Giải SGK Toán 9 Cánh diều Bài 5. Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên có đáp án
18 câu hỏi
Hình 65 mô tả một chiếc quạt giấy.
Hình phẳng được tô màu đỏ ở Hình 65 được gọi là hình gì và diện tích của hình đó được tính như thế nào?
Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Hình phẳng được tô màu đỏ ở Hình 65 được gọi là hình quạt tròn (hình quạt), hình này là một phần hình tròn giới hạn bởi cung tròn AB và hai bán kính OA, OB.
Giả sử hình quạt tròn AOB, tâm O, bán kính R và cung tương ứng với hình quạt có số đo n°.
Diện tích của hình quạt đó là: S=πR2n360 (đơn vị diện tích).
Lấy một vòng tròn không dãn có dạng hình tròn (Hình 66a), cắt vòng dây và kéo thẳng vòng dây đó để nhận được sợi dây như ở Hình 66b.
Đo chiều dài sợi dây đó.
Ta nói chiều dài sợi dây bằng chu vi của đường tròn.
HS thực hiện hoạt động theo hướng dẫn của GV và SGK.
Tính chu vi của đường tròn bán kính 5 cm (theo đơn vị centimet và làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Chu vi của đường tròn là: C = 2π.5 = 10π ≈ 31,4 (cm).
a) Đánh dấu hai điểm A, B trên một vòng dây không dãn có dạng đường tròn (Hình 67a), cắt cung AB của vòng dây và kéo thẳng cung đó để nhận được sợi dây như ở Hình 67b.
Đo chiều dài sợi dây đó.
Ta nói chiều dài sợi dây bằng độ dài của cung tròn AB.
b) Ta coi mỗi đường tròn bán kính R là một cung tròn có số đo 360°. Chia đường tròn đó thành 360 phần bằng nhau, mỗi phần là cung tròn có số đo bằng 1°; chu vi của đường tròn khi đó cũng được chia thành 360 phần bằng nhau. Tính theo R:
⦁ Độ dài của cung có số đo 1°;
⦁ Độ dài của cung có số đo n°.
a) HS thực hiện hoạt động theo hướng dẫn của GV và SGK.
b) Độ dài của cung tròn có số đo 360° chính là chu vi của đường tròn bán kính R và bằng 2πR.
Độ dài của cung có số đo 1° là: 2πR360=πR180.
Độ dài của cung có số đo n° là n⋅πR180=πRn180.
Một con lắc di chuyển từ vị trí A đến vị trí B (Hình 69). Tính độ dài quãng đường AB mà con lắc đó đã di chuyển, biết rằng sợi dây OA có độ dài bằng l và tia OA tạo với phương thẳng đứng góc α.
Ta có AOB^=2α là số đo của cung AB.
Độ dài quãng đường AB mà con lắc đó đã di chuyển là: π⋅1⋅2α180=απ90.
Vẽ đường tròn (O; 2 cm) và các điểm A, B thỏa mãn OA < 2 cm, OB = 2 cm. Nêu nhận xét về vị trí các điểm A, B so với đường tròn (O; 2 cm).
Ta có:
⦁ OA < 2 cm nên A nằm trong đường tròn (O; 2 cm);
⦁ OB = 2 cm nên B nằm trên đường tròn (O; 2 cm).
Quan sát Hình 71, hãy cho biết phần hình tròn (O) tô màu xanh được giới hạn bởi hai bán kính và cung nào?
Phần hình tròn (O) tô màu xanh được giới hạn bởi hai bán kính OA, OB và cung AmB.
Cho hình quạt COD giới hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung CqD sao cho OC = CD (Hình 74). Hãy tìm số đo cung CqD ứng với hình quạt đó.
Xét ∆OCD có OC = OD = CD nên ∆OCD là tam giác đều, do đó COD^=60°.
Vì góc COD là góc ở tâm chắn cung nhỏ CD nên sđCD⏜=COD^=60°.
Do đó sđCqD⏜=360°−sđCD⏜=360°−60°=300°.
Ta coi mỗi hình tròn bán kính R là một hình quạt có số đo 360°. Tính diện tích hình quạt tròn tâm O, bán kính R, biết số đo cung ứng với hình quạt tròn đó là:
a) 1°;
b) n° (Hình 75).
a) Diện tích của hình tròn bán kính R là S = πR2.
Cả đường tròn có số đo là 360° nên diện tích hình quạt tròn tâm O, bán kính R cung số đo 1° là: S=πR2360.
b) Diện tích hình quạt tròn tâm O, bán kính R cung số đo n° là: S=πR2⋅n360.
Hình quạt tô màu đỏ ở Hình 65 có bán kính bằng 2 dm và góc ở tâm bằng 150°.
a) Tính diện tích của hình quạt đó.
b) Tính chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó.
a) Diện tích hình quạt đó là: S=π⋅22⋅150360=5π3 (dm2).
b) Ta có S=lR2, suy ra l=2SR=2⋅5π32=5π3 (dm).
Vậy độ dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó là: 5π3 (dm).
a) Hình 80 mô tả một phần bản vẽ của chi tiết máy. Hình đó giới hạn bởi mấy đường tròn cùng tâm?
b) Hãy vẽ một hình tương tự Hình 80 bằng cách vẽ các đường tròn (O; 2 cm) và (O; 3 cm). Tính hiệu diện tích của hai hình tròn đó.
a) Hình chi tiết máy được giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm.
b)
Diện tích hình tròn tâm O bán kính 3 cm là: π.32 = 9π (cm2).
