Giải SGK Toán 12 CTST Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản có đáp án
30 câu hỏi
Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình v (km/h) theo công thức: Cv=16 000v+52v 0<v≤120.
Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của C(v) theo v, người ta đã vẽ đồ thị hàm số C = C(v) như hình bên. Làm thế nào để vẽ được đồ thị hàm số này?
Sau bài học này, ta khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số C = C(v).
– Tập xác định: D = (0; 120].
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
Đạo hàm C'(v) = −16 000v2+52=5v−80v+802v2;
C'(v) = 0 ⇔ v = – 80 (loại) hoặc v = 80.
Trên khoảng (0; 80), C'(v) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Trên khoảng (80; 120), C'(v) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại v = 80, CCT = C(80) = 400.
+ Giới hạn vô cực và tiệm cận: limv→0+Cv=limv→0+16 000v+52v=+∞ nên đường thẳng v = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+ Bảng biến thiên:
– Đồ thị:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (80; 400) và đi qua các điểm (40; 500), (100; 410), 120; 1 3003 như hình dưới đây.
Cho hàm số y = – x2 + 4x – 3.
a) Lập bảng biến thiên.
a) Xét hàm số y = – x2 + 4x – 3.
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có y' = – 2x + 4;
y' = 0 ⇔ – 2x + 4 = 0 ⇔ x = 2.
Bảng biến thiên:
Cho hàm số y = – x2 + 4x – 3.
b) Vẽ đồ thị của hàm số.
b) Hàm số đã cho là hàm số bậc hai có hệ số a = – 1 nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới, có đỉnh I(2; 1), đi qua các điểm (0; – 3), (1; 0), (3; 0) và (4; – 3).
Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = – 2x3 – 3x2 + 1;
a) y = – 2x3 – 3x2 + 1
1. Tập xác định: ℝ.
2. Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = – 6x2 – 6x; y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 0.
Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (0; + ∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Trên khoảng (– 1; 2), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1 và yCT = 0.
Các giới hạn tại vô cực: limx→−∞y=limx→−∞x3−2−3x+1x3=+∞; limx→+∞y=limx→+∞x3−2−3x+1x3=−∞.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.
Ta có y = 0 ⇔ – 2x3 – 3x2 + 1 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 12.
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (– 1; 0) và 12; 0.
Điểm (0; 1) là điểm cực đại và điểm (– 1; 0) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I−12; 12.
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
b) y = x3 + 3x2 + 3x + 2.
b) y = x3 + 3x2 + 3x + 2
1. Tập xác định: ℝ.
2. Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = 3x2 + 6x + 3 = 3(x + 1)2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;
y' = 0 ⇔ x = – 1.
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).
Hàm số đã cho không có cực trị.
Các giới hạn tại vô cực: limx→−∞y=limx→−∞x31+3x+3x2+2x3=−∞; limx→+∞y=limx→+∞x31+3x+3x2+2x3=+∞.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Khi x = 0 thì y = 2 nên (0; 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.
Ta có y = 0 ⇔ x3 + 3x2 + 3x + 2 = 0 ⇔ x = – 2.
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 2; 0).
Đồ thị của hàm số đi qua các điểm (– 2; 0), (– 1; 1) và (0; 2).
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(– 1; 1).
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y=x+1x−1;
3. Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 1; 0), giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = 1.
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
b) y=2x3x−1;
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
c) y=5+x2−x.
3. Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 5; 0), giao với trục Oy tại điểm 0; 52.
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(2; – 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 2 và y = – 1.
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y=x−1x;
3. Đồ thị:
Ta có y = 0 ⇔ x−1x=0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = – 1 hoặc x = 1.
Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 1; 0) và điểm (1; 0).
Đồ thị hàm số không cắt trục Oy.
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gốc tọa độ O(0; 0). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 (trục Oy) và y = x.
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
b) y=−x+2−1x+1;
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
c) y=−x2−x+2x+1.
Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính (d > 0), d' là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì d' > 0, ảnh ảo thì d' < 0). Ta có công thức:
1f=1d+1d' hay d'=dfd−f.
(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182, 187).
Xét trường hợp f = 3, đặt x = d, y = d'. Ta có hàm số y=3xx−3 và x ≠ 3.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật,
ảnh ảo.
b)
Để vật là ảnh thật thì d' > 0, tức là y > 0.
