Giải SGK Toán lớp 11 – KNTT – Tập 2 Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực có đáp án
33 câu hỏi
Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kì, tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền P với lãi suất r vào mỗi kì thì sau N kì, số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) được tính theo công thức lãi kép sau:
A = P(1 + r)N.
Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm.
Sau bài học, ta giải quyết được bài toán như sau:
Số tiền cả vốn lẫn lãi bác Minh thu được sau 3 năm là
100 ∙ (1 + 6%)3 = 119,1016 (triệu đồng).
Tính: (1,5)2; −233; 24.
Ta có: (1,5)2 = 1,5 ∙ 1,5 = 2,25.
−233=−23⋅−23⋅−23=−827.
24=2⋅2⋅2⋅2=2⋅2=4.
Một số dương x được gọi là viết dưới dạng kí hiệu khoa học nếu x = a ∙ 10m, ở đó 1 ≤ a < 10 và m là một số nguyên. Hãy viết các số liệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học:
a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg;
a) Ta có 5 980 000 000 000 000 000 000 000 = 5,98 ∙ 1024.
Vậy khối lượng của Trái Đất khoảng 5, 98 ∙ 1024 kg.
b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 62 kg.
b) Ta có 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 62 = 1,67262 ∙ 10– 27.
Vậy khối lượng của hạt proton khoảng 1,67262 ∙ 10– 27 kg.
a) Tìm tất cả các số thực x sao cho x2 = 4.
a) Ta có 4 = 22 = (– 2)2. Do đó, x2 = 4, suy ra x2 = 22 = (– 2)2. Vậy x = ± 2.
b) Tìm tất cả các số thực x sao cho x3 = − 8.
b) Ta có: − 8 = (− 2)3. Do đó, x3 = − 8, suy ra x3 = (− 2)3. Vậy x = − 2.
Số âm có căn bậc chẵn không? Vì sao?
Số âm không có căn bậc chẵn vì lũy thừa bậc chẵn của một số âm là số dương.
Tính:
a) −1253; b, 1814
a, −1253=−533=−5
b, 1814=1344=13
a) Tính và so sánh: −83⋅273 và −8⋅273.
a) Ta có −83⋅273=−233⋅333=−2⋅3=−6
và −8⋅273=−23⋅333=−2⋅333=−633=−6.
Vậy −83⋅273 = −8⋅273.
b) Tính và so sánh: −83273 và −8273.
b) Ta có −83273=−233333=−23
và −8273=−2333=−23.
Vậy −83273 = −8273.
Tính:
a) 53:6253;
a, 53:6253=56253=11253=1533=15
Tính: b)−2555 .
b, −2555=−555=−555=−5
Cho a là một số thực dương.
a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa a1n sao cho a1nn=a.
a) Ta có ann=a, mà a1nn=a nên a1nn=ann. Do đó, a1n=an.
b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa amn, với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho amn=a1nm.
b) Ta có amn=a1nm.
Theo câu a, ta có a1n=an nên amn=a1nm=anm=amn.
Vì sao trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?
Ta có a > 0 thì am > 0 với mọi số nguyên m. Khi đó luôn tồn tại căn bậc n của am với n là một số nguyên dương. Do đó, amn luôn xác định. Vậy trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta cần điều kiện cơ số a > 0.
Rút gọn biểu thức:
A=x32y+xy32x+y x, y>0.
Với x, y > 0, ta có A=x32y+xy32x+y=xyx12+y12x12+y12=xy.
Ta biết rằng 2 là một số vô tỉ và 2 = 1,4142135624...
