Đáp án đúng là: A

(−0,5x²y).(2x²y − 6xy² + 3x − 2y + 4)

=(−0,5x²y).2x²y + (−0,5x²y).(− 6xy²) + (−0,5x²y).3x + (−0,5x²y).(− 2y) + (−0,5x²y).4

= −x⁴y² + 3x³y³ − 1,5x³y + x²y² − 2x²y.

a) 5x²y.2xy² = 10x³y³.

b)  $\frac{3}{4}xy.8x^3{y}^2=6x^4{y}^3.$

c) 1,5xy²z³.2x³y²z = 3x⁴y⁴z⁴.

a) (−0,5)xy² (2xy – x² + 4y) = (−0,5)xy² .2xy + 0,5xy² .x² − 0,5xy².4y

= −x²y³ + 0,5x³y² – 2xy³.

x(x² – y) – x²(x + y) + xy(x – 1)

= x . x² – x . y – x² . x – x² . y + xy . x – xy . 1

= x³ – xy – x³ – x²y + x²y – xy

= (x³ – x³) + (x²y – x²y) – (xy + xy) = –2xy.

a) (x² – xy + 1)(xy + 3)

= x² . xy – xy . xy + 1 . xy + x² . 3 – xy . 3 + 1 . 3

= x³y – x²y² + xy + 3x² – 3xy + 3

= x³y – x²y² + (xy – 3xy) + 3x² + 3

= x³y – x²y² – 2xy + 3x² + 3.

(x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7

= x.2x – 5.3 – 2x.5 + 3.x − 2x.x + 2x.3 + x + 7

= 2x² – 15 – 10x + 3x − 2x² + 6x + x + 7

= (2x² – 2x²) + (6x + x + 3x – 10x) + (7 – 15) = –8.

Vậy giá trị của (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7 luôn bằng −8, không phụ thuộc vào x.

Vế trái: (2x + y)(2x² + xy – y²)

= 2x . 2x² + 2x . xy – 2x . y² + y . 2x² + y . xy – y . y²

= 4x³ + 2x²y – 2xy² + 2x²y + xy² – y³

= 4x³ + (2x²y + 2x²y) + (xy² – 2xy²) – y³

= 4x³ + 4x²y – xy² – y³.

Vế phải: (2x – y)(2x² + 3xy + y²)

= 2x . 2x² + 2x . 3xy + 2x . y² – y . 2x² – y . 3xy – y . y²

= 4x³ + 6x²y + 2xy² – 2x²y – 3xy² – y³

= 4x³ + (6x²y – 2x²y) + (2xy² – 3xy²) – y³

= 4x³ + 4x²y – xy² – y³.

So sánh hai kết quả, ta có điều phải chứng minh.

Ta biến đổi biểu thức K như sau:

K = (5m + 1)(5n – 2) + (5m – 2)(5n + 1) + 4

= (25mn – 10m + 5n – 2) + (25mn + 5m – 10n – 2) + 4

= 50mn – 5m – 5n

= 5(10mn – m – n).

Từ kết quả trên, ta thấy K có dạng K = 5k, trong đó k = 10mn – m – n.

Ta thấy K luôn có giá trị là số nguyên tại mọi giá trị nguyên của m và n.

Do đó K luôn có giá trị là số nguyên chia hết cho 5.