Gọi số phần thưởng chia được là a(a$\in$N*)

Ta có: 210a$⋮$, 270$⋮$a, 420$⋮$a => a$\in$ƯC(210,270,420)

Vì số phần thưởng chia được là lớn nhất nên a$\in$ƯCLN(210,270,420)

Ta có: 210 = 2.3.5.7; 270 = 2.$3^3$.5; 420 = $2^2$.3.5.7

=> a = ƯCLN(210,270,420) = 2.3.5 = 30

Vậy, chia được nhiều nhất là 30 phần thưởng. Trong đó

Số bút bi là: 210 : 30 = 7 (cái)

Số bút chì là: 270 : 30 = 9 (cái)

Số bút chì là: 270 : 30 = 9 (cái)

Gọi số cây mỗi đội phải trồng là a (a$\in$N*, 100<a<200)

Vì đội I trồng 7 cây, đội II trồng 8 cây, đội III trồng 6 cây nên a$⋮$7, a$⋮$6, a$⋮$8 => a$\in$BC(6,7,8)

Ta có: BCNN(6,7,8) = $2^3$.3.7 = 168

=>a$\in$BC(6,7,8) = B(168) = {0;168;336;…}

Mà 100<a<200 => a = 168

Số cây mỗi đội phải trồng là 168 cây

Tổ II có số công nhân là: 168 : 8 = 21 (người)

Tổ III có số công nhân là: 168 : 6 = 28 (người)

Gọi n là số tự nhiên chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5

=> n = 5x+1 = 7y+5 (x,y$\in$N*) => 5x = 5y+2y+4 => 2.(y+2)$⋮$5 => y+2$⋮$5

Giá trị nhỏ nhất của y bằng 3, giá trị nhỏ nhất của n bằng 7.3+5 = 26

a, 10$⋮$3a+1 => 3a+1$\in$Ư(10) => 3a+1$\in${1;2;5;10} => a$\in${$0;\frac{1}{3};\frac{4}{3};3$}. Vì a$\in$N, a$\in${0;3}

b, a+6$⋮$a+1 => a+1+5$⋮$a+1 => 5$⋮$a+1 => a+1$\in$Ư(5) =>  a+1$\in${1;5} => a$\in${0;4}

c, 3a+7$⋮$2a+3 => 2.(3a+7)$-$3(2a+3)$⋮$2a+3 => 5$⋮$2a+3 => 2a+3$\in$Ư(5)

=> 2a+3$\in${1;5} => a = 1

d, 6a+11$⋮$2a+3 => 3.(2a+3)+2$⋮$2a+3 => 2$⋮$2a+3 => 2a+3$\in$Ư(2)

=> 2a+3$\in${1;2} => a$\in$$\varnothing$

a, Gọi hai số phải tìm là a,b. Ta có (a;b) = 6 => a = 6a’, b = 6b’ với (a’,b’) = 1(a,b,a’,b’$\in$N)

Do đó: a+b = 84 => 6.(a’+b’) = 84 => a’+b’ = 14

Chọn cặp số a’,b’ là hai số nguyên tố cùng nhau có tổng bằng 14 ta được:

Do đó:

b, Gọi hai số phải tìm là a.b. Ta có (a;b) = 5 => a = 5a’, b = 5b’ với (a’,b’) = 1 (a,b,a’,b’$\in$N)

Do ab = 300 => 25a’b’ = 300 => a’b’ = 12 = 4.3

Chọn cặp số a’,b’ nguyên tố cùng nhau có tích bằng 12 ta được:

a’ = 1, b’ = 12 => a = 5, b = 60

a’ = 3, b’ = 4 => a = 15, b = 20

c, Gọi hai số phải tìm là a,b. Ta có (a;b) = 10 => a = 10a’; b = 10b’ với (a’,b’) = 1 (a,b,a’,b’$\in$N, a’<b’). Do đó: ab = 100a’b’ (1)

Mặt khác: ab = [a,b].(a,b) = 900.10 = 9000 (2)

a’ = 1, b’ = 90 => a = 10, b = 900

a’ = 2, b’ = 45 => a = 20, b = 450

a’ = 5, b’ = 18 => a = 50, b = 180

a’ = 9, b’ = 10 => a = 90, b = 100

a, Gọi d$\in$ƯC(n,n+1) => (n+1) – 1$⋮$d => 1$⋮$d => d = 1. Vậy n, n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

b, Gọi d$\in$ƯC(2n+1,2n+3) => (2n+3) – (2n+1)$⋮$d => 2$⋮$d => d$\in${1;2}. Vì d là số lẻ => d = 1 => dpcm

c, Gọi d$\in$ƯC(2n+1,3n+1) => 3.(2n+1) – 2.(3n+1)$⋮$d => 1$⋮$d => d = 1 => dpcm