tích phân 2

I = ${\displaystyle {\int }_0^{1}f}(x)dx+{\displaystyle {\int }_1^{2}f}(x)dx={\displaystyle {\int }_0^{1}2}xdx+{\displaystyle {\int }_1^{2}3}x{}^{2}dx$

= $x{}^2|{}_0^1+x{}^3|{}_1^2$= (1 − 0) + (8 − 1) = 1 + 7 = 8.

Đáp án đúng là: A

I = ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}e{}^x}dx+{\displaystyle {\int }_0^{1}1}dx$= $e{}^x|{}_{-1}^0+x|{}_0^1$= $1-e{}^{-1}+1$ = $2-e{}^{-1}$.

Đáp án đúng là: A

Do hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ nên nó phải liên tục tại điểm nối x = 1.

Giới hạn bên trái: $\underset{x\to 1{}^{-}}{lim}(x+a)$ = 1 + a.

Giới hạn bên phải: $\underset{x\to 1{}^{+}}{lim}2x$ = 2.

Suy ra 1 + a = 2 nên a = 1. Khi đó trên khoảng x < 1 thì f(x) = x + 1.

Tích phân trở thành:

I = {\displaystyle {\int }_0^1\left(x+1\right)}dx+{\displaystyle {\int }_1^{2}2}xdx=\left(\frac{x{}^2}{2}+x\right)|{}_0^1+x{}^2|{}_1^2= 1,5 + 3 = 4,5 = $\frac{9}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Đặt t = x², suy ra dt = 2x dx.

Đổi cận: khi x = 1 thì t = 1; khi x = 2 thì t = 4.

Tích phân trở thành: I = ${\displaystyle {\int }_1^{4}f}(t)dt$.

I = {\displaystyle {\int }_1^{2}3}dt+{\displaystyle {\int }_2^{4}2}tdt=3t|{}_1^2+t{}^2|{}_2^4 = 3 + 12 = 15.

Đáp án đúng là: A

Với x < 1, ta có họ nguyên hàm f(x) = ${\displaystyle \int 2}xdx$ = x² + C₁.

Do f(0) = 1 nên 0² + C₁ = 1, suy ra C₁ = 1. Vậy f(x) = x² + 1 khi x < 1.

Với x ≥ 1, ta có họ nguyên hàm f(x) = ${\displaystyle \int 2}dx$ = 2x + C₂.

Vì f(x) liên tục trên $ℝ$ nên nó liên tục tại x = 1, tức là $\underset{x\to 1{}^{-}}{lim}f(x)$ = $\underset{x\to 1{}^{+}}{lim}f(x)$.

Ta có 1² + 1 = 2(1) + C₂ suy ra 2 = 2 + C₂ nên C₂ = 0. Vậy f(x) = 2x khi x ≥ 1.

Tiến hành tính tích phân:

I = ${\displaystyle {\int }_0^1\left(x{}^2+1\right)}dx+{\displaystyle {\int }_1^{2}2}xdx=\left(\frac{x{}^3}{3}+x\right)|{}_0^1+x{}^2|{}_1^2$

= $\left(\frac{1}{3}+1\right)$ + (4 − 1) = $\frac{4}{3}$ + 3 = $\frac{13}{3}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Giới hạn trái tại x = 2 là 2. Giới hạn phải tại x = 2 là 2. Do hai giới hạn bằng nhau nên hàm số liên tục.

b) Đúng. Ta tính ${\displaystyle {\int }_0^{2}x}dx$ = $\frac{x{}^2}{2}|{}_0^2$ = 2 − 0 = 2.

c) Sai. Ta tính ${\displaystyle {\int }_2^{4}2}dx$ = $2x|{}_2^4$ = 8 − 4 = 4.

d) Đúng. Tổng giá trị của hai tích phân thành phần là I = 2 + 4 = 6.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. $\underset{x\to 1{}^{-}}{lim}(2x+a)$ = 2 + a.

b) Đúng. Giới hạn phải tại x = 1 là 1 + b.Hàm số liên tục nên 2 + a = 1 + b hay a − b = −1.

c) Đúng. ${\displaystyle {\int }_0^1\left(2x+a\right)}dx$ = $\left(x{}^2+ax\right)|{}_0^1$ = 1 + a.

d) Sai. Xét phần tích phân trên [1; 2]:

${\displaystyle {\int }_1^2(x{}^2+b)}dx$ = $\left(\frac{x{}^3}{3}+bx\right)|{}_1^2$ = $\left(\frac{8}{3}+2b\right)-\left(\frac{1}{3}+b\right)$ = $\frac{7}{3}+b$.

Khi đó ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)}dx={\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)}dx+{\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)}dx$ a + b + $\frac{10}{3}$ = $\frac{16}{3}$ suy ra a + b = 2.

Từ hệ phương trình a − b = −1 và a + b = 2 ta được a = 0,5 và b = 1,5.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$, F(x) = 2x² + C₁. Do F(0) = 2 nên C₁ = 2.

Vậy F(x) = 2x² + 2.

b) Đúng. Hàm số f(x) có nguyên hàm trên tập số thực nên F(x) liên tục tại x = 1.

