Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản có đáp án

a) y = x(x² – 4x) = x³ – 4x²

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = 3x² – 8x

           y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = \(\frac{8}{3}\).

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và \(\left( {\frac{8}{3}; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{8}{3}} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = \(\frac{8}{3}\), y_CT = \( - \frac{{256}}{{27}}\).

Đồ thị hàm số:

b) y = −x³ + 3x² – 2

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = −3x² + 6x

           y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y_CĐ = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = −2.

Đồ thị hàm số:

a) Khi m = −1 ta được: y = −2x³ – x – 2.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = −6x² – 1

           y' = 0 phương trình vô nghiệm.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên ℝ.

Hàm số không cực trị.

Đồ thị hàm số

b) Ta có: y = (m – 1)x³ + 2(m + 1)x² – x + m – 1               

               y' = 3(m – 1)x² + 4(m + 1)x – 1

               y'' = 6(m – 1)x + 4(m + 1).

               y'' = 0 ⇔\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\x = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}}\end{array} \right.\).

Để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ x₀ = −2.

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\\frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}} = - 2\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\2m + 2 = 6m - 6\end{array} \right.\)⇔ m = 2.

Ta có: y = 2x³ + 6x² – x + 2

          y' = 6x² + 12x – 1

          y'' = 12x + 12

          y'' = 0 ⇔ x = −1.

Tâm đối xứng I của đồ thị hàm số có tọa độ I(−1; 7).

Với y'(−1) = −7, ta có phương trình tiếp tuyến tại I:

y = −7(x + 1) + 7 hay y = −7x.

Ta có: y = −x³ – 3x² + mx + 1

           y' = −3x² – 6x + m

           y'' = −6x – 6;

           y'' = 0 ⇔ x = −1.

Tâm đối xứng I của đồ thị hàm số có tung độ y_I = −m – 1.

I nằm trên trục Ox nên y_I = 0 ⇔ = −m – 1 = 0 ⇔ m = −1.

Khi m = −1, hàm số trở thành y = −x³ – 3x² − x + 1 và y' = −3x² – 6x – 1.

Phương trình y' = 0 có ∆ . 0 nên có hai nghiệm phân biệt, suy ra đồ thị hàm số có hai cực trị đối xứng qua I(−1; 0), nghĩa là tung độ của hai cực trị trái dấu nhau nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

a) y = 3 + \(\frac{1}{x}\)

Tập xác định: D = ℝ\{0}.

Giới hạn của hàm số:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = - \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0.

Ta có: y' = \( - \frac{1}{{{x^2}}}\)

           y' < 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) y = 2 – \(\frac{1}{{1 + x}}\)

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Giới hạn của hàm số:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = + \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1.

Ta có bảng biến thiên:

Ta có: y' = \(\frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}\) > 0 với mọi x ≠ −1 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

Đồ thị hàm số:

a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 nên giao điểm I có tọa độ I(−1; 2).

b) Ta có: xM = xI – t = −1 – t ⇒ yM = \(\frac{{2{x_M} - 1}}{{{x_M} + 1}}\) = \(\frac{{2\left( { - 1 - t} \right) - 1}}{{\left( { - 1 - t} \right) + 1}}\)

                xM' = xI + t = −1 + t ⇒ yM' = \(\frac{{2{x_{M'}} - 1}}{{{x_{M'}} + 1}}\) = \(\frac{{2\left( { - 1 + t} \right) - 1}}{{\left( { - 1 + t} \right) + 1}}\).

Do đó, yM + yM' = \(\frac{{2\left( { - 1 - t} \right) - 1}}{{\left( { - 1 - t} \right) + 1}}\) + \(\frac{{2\left( { - 1 + t} \right) - 1}}{{\left( { - 1 + t} \right) + 1}}\) = 4 = 2yI.

Mà xM + xM' = (−1 – t) + (−1 + t) = −2 = 2xI.

Vậy I là trung điểm của MM' hay M và M' đối xứng với nhau qua I.

Cách 1:

Xét phương trình hoành độ giao điểm, có: \(\frac{{2x - 1}}{{ - x + 3}}\) = −x (x ≠ 3).

