Giải SBT Toán 9 Cánh Diều Bài 5. Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

⦁ Chu vi của đường tròn bán kính R là: C = 2πR.

⦁ Độ dài của cung tròn có số đo n° trong đường tròn bán kính R là: l=πRn180, suy ra n=180lπR.

⦁ Diện tích của hình tròn bán kính R là: S = πR², suy ra R=Sπ.

⦁ Diện tích của hình quạt tròn bán kính R, cung có số đo n° là S=πR2n360=lR2, suy ra n=360SπR2 và l=2SR.

Áp dụng các công thức trên, ta hoàn thành được bảng như sau:

Bán kính đường tròn (R)	Chu vi đường tròn (C)	Diện tích hình tròn (S)	Số đo của cung tròn (no)	Độ dài của cung tròn có số đo no	Diện tích của hình quạt tròn có số đo no
2 cm	12,56 cm	12,56 cm2	135°	4,71 cm	4,71 cm2
0,6 cm	3,768 cm	1,1304 cm2	120°	1,256 cm	0,3768 cm2
4 cm	25,12 cm	50,24 cm2	45°	3,14 cm	6,28 cm2
3 cm	18,84 cm	28,26 cm2	12°	0,628 cm	0,942 cm2

a) Quãng đường Mặt Trăng quay một vòng quanh Trái Đất chính là chu vi của đường tròn bán kính khoảng 385 nghìn km, và bằng: 2π . 385 000 = 770 000π (km).

Quãng đường đi được của Mặt Trăng sau 1 ngày khoảng: 770  000π27,3≈89  000  ( km).

b) Mặt Trăng đi được quãng đường khoảng 770 000π km sau 27,3 ngày nên ta có tốc độ của Mặt Trăng khoảng:770  000π⋅100027,3⋅24⋅60⋅60≈1  026  ( m/s).

Do ABCD là hình thoi nên A^=C^. Đặt A^=C^=n°.

Độ dài của cung nhỏ BD của đường tròn (A) là:l1=π⋅5⋅n180  (cm).

Độ dài của cung nhỏ EF của đường tròn (C) là: l2=π⋅3⋅n180  (cm).

Vậy tỉ số độ dài của cung nhỏ BD của đường tròn (A) và cung nhỏ EF của đường tròn (C) là l1l2=π⋅5⋅n180:π⋅3⋅n180=53.

a) Ta có O, O’ lần lượt là trung điểm của AB, AE, mà AB = AE nên AO = AO’ = a.

Mà M là giao điểm của (O) và (O’) nên OM = OA và O’M = O’A.

Do đó OA = OM = O’A = O’M  = a, nên AOMO’ là hình thoi

Lại có OAO'^=90° nên AOMO’là hình vuông. Suy ra AOM^=AO'M^=90°.

Do đó, độ dài cung AmM và cung AnM tương ứng của đường tròn (O) và (O’) cùng bằng πa⋅90180=πa2.

b)

Nối A với M. Khi đó diện tích của phần tô màu xám bằng 2 lần diện tích phần tô màu đỏ tạo bởi dây AM và cung AmM của đường tròn (O), và bằng 2 lần hiệu diện tích của hình quạt tròn bán kính a, cung có số đo 90° và diện tích tam giác OAM.

Diện tích của hình quạt tròn bán kính a, cung có số đo 90° là:

πa2⋅90360=πa24 (đơn vị diện tích).

Diện tích của tam giác OAM là: 12OA⋅OM=a22 (đơn vị diện tích).

Diện tích của phần tô màu đỏ là: πa24−a22=π−2a24 (đơn vị diện tích).

Vậy diện tích của phần tô màu xám là:

2⋅π−2a24=π−2a22 (đơn vị diện tích).

Do AM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên AM ⊥ OM tại M.

Xét tam giác OAM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OM² + AM²

Suy ra AM=OA2−OM2 và cosAOM^=OMOA=R2R=12

Do đó AM=2R2−R2=3R2=R3 và AOM^=60°.

Xét ∆OAM (vuông tại M) và ∆OBM (vuông tại M) có:

OA = OB, cạnh OM chung 

Do đó ∆OAM=∆OBM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra AM=BM=AB2 và AOM^=BOM^=AOB^2.

Nên AB=2AM=2R3 và AOB^=2AOM^=2⋅60°=120°.

Do AM, AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OA là tia phân giác của góc MON, suy ra MON^=2AOM^=2⋅60°=120°.

Ta có:

⦁S₁ = Diện tích hình quạt tròn AOB‒ Diện tích tam giác OAB

Suy ra S1=π2R2⋅120360−12⋅R⋅2R3=R24π3−3;

⦁S₂ =2. Diện tích tam giác OAM ‒ Diện tích hình quạt tròn MON

Suy ra S2=2⋅12⋅R⋅R3−πR⋅120360=R23−π3;

⦁S₃ = Diện tích hình tròn (O; R) = πR².

