tích phân

Đáp án đúng là: C

Ta tìm nguyên hàm của hàm đa thức 3x² + 10x + 3 là x³ + 5x² + 3x.

Khi đó, $I={\displaystyle {\int }_0^1\left(3x{}^2+10x+3\right)}dx=\left(x{}^3+5x{}^2+3x\right)|{}_0^1$= (1³ + 5·1² + 3·1) − 0 = 9.

Đáp án đúng là: B

$I={\displaystyle {\int }_0^{1}6{}^x}dx=\frac{6{}^x}{ln6}|{}_0^1=\frac{6{}^1}{ln6}-\frac{6{}^0}{ln6}=\frac{6}{ln6}-\frac{1}{ln6}=\frac{5}{ln6}$.

Đáp án đúng là: D

$I={\displaystyle {\int }_1^e\left(\frac{1}{x}+1\right)}dx=\left(ln\left|x\right|+x\right)|{}_1^e=1+e-1=e$.

Đáp án đúng là: D

I={\displaystyle {\int }_0^{1}e{}^{4x}}dx=\left(\frac{1}{4}e{}^{4x}\right)|{}_0^1=\frac{1}{4}e{}^4-\frac{1}{4}e{}^0=\frac{e{}^4-1}{4}

Đáp án đúng là: A

Ta tìm nguyên hàm của hàm số 4x² − 7x − 2 là $\frac{4x{}^3}{3}-\frac{7x{}^2}{2}-2x$.

Khi đó,

I={\displaystyle {\int }_0^2\left(4x{}^2-7x-2\right)}dx=\left(\frac{4x{}^3}{3}-\frac{7x{}^2}{2}-2x\right)|{}_0^2=\left(\frac{4\cdot 8}{3}-\frac{7\cdot 4}{2}-2\cdot 2\right)-0=-\frac{22}{3}

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Đây là tính chất hiệu của hai tích phân.

b) Đúng. Hằng số k có thể đưa ra ngoài dấu tích phân.

c) Sai. Theo tính chất, khi đổi cận thì tích phân đổi dấu: ${\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)dx=-{\displaystyle {\int }_b^{a}f}(x)dx$.

d) Đúng. Giá trị tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số và các cận.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Hàm số f(x) = $\frac{1}{x+2}$ xác định khi x ≠ −2. Do đó hàm số hoàn toàn xác định và liên tục trên đoạn [0; 1].

b) Đúng. Vì x thuộc [0; 1] nên x + 2 > 0. Nguyên hàm của hàm số là ln|x + 2| = ln(x + 2).

c) Đúng. Ta có

{\displaystyle {\int }_0^1\frac{2}{x+2}}dx=2{\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{x+2}}dx=2ln\left(x+2\right)|{}_0^1=2\left(ln3-ln2\right)=2ln\left(\frac{3}{2}\right)=ln\left(\frac{9}{4}\right).

d) Sai. Giá trị của I là $I=ln(x+2)|{}_0^1=ln3-ln2$, không phải là ln3.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }sinx}dx=-cosx|{}_0^{\pi }=-cos\pi -\left(-cos0\right)=-\left(-1\right)+1=2$.

b) Sai. Nguyên hàm của cos x là sin x.

c) Đúng. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }cosx}dx=sinx|{}_0^{\pi }=sin\pi -sin0=0-0=0$.

d) Đúng. ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{cos{}^{2}x}}dx=tanx|{}_0^{\frac{\pi }{4}}=tan\frac{\pi }{4}-tan0=1-0=1$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Đoạn [1; e] không chứa điểm gián đoạn x = 0.

b) Đúng. Ta có ${\displaystyle \int \frac{2}{x}}dx=2ln\left|x\right|+C$. Với x > 0 thì 2ln|x| = 2ln x.

c) Đúng. $I=2lnx|{}_1^e=2lne-2ln1=2\cdot 1-0=2$.

d) Sai. Hàm số không liên tục trên đoạn [−1; 1] do gián đoạn tại x = 0, nên tích phân này không xác định.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Đây là tính chất tổng của hai tích phân.

b) Sai. ${\displaystyle {\int }_0^{1}e{}^x}dx=e{}^x|{}_0^1=e{}^1-e{}^0=e-1$.

c) Đúng. ${\displaystyle {\int }_0^{1}2{}^x}dx=\frac{2{}^x}{ln2}|{}_0^1=\frac{2}{ln2}-\frac{1}{ln2}=\frac{1}{ln2}$.

d) Đúng. Kết hợp kết quả từ câu b và c ta được I = $e-1+\frac{1}{ln2}$.

Đáp án: 8

$I={\displaystyle {\int }_0^{2}3}x{}^{2}dx=x{}^3|{}_0^2=2{}^3-0{}^3=8$.

Đáp án: 1

Nguyên hàm của hàm số lượng giác sinx là −cosx.

Áp dụng định nghĩa tích phân, ta có: I=-cosx|{}_0^{\frac{\pi }{2}}=-cos\left(\frac{\pi }{2}\right)-\left(-cos0\right)= 0-\left(-1\right)=1.

Đáp án: 13

Ta có: ${\displaystyle {\int }_1^2\left(4x{}^3-2x+1\right)}dx=\left(x{}^4-x{}^2+x\right)|{}_1^2=14-1=13$.

Đáp án: 1,7

Ta có: $I={\displaystyle {\int }_0^{1}e{}^x}dx=e{}^x|{}_0^1=e{}^1-e{}^0=e-1\approx 2,718-1=1,718$.

Làm tròn số thập phân này đến hàng phần mười ta thu được kết quả là 1,7.

Đáp án: 5,5

Ta có: $I={\displaystyle {\int }_1^4\left(x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}dx=\left(\frac{x{}^2}{2}-2\sqrt{x}\right)|{}_1^4=5,5$.