệnh \(X\) thì với xác suất 0,01 xét nghiệm cho dương tính.
Xét nghiệm của ông \(M\) cho kết quả dương tính. Ông \(M\) hoảng hốt khi nghĩ rằng mình có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo \(X\).
Trong tình huống mở đầu Muc 2, gọi A là biến cố: "Ông M mắc bệnh hiểm nghèo X"; B là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".
a) Nêu các nội dung còn thiếu tương ứng với "(?)" để hoàn thành các câu sau đây:
P(A∣B) là xác suất để (?) với điều kiện (?);
P(B∣A) là xác suất để (?) với điều kiện (?).
b) 0,95 là \(P(A\mid B)\) hay \(P(B\mid A)\) ? Có phải ông \(M\) có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) không?
c) Tính xác suất để ông M mắc bệnh hiểm nghèo X nếu kết quả xét nghiệm cho kết quả dương tính.
a)
P(A∣B) là xác suất để ông M mắc bệnh hiểm nghèo X với điều kiện xét nghiệm cho kết quả dương tính.
P(B∣A) là xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính với điều kiện ông \(M\) mắc bệnh hiểm nghèo \(X\).
b) Nếu một người mắc bệnh \(X\) thì với xác suất 0,95 xét nghiệm cho dương tính, tức là xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính với điều kiện người đó mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) là 0,95 . Do đó, \(P(B\mid A) = 0,95\).
Vậy không phải ông \(M\) có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo \(X\).
c) Gọi \(A\) là biến cố: "Ông \(M\) mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) "; \(B\) là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".
Ta cần tính \(P(A\mid B)\).
Theo công thức Bayes để tính \(P(A\mid B)\), ta cần biết: \(P(A),P(\bar A),P(B\mid A)\) và \(P(B\mid \bar A)\).
Gọi \(p\) là tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X .
Khi đó \(P(A) = p\). Suy ra \(P(\bar A) = 1 - p\).
\(P(B\mid A)\) là xác suất để ông M có xét nghiệm là dương tính nếu ông M mắc bệnh hiểm nghèo X \( \Rightarrow P(B\mid A) = 0,95\).
\(P(B\mid \bar A)\) là xác suất để ông \(M\) có xét nghiệm là dương tính nếu ông \(M\) không mắc bệnh hiểm nghèo \(X \Rightarrow P(B\mid \bar A) = 0,01\).
Thay vào công thức Bayes ta có:
\(P(A\mid B) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}} = \frac{{p \cdot 0,95}}{{p \cdot 0,95 + (1 - p) \cdot 0,01}}.\)
Trong \(Y\) học, để chẩn đoán bệnh \(X\) nào đó, người ta thường dùng một xét nghiệm. Xét nghiệm dương tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người mắc bệnh \(X\). Xét nghiệm âm tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người không mắc bệnh \(X\). Vỉ không có một xét nghiệm nào tuyệt đối đưng nên trên thực tế có thể xảy ra hai sai lầm sau:
- Xét nghiệm dương tính nhưng thực tế người xét nghiệm không mắc bệnh. Ta gọi đây là dương tính giả.
- Xét nghiệm âm tính nhưng thực tế người xét nghiệm lại mắc bệnh. Ta gọi đây là âm tính giả.
Ông \(M\) đi xét nghiệm bệnh hiểm nghèo \(X\). Biết rằng, nếu một người mắc bệnh \(X\) thì với xác suất 0,95 xét nghiệm cho dương tính; nếu một người không bị bệnh \(X\) thì với xác suất 0,01 xét nghiệm cho dương tính.
Xét nghiệm của ông \(M\) cho kết quả dương tính. Ông \(M\) hoảng hốt khi nghĩ rằng mình có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo \(X\).
Thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X là \(0,2\% \).
a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông M là bao nhiêu?
b) Sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông M là bao nhiêu?
a) Vỉ thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) là \(0,2\% \) nên trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là \({\rm{p}} = \) \(0,2\% = 0,002\).
b) Gọi A là biến cố: "Ông M mắc bệnh hiểm nghèo X "; B là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".
Khi đó xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông \(M\) sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính chính là xác suất \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\).