⇔ 2x – 1 = −x(−x + 3)

⇔ 2x – 1 = x2 – 3x

⇔ x2 – 5x + 1 = 0

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{3^2} - 5.3 + 1 =  - 5 \ne 0\\\Delta  = {( - 5)^2} - 4.1 = 21 > 0\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 3.

Vậy đường thẳng y = −x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

Cách 2:

Ta vẽ được đồ thị hàm số y = \(\frac{{2x - 1}}{{ - x + 3}}\) và đường thẳng y = −x trên cùng một hệ trục Oxy.

Ta thấy đường thẳng y = −x cắt đồ thị hàm số y = \(\frac{{2x - 1}}{{ - x + 3}}\) tại hai điểm phân biệt.

a) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\)

Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x}\) = 1 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (y - x) =  - 1\)nên đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 1) và (1; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = −2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = 2.

Đồ thị hàm số:

b) Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x}\) = −2 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y + 2x} \right)\) = 0 nên đường thẳng y = −2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} y =  + \infty \) nên x = \( - \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = \(\frac{{ - 2{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\) = −2 – \(\frac{2}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\).

Vì y' < 0 với mọi x ≠ \( - \frac{1}{2}\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên:

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số:

a) Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\) = x + 3 + \(\frac{1}{{x - 1}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \). Do đó, x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\). Do đó, y = x + 3 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Nhận thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = x + 3. Vậy giao điểm I có tọa độ I(1; 4).

b) Ta có: xM = xI – t = 1 – t; xM' = xI + t = 1 + t

                yM = \(\frac{{x_M^2 + 2{x_M} - 2}}{{{x_M} - 1}} = \frac{{{{\left( {1 - t} \right)}^2} + 2\left( {1 - t} \right) - 2}}{{\left( {1 - t} \right) - 1}}\)

               yM' = \(\frac{{x_{M'}^2 + 2{x_{M'}} - 2}}{{{x_{M'}} - 1}} = \frac{{{{\left( {1 + t} \right)}^2} + 2\left( {1 + t} \right) - 2}}{{\left( {1 + t} \right) - 1}}\)

Do đó, yM + yM' = \(\frac{{{{\left( {1 - t} \right)}^2} + 2\left( {1 - t} \right) - 2}}{{\left( {1 - t} \right) - 1}}\) + \(\frac{{{{\left( {1 + t} \right)}^2} + 2\left( {1 + t} \right) - 2}}{{\left( {1 + t} \right) - 1}}\) = 8 = 2yI.

Suy ra I là trung điểm của MM' hay M và M' đối xứng với nhau qua I.

Công thức hàm số có dạng y = \(\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với a = m – 1; b = −2; c = −1, d = m – 2.

Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi hàm số nghịch biến và có tiệm cận đứng không ở bên trái trục Oy, tiệm cận ngang không ở bên dưới trục Ox, nghĩa là:

\(\left\{ \begin{array}{l}ad - bc < 0\\c \ne 0\\\frac{a}{c} \ge 0\\ - \frac{d}{c} \ge 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) - \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right) < 0\\ - 1 \ne 0\\\frac{{m - 1}}{{ - 1}} \ge 0\\\frac{{m - 2}}{1} \ge 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}0 < m < 3\\m \le 1\\m \ge 2.\end{array} \right.\)

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu.

a) y = \(\frac{{{x^2} + 2x - m}}{{x - 1}}\)

Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Ta có: y' = \(\frac{{{x^2} - 2x + m - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

a) Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt.

⇔ x2 – 2x + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

⇔ ∆' > 0 ⇔ 3 – m > 0 ⇔ m < 3.

Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị khi m < 3.

b) Nhận thấy m = 2 thỏa mãn điều kiện m < 3 nên khi đó hàm số có hai cực trị.

Với m = 2, ta có: y = \(\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\) và y' = \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Phương trình y' = 0  ⇔ \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Với x = 0 thì y = 2, với x = 2 thì y = 6.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng y = ax + b.

Giải hệ phương trình, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a.0 + b = 2\\a.2 + b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\end{array} \right.\).

Vậy y = 2x + 2.