Giải VBT Toán 7 Cánh diều Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án
18 câu hỏi
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng ………… với đoạn thẳng tại ………..... của đoạn thẳng ấy.
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.
- Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì …………...... hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
- Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
- Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì …………….. đường trung trực của đoạn thẳng đó.
- Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Biết AMB^ = AMC^ . Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Ta có: AMB^ = AMC^ (giả thiết);
AMB^ + AMC^ = 180o (hai góc kề bù)
Suy ra AMB^ = AMC^= 90o
Vậy đường thẳng AM vuông góc với đoạn thẳng BC tại trung điểm M của nó nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Hình 67 mô tả mặt cắt đứng của một ngôi nhà với hai mái là OA và OB, mái nhà bên trái dài 3 m. Tính chiều dài của mái nhà bên phải, biết rằng điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vì mái nhà bên trái dài 3 m nên OA = 3 m.
Do điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OB = OA = 3 m.
Vậy chiều dài của mái nhà bên phải là 3 m.
Cho tam giác ABC cân tại A.
a) Điểm A có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC không? Vì sao?
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC
Suy ra điểm A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
b) Đường thẳng qua A vuông góc với BC và cắt BC tại H. Đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC không? Vì sao?
b) Xét hai tam giác vuông ABH và ACH, ta có:
AB = AC, AH là cạnh chung.
Suy ra ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Do đó HB = HC. Vì đường thẳng AH vuông góc với đoạn thẳng BC tại trung điểm H của nó nên AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Trong Hình 69 đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh CAD^ = CBD^ .
Vì điểm C, D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên CA = CB, DA = DB
Xét hai tam giác CDA và CDB, ta có:
CA = CB, DA = DB, CD là cạnh chung.
Suy ra ∆CDA = ∆CDB (c.c.c). Do đó CAD^ = CBD^ (hai góc tương ứng)
Trong Hình 70 đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
a) AB // CD;
a) Vì a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD nên AB ⊥ a; CD ⊥a. Suy ra AB // CD.
b) ∆MNC = ∆MND;
b) Xét hai tam giác vuông MNC và MND, ta có:
NC = ND (giả thiết); MN là cạnh chung.
Suy ra ∆MNC = ∆MND (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
c) AMD^ = BMC^ ;
c) Vì ∆MNC = ∆MND nên DMN^ = CMN^ (1)
Ta có: AMD^ và DMN^ , BMC^ và CMN^ là các cặp góc kề nhau;
AMN^ = BMN^ = 90o
Suy ra AMD^ + DMN^ =AMN^ = 90o và BMC^ + CMN^ = BMN^ = 90o
Do đó AMD^ = 90o – DMN^ và BMC^ = 90o – CMN^ (2)
Từ (1) và (2) suy ra AMD^ = BMC^
d) AD = BC, A^ = B^ ;
d) Vì ∆MNC = ∆MND nên MC = MD
Xét hai tam giác AMD và BMC, ta có:
AM = BM (giả thiết),AMD^ = BMC^ , MD = MC (chứng minh ở trên)
Suy ra ∆AMD = ∆BMC (c.g.c)
Do đó AD = BC ( hai cạnh tương ứng); A^ = B^ (hai góc tương ứng)
e) ADC^ = BCD^ .
e) Vì ∆MNC = ∆MND nên MCN^ = MDN^(hai góc tương ứng)
Vì ∆BMC = ∆AMD nên BCM^ = ADM^ (hai góc tương ứng)
Suy ra MCN^ + BCM^ = MDN^+ADM^
Mà MCN^ và BCM^ , MDN^ và ADM^ là các cặp góc kề nhau nên từ đó suy ra:
ADC^=BCD^.
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Gọi a, b lần lượt là đường trung trực của đoạn thẳng AB và BC. Chứng minh rằng a // b.
- Vì a là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên a ⊥ AB (tính chất đường trung trực) suy ra a ⊥ AC.
- Vì b là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên b ⊥ BC (tính chất đường trung trực) suy ra b ⊥ AC.
Vì a và b cùng vuông góc với AC nên a // b.
Cho đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M không thuộc đường thẳng d và đoạn thẳng AB sao cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng MB tại điểm I. Chứng minh:
a) MB = AI + IM;
a) Vì điểm I thuộc đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên AI = BI.
Do đó: MB = BI + IM = AI + IM
b) MA < MB.
b) Xét tam giác MIA, ta có MA < AI + IM (bất đẳng thức tam giác)
mà AI + IM = MB (chứng minh trên), suy ra MA < MB.
Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AB < CD, AD = BC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Đường thẳng qua I song song với AD cắt đoạn thẳng KD tại M. Đường thẳng qua I song song với BC cắt KC tại N Hình 73. Chứng minh:
a) IM = IN;
Vẽ các đoạn thẳng IC, ID. Xét hai tam giác ADI và MID, ta có
ADI^ = DIM^ (hai góc so le trong);
ID là cạnh chung;
AID^ = IDM^(hai góc so le trong).
Suy ra ∆ADI = ∆MID (g.c.g). Do đó AD = MI, IA = DM (các cặp cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự ta có BC = IN, IB = NC
a) Vì AD = BC, AD = MI, BC = IN nên IM = IN.
b) IK là đường trung trực của hai đoạn thẳng AB và CD.
b) Vì IA = IB, IA = DM, IB = CN nên DM = CN. Mà KC = KD nên KM = KN.
Vì IM = IN và KM = KN nên IK là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Suy ra IK⊥ MN. Do đó IK ⊥ CD. Mà AB // CD nên IK ⊥ AB.
Vì IK ⊥ CD, KC = KD nên IK là đường trung trực của đoạn thẳng CD.
Vì IK ⊥ AB, IA = IB nên IK là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