Áp dụng công thức ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}.\)
Theo câu a) ta có: \(P(A) = p = 0,002\). Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,002 = 0,998\).
\({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})\) là xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính nếu ông M mắc bệnh hiểm nghèo \(X\). Theo bài ra ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,95\).
\({\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A)\) là xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính nếu ông M không mắc bệnh hiểm nghèo X . Theo bài ra ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A) = 0,01\).
Khi đó, thay vào công thức Bayes ta được: \(P(A\mid B) = \frac{{0,002 \cdot 0,95}}{{0,002 \cdot 0,95 + 0,998 \cdot 0,01}} \approx 0,16.{\rm{ }}\)
Vậy sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo \(X\) của ông \(M\) là khoảng 0,16 .
Một thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo Y là \(0,5\% \). Bà N đi xét nghiệm bệnh hiểm nghèo \(Y\) và nhận được kết quả là âm tính. Biết rằng, nếu mắc bệnh hiểm nghèo \(Y\) thì với xác suất 0,94 xét nghiệm là dương tính; nếu không bị bệnh hiểm nghèo \(Y\) thì với xác suất 0,97 xét nghiệm là âm tính.
a) Trước khi tiến hành xét nghiệm xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N là bao nhiêu?
b) Sau khi xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N là bao nhiêu?
Gọi \(A\) là biến cố: "Bà \(N\) bị bệnh hiểm nghèo \(Y\) "; \(B\) là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".
a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N là
\(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,005 = 0,995.{\rm{ }}\)
b) Ta cần tính \(P(\bar A\mid \bar B)\).
Theo công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A)}}{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A) + P(A) \cdot P(\bar B\mid A)}}.\)
\(P(\bar B\mid \bar A)\) là xác suất để bà \(N\) có xét nghiệm là âm tính nếu bà \(N\) không bị bệnh \(Y\).
Theo bài ra ta có: \(P(\bar B\mid \bar A) = 0,97{\rm{;}}\)
\(P(\bar B\mid A)\) là xác suất để bà N có xét nghiệm âm tính nếu bà N bị bệnh Y
\(P(\bar B\mid A) = 1 - 0,94 = 0,06.{\rm{ }}\)
Thay vào công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{0,995 \cdot 0,97}}{{0,995 \cdot 0,97 + 0,005 \cdot 0,06}} \approx 0,9997.\)
Như vậy, với xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh Y của bà N tăng lên thành \(99,97\% \) (trước xét nghiệm là \(99,5\% \) ).
Có hai đội thi đấu môn Bắn súng. Đội I có 5 vận động viên, đội II có 7 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội ll tương ứng là 0,65 và 0,55 . Chọn ngẫu nhiên một vận động viên.
a) Tính xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng;
b) Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội \(I\).
a) Gọi A là biến cố: "VĐV được chọn thuộc đội I";
B là biến cố: "VĐV được chọn thuộc đội II";
E là biến cố: "VĐV được chọn đạt .
(Với VĐV: vận động viên, HCV : huy chương vàng).
Ta có \({\rm{B}} = \bar A\).
Ta cần tính \({\rm{P}}({\rm{E}})\). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có
\({\rm{P}}({\rm{E}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{E}}\mid {\rm{A}}) + P(\bar A) \cdot P(E\mid \bar A){\rm{. }}\)
Theo bài ra ta có: \(P(A) = \frac{5}{{12}},P(\bar A) = P(B) = \frac{7}{{12}}\).
\({\rm{P}}({\rm{E}}\mid {\rm{A}})\) là xác suất để VĐV thuộc đội I đoạt HCV . Theo bài ra ta có \({\rm{P}}({\rm{E}}\mid {\rm{A}}) = \) 0,65 .
\(P(E\mid \bar A)\) là xác suất để V \(V\) thuộc đội II đoạt HCV . Theo bài ra ta có \(P(E\mid \bar A) = 0,55\).
Thay vào ta được \({\rm{P}}({\rm{E}}) = \frac{5}{{12}} \cdot 0,65 + \frac{7}{{12}} \cdot 0,55 \approx 0,5917\).
Vậy xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng là khoảng 0,5917 .
b) Ta có xác suất để vận động viên được chọn thuộc đội I, biết rằng vận động viên này đạt huy chương vàng, chính là xác suất \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{E}})\).
