Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án
28 câu hỏi
Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng – mở cánh cửa, ta coi mép dưới BC của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể).
a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.
a) Trong quá trình đóng – mở cửa, đường thẳng AB cố định vì luôn đi qua hai bản lề cố định, đường thẳng BC trên sàn luôn đi qua điểm B cố định (B là giao của đường thẳng AB và mặt sàn). Vì đường thẳng BC quay quanh điểm B và (AB, BC) = 90° nên AB vuông góc với các đường thẳng trên mặt sàn và đi qua B.
b) Giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.
b) Lấy đường thẳng a bất kì trên mặt sàn. Xét a' là đường thẳng trên mặt sàn, đi qua B và song song với a. Khi đó (AB, a) = (AB, a') = 90°.
Nếu đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau hay không?
Nếu đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau.
Vì nếu trái lại thì ∆ song song hoặc nằm trên (P). Khi đó, có đường thẳng a thuộc (P) và song song với ∆. Do đó (∆, a) = 0°, điều này mâu thuẫn với giả thiết ∆ vuông góc với (P).
Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bìa thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11.
a) Bằng cách trên, ta tạo đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt bàn?
a) Vì ABCD và ABMN là hình chữ nhật nên AB ^ AD, AB ^ AN.
b) Trên mặt bàn, qua điểm A kẻ một đường thẳng a tùy ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem AB có vuông góc với a hay không.
b) Trong mô hình, đặt ê ke như mô tả trong hình vẽ ta thấy một cạnh của ê ke trùng với AB và một cạnh thuộc a nên AB vuông góc với a.
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với cạnh còn lại hay không?
Vì đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác nên đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác. Do đó đường thẳng đó vuông góc với cạnh còn lại của tam giác.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD (H.7.14). Chứng minh rằng SO⊥ABCD.
Do O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC, BD.
Xét tam giác SAC có SA = SC nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO ^ AC.
Xét tam giác SBD có SB = SD nên tam giác SBD cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO ^ BD.
Vì SO ^ AC và SO ^ BD nên SO ^ (ABCD).
Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.
Ta coi hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà là hai đường thẳng cắt nhau và sàn nhà là một mặt phẳng.
Vì cột treo vuông góc với hai thanh đế (cắt nhau) nên cột vuông góc với sàn nhà (chứa hai thanh đế).
Cho điểm O và đường thẳng ∆ không đi qua O. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với ∆. Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý (P) và (Q) cùng chứa d. Trong các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng kẻ các đường thẳng a, b cùng đi qua O và vuông góc với d (H.7.16). Giải thích vì sao mp(a, b) đi qua O và vuông góc với ∆.
Ta có (P) = mp(d, a) và (Q) = mp(d, b).
Do (P) và (Q) là hai mặt phẳng phân biệt nên a và b là hai đường thẳng phân biệt.
Do d⊥ad //Δ⇒a⊥Δ hay (D, a) = (d, a) = 90°.
Do d⊥bd // Δ⇒b⊥Δ hay (D, b) = (d, b) = 90°.
Vậy D vuông góc với a và b và a, b đi qua O nên D^ mp(a, b).
Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Trong mặt phẳng (P), lấy hai đường thẳng cắt nhau a, b tuỳ ý. Gọi (α), (β) là các mặt phẳng qua O và tương ứng vuông góc với a, b (H.7.19).
a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau theo một đường thẳng ∆ đi qua O.
a) Vì a ^ (a) nên a và (a) có điểm chung, do đó (a) và (P) có điểm chung.
Mặt khác (a) không trùng (P) vì (a) vuông góc với a và a nằm trong (P). Do đó (a) và (P) cắt nhau theo một giao tuyến n.
Vì b ^ (b) nên b và (b) có điểm chung, do đó (b) và (P) có điểm chung.
Lại có (b) không trùng với (P) vì (b) vuông góc với b và b nằm trong (P). Do đó (b) và (P) cắt nhau theo giao tuyến m.
Do m ^ b, n ^ a và a, b cắt nhau nên m, n cắt nhau suy ra chúng phân biệt.
Do đó, (a) và (b) không thể trùng nhau. Mặt khác, (a) và (b) có điểm chung O nên chúng cắt nhau theo một đường thẳng D đi qua O.
b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa ∆ và (P).
b) Vì (a) và (b) đều đi qua O nên giao tuyến D của chúng đi qua O. Hơn nữa a, b tương ứng vuông góc với (a) và (b) nên chúng vuông góc với D. Do D vuông góc với a, b nên D vuông góc (P).
Cho ba điểm phân biệt A, B, C sao cho các đường thẳng AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Theo đề có AB ^ (P) và AC ^ (P).
Mà có duy nhất một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) nên AB và AC trùng nhau. Do đó A, B, C thẳng hàng.
Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng b. Lấy một đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P) (H.7.20). Tính (b, m) và từ đó rút ra mối quan hệ giữa b và (P).
Vì a ^ (P) mà m Ì (P) nên a ^ m hay (a, m) = 90°.
Mà b // a nên (b, m) = (a, m) = 90°.
Do b vuông góc với mọi đường thẳng m bất kì trong (P) nên b vuông góc với (P).
Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P). Xét O là một điểm thuộc a nhưng không thuộc b. Gọi c là đường thẳng qua O và song song với b (H.7.21).
a) Hỏi c có vuông góc với với (P) hay không ? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa a và c.
b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a và b.
a) Vì b ^ (P) và c // b nên c ^ (P).