Khi đó S1+ S2=R24π3−3+R23−π3

                        =R24π3−3+3−π3=πR2=S3.

Vậy S₁+S₂=S₃.

Xét tứ giác ANO’Q có: ANO'^+AQO'^+NO'Q^+NAQ^=360°

Suy ra NO'Q^=360°−ANO'^−AQO'^−NAQ^=360°−90°−90°−60°=120°.

Tương tự, trong tứ giác AMOP ta cũng có MOP^=120°.

Khi đó số đo của cung nhỏ NQ trong (O’) bằng 120° và số đo của cung lớn MP trong (O) bằng 360° – 120° = 240°.

Độ dài cung nhỏ NQ là: l1=πa⋅120180=2πa3.

Độ dài cung lớn MP là: l2=π⋅4a⋅240180=16πa3.

Do AM, AP là hai tiếp tuyến của (O) nên AM = AP và AO là tia phân giác của MAP.

Nên OAM^=12MAP^=12⋅60°=30°.

Xét ∆OAM vuông tại M có AM=OM⋅cotOAM^.

Do AN, AQ là hai tiếp tuyến của (O’) nên AN = AQ và AO’ là tia phân giác của MAP.

Khi đó AO và AO’ trùng nhau.

Xét ∆O’AN vuông tại N có AN=O'N⋅cotO'AN^=O'N⋅cotOAM^.

Ta có: MN=PQ=AM−AN=OM⋅cotOAM^−O'N⋅cotOAM^

                 =OM−O'N⋅cotOAM^=4a−a⋅cot30°=3a3.

Độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc là:

 2πa3+16πa3+2⋅3a3=6aπ+3.

Ta có OP=OQ=AB2=102=5  (cm)  và O'P=O'Q=CD2

Mà AB = CD (do ABCD là hình chữ nhật) nên OP = OQ = O’P = O’Q = 5 cm.

Do đó POQO’ là hình thoi.

Mặt khác, đường tròn tâm H đường kính PQ tiếp xúc với AB tại O nên POQ^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó POQ^=90°.

Suy ra hình thoi POQO’ là hình vuông.

Diện tích hình quạt tròn POQ là: S1=π⋅52⋅90360=25π4   cm2.

Diện tích tam giác OPQ là:

S2=12⋅Diện tích hình vuông POQO’ = 12⋅52=252 (cm²).

Diện tích phần hình tạo bởi cung nhỏ PQ của đường tròn (O) và dây PQ là: S3=S1−S2=254π−2  (cm2).

Diện tích phần chung của hai nửa đường tròn (O) và (O’) là: S=2S3=252π−2  (cm2).

Diện tích mặt bàn là: 1,8.1,2 + π.0,6² = 2,16 + 0,36π (cm²).

Số tiền bác Long phải trả để làm được mặt bàn đó là:

100 000.(2,16 + 0,36π) ≈ 329 000 (đồng).

Diện tích mặt cắt của hai phần chi tiết có dạng hình chữ nhật là:

2 . (15 . 5) = 150 (cm²)

Diện tích của phần chi tiết có dạng nửa hình vành khuyên là: 12π⋅152−102=1252π  (cm2).

Diện tích mặt cắt của chi tiết máy ép nhựa đó là: 150+1252π≈346,35 cm2.

a) Xét ∆OAB cân tại O (do OA = OB) có OO’ là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác

Do OO’ là đường trung tuyến của ∆OAB nên O’ là trung điểm của AB, suy ra AB = 2AO’.

Do OO’ là đường phân giác của ∆OAB nên AOM^=BOM^, suy ra AOD^=BOC^.

Do O’ là trung điểm của OM nên OO'=12OM=12⋅8=4 cm.

Xét ∆OO’A vuông tại O’, có:

⦁ cosAOO'^=OO'OA=48=12.

Suy ra AOM^=60°, do đó AOD^=BOC^=30°.

⦁AO'=OA⋅sinAOO'^=8⋅sin60°=8⋅32=43  (cm).

Diện tích tam giác OAB là:S1=12OO'⋅AB=12⋅4⋅83=163  cm2.

Trong đường tròn (O), có AOD^=BOC^=30° nên diện tích hình quạt tròn AOD và diện tích hình quạt tròn BOC bằng nhau và bằng: S2=π⋅82⋅30360=16π3  cm2.

Diện tích phần hình giới hạn bởi dây AB, cung nhỏ AD, đường kính CD và cung nhỏ BC của đường tròn (O) là: S3=S1+2S2=163+2⋅16π3≈ 61 cm2.

b) Diện tích của phần tô màu xám bằng hiệu diện tích của hình tròn (O’) và hình tròn (O), và bằng:

π.16² ‒ π.8² =192π ≈ 603 (cm²).