Theo công thức Bayes và kết quả ở câu a) ta có
\(P(A\mid E) = \frac{{P(A) \cdot P(E\mid A)}}{{P(E)}} \approx \frac{{\frac{5}{{12}} \cdot 0,65}}{{0,5917}} \approx 0,4577\)
Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất 0,95 và một thư đúng (không phải là thư rác) bị chặn với xác suất 0,01 . Thống kê cho thấy tỉ lệ thư rác là \(3\% \).
a) Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn. Tính xác suất để đó là thư rác.
b) Chọn ngẫu nhiên một thư không bị chặn. Tính xác suất để đó là thư đúng.
c) Trong số các thư bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư đúng? Trong số các thư không bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư rác?
a) Gọi A là biến cố: "Thư được chọn là thư rác";
B là biến cố: "Thư được chọn là bị chặn".
Ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 3\% = 0,03;P(\bar A) = 1 - P(A) = 0,97\); \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,95\); \(P(B\mid \bar A) = 0,01\).
Ta cần phải tính \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\). Áp dụng công thức Bayes, ta có:
\(P(A\mid B) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}} = \frac{{0,03 \cdot 0,95}}{{0,03 \cdot 0,95 + 0,97 \cdot 0,01}} \approx 0,746\)
Vậy khi chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn thì xác suất để đó là thư rác khoảng 0,746 .
b) Ta phải tính \(P(\bar A\mid \bar B)\).
Ta có \(P(B\mid \bar A) = 0,01 \Rightarrow P(\bar B\mid \bar A) = 0,99\);
\(P(B\mid A) = 0,95 \Rightarrow P(\bar B\mid A) = 0,05.{\rm{ }}\)
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
\(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A)}}{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A) + P(A) \cdot P(\bar B\mid A)}} = \frac{{0,97 \cdot 0,99}}{{0,97 \cdot 0,99 + 0,03 \cdot 0,05}} \approx 0,998\)
Vậy khi ngẫu nhiên một thư không bị chặn thì xác suất để đó là thư đúng khoảng 0,998 .
c) Từ câu a), ta thấy xác suất một thư là thư rác nếu biết rằng thư đó bị chặn là 0,746 . Nghĩa là trong số các thư bị chặn có khoảng \(74,6\% \) thư rác.
Vậy trong số các thư bị chặn có \(100\% - 74,6\% = 25,4\% \) là thư đúng.
Từ câu b), ta thấy xác suất để đó là thư đúng nếu biết rằng thư đó không bị chặn là 0,998 . Nghĩa là trong số các thư không bị chặn có khoảng \(99,8\% \) thư đúng.
Vậy trong số các thư không bị chặn có \(100\% - 99,8\% = 0,2\% \) là thư rác.
Một loại vaccine được tiêm ở địa phương X. Người có bệnh nền thì với xác suất 0,35 có phản ứng phụ sau tiêm; người không có bệnh nền thì chỉ có phản ứng phụ sau tiêm với xác suất 0,16 . Chọn ngẫu nhiên một người được tiêm vaccine và người này có phản ứng phụ. Tính xác suất để người này có bệnh nền, biết rằng tỉ lệ người có bệnh nền ở địa phương X là \(18\% \).
Gọi A là biến cố: “Người đó có bệnh nền";
B là biến cố: "Người đó có phản ứng phụ sau tiêm".
Theo bài ra ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 18\% = 0,18;P(\bar A) = 1 - P(A) = 0,82\)
\({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,35;P(B\mid \bar A) = 0,16.{\rm{ }}\)
Ta cần tính \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\). Theo công thức Bayes ta có
\(P(A\mid B) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}\)
\( = \frac{{0,18 \cdot 0,35}}{{0,18 \cdot 0,35 + 0,82 \cdot 0,16}} = \frac{{0,063}}{{0,1942}} \approx 0,3244\)
Vậy khi chọn ngẫu nhiên một người được tiêm vaccine và người này có phản ứng phụ thì xác suất để người này có bệnh nền là 0,3244 .