Vì a và c cắt nhau tại O, mà a ^ (P) và c ^ (P) nên a và c trùng nhau.
b) Vì a và c trùng nhau và b // c nên a // b.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và đường thẳng ∆ vuông góc với (P). Gọi b là một đường thẳng bất kì thuộc (Q). Lấy một đường thẳng a thuộc (P) sao cho a song song với b (H.7.23). So sánh (∆, b) và (∆, a). Từ đó rút ra mối quan hệ giữa ∆ và (Q).
Vì D^ (P) mà a thuộc (P) nên (D, a) = 90°.
Lại có a // b nên (D, a) = (D, b) = 90°.
Vì (D, b) = 90° nên D^ b mà b là đường thẳng bất kì thuộc (Q) nên D^ (Q).
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với đường thẳng ∆. Xét O là một điểm thuộc mặt phẳng (P) nhưng không thuộc mặt phẳng (Q). Gọi (R) là mặt phẳng đi qua O và song song với (Q). (H.7.24).
a) Hỏi (R) có vuông góc với ∆ hay không ? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa (P) và (R).
a) Do D^ (Q) mà (Q) // (R) nên D^ (R).
Do D^ (R) và D^ (P) mà (P) và (R) cùng đi qua O nên (P) và (R) trùng nhau.
b) Nêu vị trí tương đối giữa (P) và (Q).
b) Vì (P) và (R) trùng nhau mà (Q) // (R) nên (P) // (Q).
Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hỏi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không ? Vì sao ?
Ta coi chân bàn như đường thẳng, mặt bàn và mặt sàn là hai mặt phẳng.
Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn thì hai mặt phẳng đó song song với nhau vì hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P). Tính (∆, a).
Vì a song song với mặt phẳng (P) nên a song song với một đường thẳng b nằm trong (P).
Mà đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) nên (D, b) = 90°.
Khi đó (D, a) = (D, b) = 90°.
Vậy (D, a) = 90°.
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng ∆.
a) Qua một điểm O thuộc (P), kẻ đường thẳng a' song song với a. Nêu vị trí tương đối giữa a' và (P).
a) Do a // a' và D^ a nên D^ a'.
Lại có D^ (P) suy ra, a' // (P) hoặc a' thuộc (P).
Vì a' đi qua O thuộc (P) nên a' thuộc (P).
b) Nêu vị trí tương đối giữa a và (P).
b) Vì a // a' , a' thuộc (P) nên a thuộc (P) hoặc a song song với (P).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Kẻ AH vuông góc với SC (H thuộc SC), BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Chứng minh rằng SC ⊥ (MBD) và AH // (MBD).
Vì ABCD là hình vuông nên AC ^ BD.
Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ BD mà AC ^ BD nên BD ^ (SAC).
Do BD ^ (SAC) nên BD ^ SC.
Vì BM ^ SC mà BD ^ SC nên SC ^ (BMD).
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Vì SC ^ (BMD) nên SC ^ OM.
Lại có AH ^ SC và SC ^ OM nên AH // OM.
Vì AH // OM và OM Ì (MBD) nên AH // (MBD).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A và . Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a) BC⊥SAM;
a) Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC.
Vì ABC là tam giác cân tại A, AM là trung tuyến nên AM là đường cao hay AM ^ BC.
Do SA ^ BC và AM ^ BC nên BC ^ (SAM).
b) Tam giác SBC cân tại S.
b) Vì BC ^ (SAM) nên BC ^ SM.
Xét tam giác SBC có SM là trung tuyến đồng thời là đường cao nên tam giác SBC cân tại S.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và . Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.
Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AD, SA ^ AB, SA ^ BC, SA ^ CD.
Do ABCD là hình chữ nhật nên AB ^ BC, AD ^ DC.
Vì SA ^ AB nên tam giác SAB vuông tại A.
Vì SA ^ AD nên tam giác SAD vuông tại A.
Vì SA ^ BC và AB ^ BC nên BC ^ (SAB), suy ra BC ^ SB hay tam giác SBC vuông tại B.
Vì SA ^ CD và AD ^ DC nên CD ^ (SAD), suy ra CD ^ SD hay tam giác SCD vuông tại D.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA⊥ABCD . Gọi M,N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng: AM⊥SBC, AN⊥SCD, SC⊥AMN.
- Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ BC.
Do ABCD là hình chữ nhật nên BC ^ AB mà SA ^ BC nên BC ^ (SAB), suy ra BC ^ AM.
Lại có, M là hình chiếu của A trên SB nên AM ^ SB.
Vì AM ^ SB và BC ^ AM nên AM ^ (SBC).
- Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ CD.
Do ABCD là hình chữ nhật nên AD ^ CD.
Vì AD ^ CD và SA ^ CD nên CD ^ (SAD), suy ra CD ^ AN.
Do N là hình chiếu của A trên SD nên AN ^ SD.
Vì AN ^ SD và CD ^ AN nên AN ^ (SCD).
- Do AM ^ (SBC) nên AM ^ SC và AN ^ (SCD) nên AN ^ SC.
Vì AM ^ SC và AN ^ SC nên SC ^ (AMN).
Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không?
Khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng.
Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột 1 m đến một điểm trên cột, cách chân cột 1 m được kết quả là 1,5 m (H.7.27). Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?
Có 12 + 12 ≠ 1,52 . Do đó theo định lí Pythagore thì cột không vuông góc với mặt sân.
Do đó cột không có phương thẳng đứng.