Suy ra F(1) = $\underset{x\to 1{}^{-}}{lim}(2x{}^2+2)$ = 4.

c) Đúng. Trên nửa khoảng $\left[1;+\infty \right)$, F(x) = x⁴ + C₂.

Do F(1) = 4 nên 1 + C₂ = 4 C₂ = 3. Vậy F(x) = x⁴ + 3.

d) Sai. ${\displaystyle {\int }_{-1}^{2}f}(x)dx$ = F(2) − F(−1).

F(2) = 2⁴ + 3 = 19; F(−1) = 2(−1)² + 2 = 4.

Tích phân có giá trị là 19 − 4 = 15.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Với x ≥ 1, ${\displaystyle \int \frac{1}{x}}dx=lnx+C{}_1$.

Vì F(1) = 2 nên $ln1+C{}_1=2\Rightarrow C{}_1=2$. Vậy F(x) = lnx + 2.

b) Đúng. Ta tính F(e) = ln e + 2 = 1 + 2 = 3.

c) Sai. Với 0 < x < 1, ${\displaystyle \int \left(2x-1\right)}dx=x{}^2-x+C{}_2$.

Do F(x) liên tục tại x = 1 nên F(1) = 2 suy ra 1² − 1+ C₂ = 2 C₂ = 2.

Công thức đúng là F(x) = x² x + 2.

d) Đúng. Theo định nghĩa tích phân, ${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^{e}f(x)}dx=F(e)-F\left(\frac{1}{2}\right)$.

Ta có $F\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right){}^2-\frac{1}{2}+2=0,25-0,5+2=1,75=\frac{7}{4}$.

Kết quả tích phân là $3-\frac{7}{4}=\frac{5}{4}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. ${\displaystyle {\int }_{-2}^{0}f}(x)dx={\displaystyle {\int }_0^{2}f}(x)dx$.

b) Sai. Với x thuộc [−1; 0], ta có −x thuộc [0; 1]. Khi đó f(x) = f(−x) = (−x) + 1 = −x + 1, không phải x − 1.

c) Đúng. Ta tính ${\displaystyle {\int }_0^1(x+1)}dx$ = $\left(\frac{x{}^2}{2}+x\right)|{}_0^1$ = 0,5 + 1 = 1,5.

d) Đúng. Do I = ${\displaystyle {\int }_0^{2}f}(x)dx={\displaystyle {\int }_0^{1}f}(x)dx+{\displaystyle {\int }_1^{2}f}(x)dx$.

Ta có ${\displaystyle {\int }_0^{1}f}(x)dx$ = 1,5. Phần còn lại ${\displaystyle {\int }_1^{2}2}dx$ = $2x|{}_1^2$ = 4 − 2 = 2.

Vậy I = 1,5 + 2 = 3,5.

Đáp án: 8

I = ${\displaystyle {\int }_0^{1}2}dx+{\displaystyle {\int }_1^{2}4}xdx$

Tính nguyên hàm và thế cận: I = $2x|{}_0^1+2x{}^2|{}_1^2$ = (2 − 0) + (8 − 2) = 2 + 6 = 8.

Đáp án: 3,25

Nhân thêm x vào hàm số và tách tích phân tại x = 1: I = ${\displaystyle {\int }_0^{1}3}x{}^{2}dx+{\displaystyle {\int }_1^{2}1},5xdx$

= $x{}^3|{}_0^1+0,75x{}^2|{}_1^2$ = (1 − 0) + 0,75(4 − 1) = 1 + 2,25 = 3,25.

Đáp án: 6

I = ${\displaystyle {\int }_0^{2}x}dx+{\displaystyle {\int }_2^{4}2}dx$

= $0,5x{}^2|{}_0^2+2x|{}_2^4$ = 2 + (8 − 4) = 2 + 4 = 6.

Đáp án: 4

Hàm số f(x) có nguyên hàm nên F(x) liên tục trên toàn tập xác định.

Khi x < 1, ta tìm họ nguyên hàm: F(x) = 2x + C₁.

Do F(0) = 1 nên 0 + C₁ = 1 dẫn đến C₁ = 1.

Vậy F(x) = 2x + 1.

Có $\underset{x\to 1{}^{-}}{lim}(2x+1)$ = 3.

Do tính liên tục nên F(1) = 3.

Khi x ≥ 1, họ nguyên hàm là F(x) = ln x + C₂.

Vì F(1) = 3 nên ln 1 + C₂ = 3 suy ra C₂ = 3.

Vậy F(x) = ln x + 3.

Tính giá trị tại x = e: F(e) = ln e + 3 = 1 + 3 = 4.

Đáp án: 3,5

Có ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)}dx={\displaystyle {\int }_0^{1}2}xdx+{\displaystyle {\int }_1^{2}a}dx$ = 4,5

$\iff x{}^2|{}_0^1+ax|{}_1^2$ = 4,5

(1 − 0) + a(2 − 1) = 4,5

1 + a = 4,5 suy ra a = 3,5.