Có hai cái hộp giống nhau, hộp thứ nhất chứa 5 quả bóng bàn màu trắng và 3 quả bóng bàn màu vàng, hộp thứ hai chứa 4 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng. Các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Minh lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp thứ nhất. Nếu quả bóng đó là bóng vàng thì Minh lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng từ hộp thứ hai; nếu quả bóng đó màu trắng thì Minh lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 3 quả bóng từ hộp thứ hai.
a) Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất để có đúng 1 quả bóng màu vàng trong các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai.
b) Biết rằng các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai đều có màu trắng. Tính xác suất để quả bóng lấy ra từ hộp thứ nhất có màu vàng.
Gọi A là biến cố "Lấy được quả bóng vàng ở hộp thứ nhất "; B là biến cố “Lấy được đúng 1 quả bóng màu vàng ở hộp thứ hai" và C là biến cố "Các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai đều có màu trắng".
Ta có \(\quad P(A) = \frac{3}{8};P(\bar A) = \frac{5}{8};\quad P(B\mid A) = \frac{{C_6^1 \cdot C_4^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}}\);
\(P(B\mid \bar A) = \frac{{C_6^1C_4^2}}{{C_{10}^3}} = \frac{3}{{10}}{\rm{. }}\)
a) Ta có sơ đồ cây
Dựa vào sơ đồ cây, ta có \(P(B) = \frac{1}{5} + \frac{3}{{16}} = \frac{{31}}{{80}}\).
b) Ta cần tính \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{C}})\).
Ta có \(P(A\mid C) = \frac{{P(A) \cdot P(C\mid A)}}{{P(C)}}\)
Ta có \(P(C\mid A) = \frac{{C_4^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{{15}};P(C\mid \bar A) = \frac{{C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{{30}}\)
Mà \(P(C) = P(A) \cdot P(C\mid A) + P(\bar A) \cdot P(C\mid \bar A) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{{15}} + \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{{30}} = \frac{{17}}{{240}}\).
Vậy \(P(A\mid C) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{{15}}:\frac{{17}}{{240}} = \frac{{12}}{{17}}\).
Hộp thứ nhất có 1 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ hai.
a) Tính xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ.
b) Biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ. Tính xác suất để 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ.
Gọi A là biến cố "Lấy được hai viên bi đỏ từ hộp thứ nhất" và B là biến cố "Lấy được hai viên bi đỏ từ hộp thứ \({2^{\prime \prime }}\).
Ta có \(P(A) = \frac{{C_5^2}}{{C_6^2}} = \frac{2}{3}P(B\mid A) = \frac{{C_7^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}}\). Suy ra \(P(\bar A) = 1 - P(A) = \frac{1}{3};P(B\mid \bar A) = \frac{{C_6^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{3}\).
a) Ta cần tính \({\rm{P}}({\rm{B}})\). Ta có \(P(B) = P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{{15}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{{19}}{{45}}\).
b) Cần tính \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\). \({\rm{ Có }}P(A\mid B) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(B)}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{{15}}:\frac{{19}}{{45}} = \frac{{14}}{{19}}{\rm{. }}\)
Một doanh nghiệp có \(45\% \) nhân viên là nữ. Tỉ lệ nhân viên nữ và tỉ lệ nhân viên nam mua bảo hiểm nhân thọ lần lượt là \(7\% \) và \(5\% \). Chọn ngẫu nhiền một nhân viên của doanh nghiệp.
a) Tính xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ.
b) Biết rằng nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ. Tính xác suất nhân viên đó là nam.
Gọi A là biến cố "Nhân viên được chọn là nữ" và B là biến cố "Nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ".
Theo đề ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,45;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,07;P(B\mid \bar A) = 0,05\). Suy ra \(P(\bar A) = 0,55\)
a) Ta cần tính \({\rm{P}}({\rm{B}})\).
\({\rm{ Ta có }}P(B) = P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = 0,45 \cdot 0,07 + 0,55 \cdot 0,05 = 0,059.{\rm{ }}\)
b) Ta cần tính \(P(\bar A\mid B)\).
Ta có \(P(\bar A\mid B) = \frac{{P(\bar A)P(B\mid \bar A)}}{{P(B)}} = \frac{{0,55 \cdot 0,05}}{{0,059}} = \frac{{55}}{{118}}\)
