tp1

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = $\sqrt{x}$ liên tục và không âm trên đoạn [0; 3].

Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

$V=\pi {\displaystyle {\int }_0^3\left(\sqrt{x}\right){}^2}dx=\pi {\displaystyle {\int }_0^{3}x}dx=\pi \frac{x{}^2}{2}|{}_0^3=\pi \left(\frac{3{}^2}{2}-\frac{0{}^2}{2}\right)=\frac{9\pi }{2}$.

Đáp án đúng là: B

Diện tích thiết diện của vật thể tại hoành độ x là S(x) = x².

Thể tích của vật thể được tính bằng tích phân của diện tích thiết diện:

$V={\displaystyle {\int }_1^{4}S\left(x\right)}dx={\displaystyle {\int }_1^{4}x{}^2}dx=\frac{x{}^3}{3}|{}_1^4=\frac{4{}^3}{3}-\frac{1{}^3}{3}=\frac{64}{3}-\frac{1}{3}=21$.

Đáp án đúng là: A

Bình phương của hàm số sinh ra khối tròn xoay là $\left(e{}^{x-1}\right){}^2=e{}^{2x-2}$.

Thể tích khối tròn xoay

$V=\pi {\displaystyle {\int }_1^2\left(e{}^{x-1}\right){}^2}dx=\pi {\displaystyle {\int }_1^{2}e{}^{2x-2}}dx=\pi \frac{e{}^{2x-2}}{2}|{}_1^2=\pi \left(\frac{e{}^2}{2}-\frac{e{}^0}{2}\right)=\frac{\pi \left(e{}^2-1\right)}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: x² = 2x x² − 2x = 0 x = 0 hoặc x = 2.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng

$V=\pi {\displaystyle {\int }_0^2\left|\left(2x\right){}^2-\left(x{}^2\right){}^2\right|}dx=\pi {\displaystyle {\int }_0^2\left(4x{}^2-x{}^4\right)}dx=\pi \left(\frac{4x{}^3}{3}-\frac{x{}^5}{5}\right)|{}_0^2=\pi \left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)=\frac{64\pi }{15}$

Đáp án đúng là: C

Diện tích của thiết diện tam giác đều cạnh $a=\sqrt{sinx}$ là S(x) = $\frac{\sqrt{3}a{}^2}{4}=\frac{\sqrt{3}sinx}{4}$.

Thể tích của không gian mái vòm được tính bằng tích phân diện tích thiết diện:

$V={\displaystyle {\int }_0^{\pi }S\left(x\right)}dx={\displaystyle {\int }_0^{\pi }\frac{\sqrt{3}sinx}{4}}dx=\frac{\sqrt{3}\left(-cosx\right)}{4}|{}_0^{\pi }=\frac{\sqrt{3}\left(1-\left(-1\right)\right)}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Công thức tính thể tích khối tròn xoay bắt buộc phải có hằng số , tức là V = $\pi {\displaystyle {\int }_1^{2}x{}^6}dx$.

b) Đúng. Ta có bình phương hàm số là $\left(x{}^3\right){}^2=x{}^6$.

c) Đúng. Đạo hàm f'(x) = 3x² > 0 với mọi x thuộc [1; 2], và f(1) = 1 > 0 nên hàm luôn dương.

d) Đúng. $V=\pi {\displaystyle {\int }_1^2\left(x{}^3\right){}^2}dx=\pi {\displaystyle {\int }_1^{2}x{}^6}dx=\pi \frac{x{}^7}{7}|{}_1^2=\pi \left(\frac{2{}^7}{7}-\frac{1{}^7}{7}\right)=\pi \left(\frac{128-1}{7}\right)=\frac{127\pi }{7}$.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Diện tích của hình chữ nhật bằng tích hai cạnh, do đó S(x) = $x\sqrt{x{}^2+1}$.

b) Đúng. $V={\displaystyle {\int }_0^{2}S\left(x\right)dx}={\displaystyle {\int }_0^{2}x\sqrt{x{}^2+1}}dx$.

c) Đúng. Đặt u = x² + 1 du = 2xdx. Đổi cận: x = 0 u = 1; x = 2 ⇒ u = 5.

d) Đúng. Thực hiện tính thể tích

$V={\displaystyle {\int }_0^{2}x\sqrt{x{}^2+1}}dx=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_1^5\sqrt{u}}du=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_1^{5}u{}^{\frac{1}{2}}}du=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}u{}^{\frac{3}{2}}\right)|{}_1^5=\frac{1}{3}u\sqrt{u}|{}_1^5=\frac{5\sqrt{5}-1}{3}$

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Giải phương trình $cosx=0$ trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, ta thu được nghiệm duy nhất x = $\frac{\pi }{2}$.

b) Sai. Công thức tính thể tích khối tròn xoay phải chứa bình phương hàm số, tức là $V=\pi {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}cos{}^{2}x}dx$.

c) Đúng. Công thức hạ bậc là phương pháp chuẩn để xử lý tích phân của bình phương hàm lượng giác.