Quan sát đồ thị hàm số y=3xx−3, ta thấy trên khoảng (3; + ∞), đồ thị hàm số nằm phía trên trục Ox nên y > 0 trên khoảng này. Vậy với x > 3, tức d > 3 hay khoảng cách từ vật đến thấy kính lớn hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh thật.
Để vật là ảnh ảo thì d' < 0, tức là y < 0.
Quan sát đồ thị hàm số y=3xx−3, ta thấy trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số nằm phía dưới trục Ox nên y < 0 trên khoảng này. Vậy với x ∈ (0; 3), tức d ∈ (0; 3) hay khoảng cách từ vật đến thấu kính lớn hơn 0 và nhỏ hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh ảo.
c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào?
c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm, tức vị trí A tiến gần đến vị trí F, thì khoảng cách AF dần tiến tới 0, hay d – f → 0, suy ra d → f, tức là x → 3.
Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.
Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.
a) Hãy biểu thị y theo x.
a) Thể tích của hình hộp chữ nhật cần chế tạo là: V = 2xy (cm3).
Theo bài ra ta có V = 500 cm3, khi đó 2xy = 500, suy ra y = 250x.
b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là: Sx=500+4x+1000x.
b) Diện tích xung quanh của chiếc hộp là
Sxq = 2(x + y) ∙ 2 = 4(x + y) (cm2).
Diện tích toàn phần của chiếc hộp là
Stp = Sxq + 2Sđ = 4(x + y) + 2xy (cm2)
Lại có y = 250x nên Stp = 4x+250x+2x⋅250x=4x+1000x+500.
Vậy diện tích toàn phần của chiếc hộp là Sx=500+4x+1000x.
c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; + ∞).
d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = x3 + x – 2;
a) y = x3 + x – 2
1. Tập xác định: ℝ.
2. Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = 3x2 + 1; y' > 0 với mọi x ∈ ℝ.
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).
Các giới hạn tại vô cực: limx→−∞y=limx→−∞x31+1x2−2x3=−∞; limx→+∞y=limx→+∞x31+1x2−2x3=+∞.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Khi x = 0 thì y = – 2 nên (0; – 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.
Ta có y = 0 ⇔ x3 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1.
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0).
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(0; – 2).
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
b) y = 2x3 + x2 – 12x – 3.
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2.
a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y" = 0.
a) Xét hàm số y = x3 – 3x2 + 2. Tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Ta có y' = 3x2 – 6x; y" = 6x – 6;
y" = 0 ⇔ x = 1.
Với x = 1, ta có y(1) = 0.
Vậy I(1; 0).
b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
b) Ta có y' = 0 ⇔ 3x2 – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Bảng biến thiên:
Do đó, hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là yCĐ = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là yCT = – 2.
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (0; 2) và (2; – 2).
Ta thấy 0+22=12+−22=0. Vậy điểm I(1; 0) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = 3 + 1x;
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
b) y=x−31−x.
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y=x2−2x+2x−1;
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
b) y=2x−11−2x.
Cho hàm số y=−x2+3x+1x+2.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm tọa độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?
Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình 11).
Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.
a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.
a) Sau khi cắt bốn góc tấm bìa và dựng thành chiếc hộp không nắp, khi đó chiếc hộp dựng thành có dạng hình hộp chữ nhật với các kích thước là x, 6 – 2x và 6 – 2x (dm).
Rõ ràng x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 3.
Thể tích của chiếc hộp là V(x) = x(6 – 2x)2 (dm3) (0 < x < 3).
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được.
Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
b) Xét hàm số V(x) = x(6 – 2x)2 với x ∈ (0; 3).
1. Tập xác định: D = (0; 3).
2. Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
Đạo hàm V'(x) = (6 – 2x)2 + x ∙ 2(6 – 2x) ∙ (– 2) = (6 – 2x)(6 – 6x).
Trên khoảng (0; 3), ta có V'(x) = 0 ⇔ x = 1.
Trên khoảng (0; 1), V'(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
Trên khoảng (1; 3), V'(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Hàm số có một điểm cực trị là điểm cực đại tại x = 1, yCĐ = 16.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 16) và (2; 8).
Đồ thị hàm số V(x) trên khoảng (0; 3) được biểu diễn như hình dưới đây.
Từ đó, ta thấy để tìm được độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất, ta cần tìm x0 ∈ (0; 3) sao cho V(x0) có giá trị lớn nhất.
Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy trong khoảng (0; 3) hàm số có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất là max0; 3Vx=16.
Vậy độ dài cạnh của hình vuông cần cắt bỏ là 1 dm thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất.
