Giải VTH Toán 9 KNTT Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn Biểu thức chứa căn thức bậc hai đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có:

•\(\sqrt {\left( { - 5} \right).2} = \sqrt { - 5.2} .\)

•\(\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}.2} = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt 2 = \left| { - 5} \right|.\sqrt 2 = 5\sqrt 2 .\)

•\[ - \sqrt {{5^2}.2} = - \left( {\sqrt {{5^2}} .\sqrt 2 } \right) = - \left| 5 \right|\sqrt 2 = - 5\sqrt 2 .\]

•\(\sqrt {{{\left| 5 \right|}^2}.2} = \sqrt {{5^2}} .\sqrt 2 = \left| 5 \right|\sqrt 2 = 5\sqrt 2 .\)

Vậy phép biến đổi đúng là \( - 5\sqrt 2 = - \sqrt {{5^2}.2} .\)

Đáp án đúng là: D

Muốn trục căn thức ở mẫu của biểu thức \(\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}}\) ta cần nhân cả tử và mẫu của biểu thức đó với \(\left( {\sqrt 2 + 1} \right).\)

a) \(\sqrt {52} = \sqrt {4.13} = 2\sqrt {13} .\)

b) \(\sqrt {27a} = \sqrt {9.3a} = 3\sqrt {3a} \) (do a ≥ 0).

c) \(\sqrt {50\sqrt 2 + 100} = \sqrt {25\left( {2\sqrt 2 + 4} \right)} = 5\sqrt {2\sqrt 2 + 4} .\)

d) \(\sqrt {9\sqrt 5 - 18} = \sqrt {9\left( {\sqrt 5 - 2} \right)} = 3\sqrt {\sqrt 5 - 2} .\)

a) \(4\sqrt 3 = \sqrt {{4^2}.3} = \sqrt {16.3} = \sqrt {48} .\)

b) \( - 2\sqrt 7 = - \sqrt {{2^2}.7} = - \sqrt {4.7} = - \sqrt {28} .\)

c) \(4\sqrt {\frac{{15}}{2}} = \sqrt {{4^2}.\frac{{15}}{2}} = \sqrt {16.\frac{{15}}{2}} = \sqrt {120} .\)

d) \[ - 5\sqrt {\frac{{16}}{5}} = - \sqrt {{5^2}.\frac{{16}}{5}} = - \sqrt {25.\frac{{16}}{5}} = - \sqrt {80} .\]

a) \(2a.\sqrt {\frac{3}{5}} = 2a.\sqrt {\frac{{3.5}}{{{5^2}}}} = 2a.\frac{{\sqrt {15} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{2a\sqrt {15} }}{5}.\)

b) \[ - 3x.\sqrt {\frac{5}{x}} = - 3x.\sqrt {\frac{{5.x}}{{{x^2}}}} = - 3x.\frac{{\sqrt {5x} }}{x} = - 3\sqrt {5x} .\]

c) \( - \sqrt {\frac{{3a}}{b}} = - \sqrt {\frac{{3ab}}{{{b^2}}}} = \frac{{ - \sqrt {3ab} }}{b}.\)

a) \(\frac{{4 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left( {4 + 3\sqrt 5 } \right)\sqrt 5 }}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{{4\sqrt 5 + 15}}{5}.\)

b) \(\frac{1}{{\sqrt 5 - 2}} = \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}}} = \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{5 - 4}} = \sqrt 5 + 2.\)

c) \(\frac{{3 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }} = \frac{{3{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{3\left( {1 + 2\sqrt 3 + 3} \right)}}{{{1^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{3 + 6\sqrt 3 + 9}}{{1 - 3}} = \frac{{12 + 6\sqrt 3 }}{{ - 2}} = - 6 - 3\sqrt 3 .\)

d) \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 4 }}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt 6 - 2}}{{3 - 2}} = \sqrt 6 - 2.\)

a) \(2\sqrt {\frac{2}{3}} - 4\sqrt {\frac{3}{2}} = 2\sqrt {\frac{{2.3}}{{{3^2}}}} - 4\sqrt {\frac{{3.2}}{{{2^2}}}} \)