d) Đúng. $V=\pi {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}cos{}^{2}x}dx=\pi {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+cos2x}{2}}dx=\pi \left(\frac{x}{2}+\frac{sin2x}{4}\right)|{}_0^{\frac{\pi }{2}}=\pi \left(\left(\frac{\pi }{4}+0\right)-0\right)=\frac{\pi {}^2}{4}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Giải phương trình $\sqrt{x}=x\iff x=x{}^2$ (do x ≥ 0) x(1 − x) = 0 x = 0 hoặc x = 1.

b) Sai. Lấy giá trị x = $\frac{1}{4}$ thuộc (0; 1), ta có $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$. Do đó đồ thị y = $\sqrt{x}$ nằm phía trên y = x.

c) Sai. Công thức tính thể tích tạo bởi hai đường cong quay quanh trục Ox phải là V = $\pi {\displaystyle {\int }_0^1\left|\left(\sqrt{x}\right){}^2-x{}^2\right|}dx$.

d) Đúng. Thực hiện tính thể tích khối tròn xoay:

$V=\pi {\displaystyle {\int }_0^1\left|\left(\sqrt{x}\right){}^2-x{}^2\right|}dx=\pi {\displaystyle {\int }_0^1\left(x-x{}^2\right)}dx=\pi \left(\frac{x{}^2}{2}-\frac{x{}^3}{3}\right)|{}_0^1=\pi \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-0\right)=\frac{\pi }{6}$.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Đường kính là $2\sqrt{1-x{}^2}$, do đó bán kính của hình bán nguyệt phải là R(x) = $\sqrt{1-x{}^2}$.

b) Đúng. Diện tích hình bán nguyệt bằng một nửa diện tích hình tròn:

S(x) = $\frac{1}{2}\pi R{}^2(x)=\frac{\pi }{2}\left(1-x{}^2\right)$.

c) Đúng. Ta có $S\left(-x\right)=\frac{\pi }{2}\left(1-\left(-x\right){}^2\right)=\frac{\pi }{2}\left(1-x{}^2\right)=S\left(x\right)$, nên S(x) là hàm chẵn.

d) Đúng. Vì S(x) là hàm chẵn nên ta tích phân liên tục để tính thể tích:

$V={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}S\left(x\right)}dx=2{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\pi }{2}\left(1-x{}^2\right)}dx=\pi {\displaystyle {\int }_0^1\left(1-x{}^2\right)}dx=\pi \left(x-\frac{x{}^3}{3}\right)|{}_0^1=\pi \left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2\pi }{3}$.

Đáp án: 36

Thể tích khối tròn xoay cần tính được biểu diễn bằng tích phân:

$V=\pi {\displaystyle {\int }_0^3\left(2x\right){}^2}dx=\pi {\displaystyle {\int }_0^{3}4x{}^2}dx=\pi \left(\frac{4x{}^3}{3}\right)|{}_0^3=\pi \left(\frac{4\cdot 27}{3}-0\right)=36\pi$.

Do đó, giá trị của k = $\frac{36\pi }{\pi }=36$.

Đáp án: 12

Áp dụng công thức tính thể tích vật thể qua diện tích thiết diện:

$V={\displaystyle {\int }_0^{2}S\left(x\right)}dx={\displaystyle {\int }_0^2\left(3x{}^2+2x\right)}dx=\left(x{}^3+x{}^2\right)|{}_0^2=\left(2{}^3+2{}^2\right)-0=8+4=12$.

Đáp án: 10

Có $\left(\sqrt{3x{}^2+1}\right){}^2=3x{}^2+1$.

Thể tích khối tròn xoay là: $V=\pi {\displaystyle {\int }_0^2\left(3x{}^2+1\right)}dx=\pi \left(x{}^3+x\right)|{}_0^2=\pi \left(\left(2{}^3+2\right)-0\right)=10\pi$.

Đồng nhất với biểu thức V = a, ta tìm được a = 10.

Đáp án: 13

Phương trình hoành độ giao điểm:

$x^2=\sqrt{x}\iff x{}^4=x$ (do x ≥ 0) x(x³ − 1) = 0 x = 0 hoặc x = 1.

$V=\pi {\displaystyle {\int }_0^1\left|\left(\sqrt{x}\right){}^2-\left(x{}^2\right){}^2\right|}dx=\pi {\displaystyle {\int }_0^1\left(x-x{}^4\right)}dx=\pi \left(\frac{x{}^2}{2}-\frac{x{}^5}{5}\right)|{}_0^1=\pi \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=\frac{3\pi }{10}$.

Đồng nhất với biểu thức, ta có a = 3, b = 10. Tổng a + b = 3 + 10 = 13.

Đáp án: 37,7

Thể tích khối nón tròn xoay này được tính thông qua tích phân:

$V=\pi {\displaystyle {\int }_0^4\left(\frac{3}{4}x\right){}^2}dx=\pi {\displaystyle {\int }_0^4\frac{9}{16}x{}^2}dx=\pi \left(\frac{9}{16}\cdot \frac{x{}^3}{3}\right)|{}_0^4=\pi \left(\frac{3}{16}\cdot 64-0\right)=12\pi \approx 37,7$.