Gọi (rn) là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số 2, với r1 = 1; r2 = 1,4; r3 = 1,41;
r4 = 1,4142;...
a) Dùng máy tính cầm tay, hãy tính: 3r1; 3r2; 3r3; 3r4 và 32.
a) Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:
3r1=31=3;
3r2=31,4=4,655536722;
3r3=31,41=4,706965002;
3r4=31,4142=4,72873393;
32=4,728804388.
b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa 32 và 3rn, tức là 32−3rn, khi n càng lớn?
b) Ta có:
32−3r1=4,728804388−3=1,728804388;
32−3r2=4,728804388−4,655536722=0,073267666;
32−3r3=4,728804388−4,706965002=0,021839386;
32−3r4=4,728804388−4,72873393=0,000070458
Vậy sai số tuyệt đối giữa 32 và 3rn là giảm dần khi n càng lớn.
Rút gọn biểu thức:
A=a2−11+2a5−1⋅a3−5 a>0.
Với a > 0, ta có A=a2−11+2a5−1⋅a3−5=a2−11+2a5−1+3−5=a22−1a2=a1a2=1a.
Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Số tiền cả vốn lẫn lãi bác Minh thu được sau 3 năm là
100 ∙ (1 + 6%)3 = 119,1016 (triệu đồng).
Tính:
a) 15−2; b) 432;
a) 15−2=52=25.
b) 432=43=64=8.
Tính:
c) 18−23; d) 116−0,75.
c) 18−23=823=823=2323=2233=22=4.
d) 116−0,75=160,75=1634=1634=2434=2344=23=8.
Thực hiện phép tính:
a) 2723+81−0,75−250,5;
a) 2723+81−0,75−250,5
=3323+34−34−5212
= 32 + 3– 3 – 5
= 9 + 127 – 5
= 10927.
Thực hiện phép tính:
b) 42−37⋅827.
b) 42−37⋅827
=222−37⋅2327
=24−67⋅267
=24−67+67=24=16.
Rút gọn các biểu thức sau:
a) A=x5y−2x3y x, y≠0;
a, A=x5y−2x3y=x5−3y1+2=x2y3
Rút gọn các biểu thức sau:
b) B=x2y−3x−1y4−3 x, y≠0.
b, B=x2y−3x−1y4−3=x2y−3x−1−3y4−3=x2y−3x3y−12=x2−3y−3−−12=x−1y9=y9x
Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A=x13y+y13xx6+y6;
a, A=x13y+y13xx6+y6=x13y12+y13x12x16+y16=x13y13 x16+y16x16+y16=x13y13
Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
b) B=x3y3−13+1⋅x−3−1y−2.
b, B=x3y3−13+1⋅x−3−1y−2=x3⋅3+1y3−13+1⋅x−3−1y−2=x3+3y2⋅x−3−1y−2
=x3+3−3−1y2+−2=x2y0=x2
Chứng minh rằng:
4+23−4−23=2.
Ta có 4+23−4−23=1+23+32−1−23+32
=1+32−1−32 =1+3+1−3=2 (do 1−3<0).
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:
a) 563 và 536;
a) Ta có 63=36⋅3=36⋅3=108 và 36=9⋅6=9⋅6=54.
Vì 108 > 54 > 0 nên 108>54 hay 63>36.
Lại có 5 > 1 nên 563 > 536.
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:
b) 12−43 và 2⋅223.
b) Ta có 12−43=243 và 2⋅223=212⋅223=212+23=276.
Do 2 > 1 và 43=86>76 nên 243>276, tức là 12−43 > 2⋅223.
Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r (được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:
A=P1+rnN.
Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?
Ta có P = 120, r = 5% = 0,05.
Do bác An gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng nên được tính lãi 2 lần trong một năm, tức là n = 2. Sau 2 năm thì ta được 4 lần tính lãi nên N = 4.
Vậy số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 2 năm là
120⋅1+0,0524≈132,46 (triệu đồng).
Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức A=19⋅2t30. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).
Thay t = 20 vào công thức A=19⋅2t30 ta được
A=19⋅22030≈30 (triệu người).
Vậy sau 20 năm nữa kể từ năm 2021, dân số của quốc gia đó là khoảng 30 triệu người.