\( = \frac{2}{3}\sqrt 6 - 2\sqrt 6 = - \frac{4}{3}\sqrt 6 \).

b) \(\frac{{5\sqrt {48} - 3\sqrt {27} + 2\sqrt {12} }}{{\sqrt 3 }}\)

\( = \frac{{5\sqrt {48} }}{{\sqrt 3 }} - \frac{{3\sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }} + \frac{{2\sqrt {12} }}{{\sqrt 3 }}\)

\( = 5\sqrt {\frac{{48}}{3}} - 3\sqrt {\frac{{27}}{3}} + 2\sqrt {\frac{{12}}{3}} \)

\( = 5\sqrt {16} - 3\sqrt 9 + 2\sqrt 4 \)

= 5.4 – 3.3 + 2.2 = 20 – 9 + 4 = 15.

c) \[\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }} + \frac{{4\sqrt 2 - 4}}{{2 - \sqrt 2 }}\]

\[ = \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}} + \frac{{4\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}\]

\( = \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{{3^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{9 - 8}} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^3}\)

\( = 3 - 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 3.\)

Ta có \[A = \sqrt x \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right)\]

\[ = \sqrt x \cdot \frac{{3 - \sqrt x - \sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}\]

\[ = \sqrt x .\frac{{ - 2\sqrt x }}{{{3^2} - {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}} = \frac{{ - 2x}}{{9 - x}}.\]

a) Ta có \(7 - \sqrt 7 = {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} - \sqrt 7 = - \sqrt 7 \left( {1 - \sqrt 7 } \right)\) nên \(\frac{{7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} = - \sqrt 7 .\)

Tương tự, \(\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} = \sqrt 7 .\)

Do đó \(\left( {\frac{{7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\left( {\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\)

\( = \left( {\sqrt 3 - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\)

\( = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} = 3 - 7 = - 4.\)

b) Áp dụng quy tắc khai căn một thương và đưa thừa số ra ngoài dấu căn ta có

\(\sqrt {\frac{{27}}{{16}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4};\)\(\sqrt {\frac{{49}}{3}} = \frac{7}{{\sqrt 3 }};\)\(\sqrt {\frac{{48}}{{243}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{9\sqrt 3 }} = \frac{4}{9}.\)

Do đó

\(\frac{{28}}{3} \cdot \sqrt {\frac{{27}}{{16}}} - 3 \cdot \sqrt {\frac{{49}}{3}} - \frac{9}{4} \cdot \sqrt {\frac{{48}}{{243}}} \)

\( = \frac{{28}}{3} \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{4} - 3 \cdot \frac{7}{{\sqrt 3 }} - \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{9}\)

\( = 7\sqrt 3 - 7\sqrt 3 - 1 = - 1.\)

a) Nếu x < 0 thì không được tính \(\sqrt x ,\) nếu x = 4 thì phép chia cho x – 4 không thực hiện được và không tính được giá trị của biểu thức đã cho.

Nếu x không âm và khác 4 thì \(x - 2\sqrt x + 4 = {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + 3 > 0\) nên tất cả các phép toán có mặt trong biểu thức đã cho đều thực hiện được.

Vậy tập hợp các giá trị của biến x để tính được giá trị của biểu thức là {x ∈ ℝ | x ≥ 0, x ≠ 4}.

b) Với x không âm và khác 4 thì

\[x\sqrt x + 8 = {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {2^3} = \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 2\sqrt x + 4} \right)\] ;

\[\frac{{x\sqrt x + 8}}{{x - 2\sqrt x + 4}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 2\sqrt x + 4} \right)}}{{x - 2\sqrt x + 4}} = \sqrt x + 2.\]

Do đó \(A = \left( {\frac{{x\sqrt x + 8}}{{x - 2\sqrt x + 4}} - 2\sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)

\( = \left( {\sqrt x + 2 - 2\sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\( = \left( {2 - \sqrt x } \right).\frac{1}{{\sqrt x - 2}} = - 1.\)

Vậy với mọi giá trị của biến x tìm được trong câu a, biểu thức đã cho nhận giá trị không đổi.