Bài tập Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án
12 câu hỏi
Hình 86 minh họa chiếc cân thăng bằng và gợi nên hình ảnh đoạn thẳng AB, đường thẳng d.
Đường thẳng d có mối liên hệ gì với đoạn thẳng AB?
Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đoạn thẳng AB.
Trên Hình 86, khi chiếc cân thăng bằng, ta có IA = IB.
Sử dụng thước ê ke ta kiểm tra được: d ⊥ AB.
Do đó đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm của AB khi chiếc cân thăng bằng.
Quan sát Hình 87.
a) So sánh hai đoạn thẳng IA và IB.
b) Tìm số đo của các góc I1, I2.
a) Ta thấy IA và IB đều có độ dài bằng 2 ô vuông.
Ta thấy IA = IB.
b) Sử dụng thước ê ke, ta kiểm tra được d⊥AD
Ta thấy d⊥AB nên I^1=90°,I^2=90°.
Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Biết AMB^=AMC^. Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc d, M khác O (Hình 90).
Chứng minh rằng:
a) ΔMOA=ΔMOB;
b) MA = MB.
a) Theo đề bài, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Nên MO ^ AB tại O
Do đó tam giác MOA vuông tại O và tam giác MOB vuông tại O.
Xét ΔMOA vuông tại O và ΔMOB vuông tại O có:
MO chung.
OA = OB (theo giả thiết).
Do đó ΔMOA=ΔMOB (hai cạnh góc vuông).
b) Do ΔMOA=ΔMOBnên MA = MB (hai cạnh tương ứng).
Hình 91 mô tả mặt cắt đứng của một ngôi nhà với hai mái là OA và OB, mái nhà bên trái dài 3 m. Tính chiều dài mái nhà bên phải, biết rằng điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên O cách đều hai đầu mút A và B.
Suy ra OA = OB (tính chất đường trung trực).
Do đó OA = OB = 3 m (chiều dài mái nhà bên trái OA = 3 m).
Vậy chiều dài mái nhà bên phải là 3 m.
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Giả sử M là một điểm khác O sao cho MA = MB.
a) Hai tam giác MOA và MOB có bằng nhau hay không? Vì sao?
b) Đường thẳng MO có là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay không? Vì sao?
a) Xét ΔMOA và ΔMOB có:
MO chung.
OA = OB (theo giả thiết).
MA = MB (theo giả thiết).
Do đó ΔMOA=ΔMOB (c - c - c).
Cho tam giác ABC cân tại A.
a) Điểm A có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?
b) Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt cạnh BC tại H. Đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?
a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Do AB = AC nên A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Vậy điểm A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
b) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có:
AB = AC (chứng minh trên).
AH chung.
Do đó ΔAHB=ΔAHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra HB = HC (hai cạnh tương ứng).
Mà H nằm giữa B và C nên H là trung điểm của BC.
Ta có AH vuông góc với BC tại trung điểm H của BC nên AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Vậy đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, biết AB = 3 cm.
Ta thực hiện như sau:
Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.
Bước 2. Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính 2 cm.
Bước 3. Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính 2 cm, cắt phần đường tròn tâm A vẽ ở Bước 2 tại các điểm C và D.
Bước 4. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Trong Hình 94, đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh CAD^=CBD^.
Gọi H là giao điểm của CD và AB.
Vì đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên các điểm nằm trên đường thẳng CD đều cách đều hai đầu mút A và B.
Khi đó CA = CB; DA = DB.
Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCHB vuông tại H có:
CH chung.
CA = CB (chứng minh trên).
Do đó ΔCHA=ΔCHB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra CAH^=CBH^ (hai góc tương ứng) (1).
Xét ΔDHA vuông tại H và ΔDHB vuông tại H có:
DH chung.
DA = DB (chứng minh trên).
Do đó ΔDHA=ΔDHB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra DAH^=DBH^ (hai góc tương ứng) (2).
Từ (1) và (2) suy ra CAH^−DAH^=CBH^−DBH^ hay CAD^=CBD^.
Vậy CAD^=CBD^.
Trong Hình 95, đường thẳng a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.
Chứng minh:
a) AB // CD;
b) ΔMNC=ΔMND;
c) AMD^=BMC^;
d) AD = BC, A^=B^;
e) ADC^=BCD^.
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Gọi a và b lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng AB và BC. Chứng minh rằng a // b.
a là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên a vuông góc với AB tại trung điểm của AB.
b là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên b vuông góc với BC tại trung điểm của BC.
Do A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên trung điểm của đoạn thẳng AB và trung điểm của đoạn thẳng BC không trùng nhau.
Khi đó, hai đường thẳng a, b phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng AC nên a // b.
Do đó a // b.
Cho đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M không thuộc đường thẳng d và đoạn thẳng AB sao cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng MB tại điểm I. Chứng minh:
a) MB = AI + IM;
b) MA < MB.
a) Vì đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB và d cắt MB tại I.
Suy ra I thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó AI = BI(tính chất đường trung trực).
Khi đó MB = BI + IM = AI + IM.
b) Xét trong tam giác AIM có AI + IM > MA (theo bất đẳng thức tam giác).
Mà AI + IM = MB nên MB > MA.