Diện tích hình tròn tâm O bán kính 2 cm là: π.22 = 4π (cm2).
Hiệu diện tích của hai hình tròn đó là: 9π – 4π = 5π (cm2).
Tính diện tích của hình vành khuyên đó giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là 2,5 cm; 2 cm.
Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm O và có bán kính lần lượt là 2,5 cm; 2 cm được tô màu xanh như hình vẽ dưới đây:
Diện tích của hình vành khuyên tô màu xanh là: S=π2,52−22=9π4 (cm2).
Quan sát các hình 83, 84, 85, 86.
a) Tính diện tích phần được tô màu mỗi hình đó.
a) ⦁ Hình 83: Diện tích hình quạt tròn có bán kính 2 cm, số đo cung 40° là: S=π⋅22⋅40360=49π (cm2).
Vậy diện tích phần được tô màu là: 49π (cm2).
⦁ Hình 84: Diện tích hình tròn có bán kính 2 cm là S1 = π.22 = 4π (cm2).
Diện tích hình quạt tròn có bán kính 2 cm, số đo cung 72° là:S2=π⋅22⋅72360=45π (cm2).
Vậy diện tích phần được tô màu là: S=S1−S2=4π−45π=165π (cm2).
⦁ Hình 85: Diện tích phần được tô màu chính là diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm bán kính 24 cm và 6 cm, và bằng:
S = π.(242 – 62) = 540π (cm2).
⦁ Hình 86: Đường tròn nhỏ bên trong có bán kính là 19 cm. Đường tròn to bên ngoài có bán kính là 2.19 = 38 cm.
Diện tích phần được tô màu chính là nửa diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính 38 cm và 19 cm, và bằng: S=12π⋅382−192=1 083π2 (cm2).
b) Tính độ dài cung tròn được tô màu xanh ở mỗi hình 83, 84.
b) Tính độ dài cung tròn theo công thức l=πRn180.
⦁ Hình 83: Số đo cung tròn được tô màu xanh là: 360° – 40° = 320°.
Độ dài cung tròn được tô màu xanh là: l=π⋅2⋅320180=32π 9(cm).
⦁ Hình 84: Độ dài cung tròn được tô màu xanh là: l=π⋅2⋅72180=4π5 (cm).
Hình87 mô tả mặt cắt của chiếc đèn led có dạng hình vành khuyên màu trắng với bán kính các đường tròn lần lượt là 15 cm, 18 cm, 21 cm, 24 cm. Tính diện tích hai hình vành khuyên đó.
Diện tích hình vành khuyên bên trong là: S1 = π(182 – 152) = 99π (cm2).
Diện tích hình vành khuyên bên ngoài là S1 = π(242 – 212) = 135π (cm2).
Hình 88 mô tả mặt cắt của một khung gỗ có dạng ghép của năm hình: hai nửa hình tròn đường kính 2 cm; hai hình chữ nhật kích thước 2 cm × 8 cm (Hình 88b); một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính lần lượt là 4 cm và 6 cm. Tính diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó.
Tổng diện tích hai nửa hình tròn đường kính 2 cm (bán kính 1 cm) chính là diện tích của một hình tròn bán kính 1 cm, và bằng: S1 = π.12 = π (cm2).
Tổng diện tích hai hình chữ nhật kích thước 2 cm × 8 cm là: S2 = 2.(2.8) = 32 (cm2).
Diện tích một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính lần lượt là 4 cm và 6 cm là:
Diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó là: S3=14⋅π62−42=5π (cm2).
S = S1 + S2 + S3 = π + 32 + 5π = 6π + 32 (cm2).
Khi đóng đáy thuyền cho những con thuyền vượt biển, người Vikings sử dụng hai loại nêm: nêm góc và nêm cong (lần lượt tô màu xanh, màu đỏ trong Hình 89). Mặt cắt ABCD của nêm góc có dạng hai tam giác vuông OAE, ODE bằng nhau với cạnh huyền chung và bỏ đi hình quạt tròn OBC (Hình 90), được làm từ những thân cây mọc thẳng. Mặt cắt MNPQ của nêm cong có dạng một phần của hình vành khuyên (Hình 91), được làm từ những thân cây cong. Kích thước của nêm cong được cho như ở Hình 91.
a) Diện tích của nêm cong là bao nhiêu centimét vuông (lấy 1 ft = 30,48 cm, 1 in = 2,54 cm và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đổi 3ft = 91,44 cm; 6 in = 15,24 cm.
a) Bán kính IQ là 91,44 + 15,24 = 106,68 (cm).
Diện tích của nêm cong MNPQ là:
S = π(106,682 – 15,242) = 11148,3648π (cm2) ≈ 35 024 (cm2).
b) Cần phải biết những kích thước nào của nêm góc để tính được diện tích của nêm đó?
b) Diện tích nêm góc ABCD là:
Snem goc=2SΔAOE−Shq OBC=2⋅12OA⋅AE−π⋅OB2⋅sđBC⏜360
=OA⋅AE−π⋅OB2⋅BOC^360=OA⋅AE−π⋅OB2⋅2AOE^360.
Xét ∆OAE vuông tại A, ta có: AE=OA⋅tanAOE^.
Do đó Snem goc=OA⋅OA⋅tanAOE^−π⋅OB2⋅2AOE^360
=OA2⋅tanAOE^−π⋅OB2⋅2AOE^360.
Vậy để tính được diện tích của nêm góc ABCD, ta cần biết những kích thước: OB, OA và số đo góc AOE.
