Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án

a) Vì a ^ (a) nên a và (a) có điểm chung, do đó (a) và (P) có điểm chung.

Mặt khác (a) không trùng (P) vì (a) vuông góc với a và a nằm trong (P). Do đó (a) và (P) cắt nhau theo một giao tuyến n.

Vì b ^ (b) nên b và (b) có điểm chung, do đó (b) và (P) có điểm chung.

Lại có (b) không trùng với (P) vì (b) vuông góc với b và b nằm trong (P). Do đó (b) và (P) cắt nhau theo giao tuyến m.

Do m ^ b, n ^ a và a, b cắt nhau nên m, n cắt nhau suy ra chúng phân biệt.

Do đó, (a) và (b) không thể trùng nhau. Mặt khác, (a) và (b) có điểm chung O nên chúng cắt nhau theo một đường thẳng D đi qua O.

b) Vì (a) và (b) đều đi qua O nên giao tuyến D của chúng đi qua O. Hơn nữa a, b tương ứng vuông góc với (a) và (b) nên chúng vuông góc với D. Do D vuông góc với a, b nên D vuông góc (P).

Theo đề có AB ^ (P) và AC ^ (P).

Mà có duy nhất một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) nên AB và AC trùng nhau. Do đó A, B, C thẳng hàng.

Vì a ^ (P) mà m Ì (P) nên a ^ m hay (a, m) = 90°.

Mà b // a nên (b, m) = (a, m) = 90°.

Do b vuông góc với mọi đường thẳng m bất kì trong (P) nên b vuông góc với (P).

a) Vì b ^ (P) và c // b nên c ^ (P).

Vì a và c cắt nhau tại O, mà a ^ (P) và c ^ (P) nên a và c trùng nhau.

Vì D ^ (P) mà a thuộc (P) nên (D, a) = 90°.

Lại có a // b nên (D, a) = (D, b) = 90°.

Vì (D, b) = 90° nên D ^ b mà b là đường thẳng bất kì thuộc (Q) nên D ^ (Q).

a) Do D ^ (Q) mà (Q) // (R) nên D ^ (R).

Do D ^ (R) và D ^ (P) mà (P) và (R) cùng đi qua O nên (P) và (R) trùng nhau.

b) Vì (P) và (R) trùng nhau mà (Q) // (R) nên (P) // (Q).

Ta coi chân bàn như đường thẳng, mặt bàn và mặt sàn là hai mặt phẳng.

Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn thì hai mặt phẳng đó song song với nhau vì hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

Vì a song song với mặt phẳng (P) nên a song song với một đường thẳng b nằm trong (P).

Mà đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) nên (D, b) = 90°.

Khi đó (D, a) = (D, b) = 90°.

Vậy (D, a) = 90°.

a) Do a // a' và D ^ a nên D ^ a'.

Lại có D ^ (P) suy ra, a' // (P) hoặc a' thuộc (P).

Vì a' đi qua O thuộc (P) nên a' thuộc (P).

b) Vì a // a' , a' thuộc (P) nên a thuộc (P) hoặc a song song với (P).

Vì ABCD là hình vuông nên AC ^ BD.

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ BD mà AC ^ BD nên BD ^ (SAC).

Do BD ^ (SAC) nên BD ^ SC.

Vì BM ^ SC mà BD ^ SC nên SC ^ (BMD).

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì SC ^ (BMD) nên SC ^ OM.

Lại có AH ^ SC và SC ^ OM nên AH // OM.

Vì AH // OM và OM Ì (MBD) nên AH // (MBD).

a) Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC.

Vì ABC là tam giác cân tại A, AM là trung tuyến nên AM là đường cao hay AM ^ BC.

Do SA ^ BC và AM ^ BC nên BC ^ (SAM).

b) Vì BC ^ (SAM) nên BC ^ SM.

Xét tam giác SBC có SM là trung tuyến đồng thời là đường cao nên tam giác SBC cân tại S.

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AD, SA ^ AB, SA ^ BC, SA ^ CD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên AB ^ BC, AD ^ DC.

Vì SA ^ AB nên tam giác SAB vuông tại A.

Vì SA ^ AD nên tam giác SAD vuông tại A.

Vì SA ^ BC và AB ^ BC nên BC ^ (SAB), suy ra BC ^ SB hay tam giác SBC vuông tại B.

Vì SA ^ CD và AD ^ DC nên CD ^ (SAD), suy ra CD ^ SD hay tam giác SCD vuông tại D.

- Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ BC.

Do ABCD là hình chữ nhật nên BC ^ AB mà SA ^ BC nên BC ^ (SAB), suy ra BC ^ AM.

Lại có, M là hình chiếu của A trên SB nên AM ^ SB.

Vì AM ^ SB và BC ^ AM nên AM ^ (SBC).

- Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ CD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD ^ CD.

Vì AD ^ CD và SA ^ CD nên CD ^ (SAD), suy ra CD ^ AN.

Do N là hình chiếu của A trên SD nên AN ^ SD.

Vì AN ^ SD và CD ^ AN nên AN ^ (SCD).

- Do AM ^ (SBC) nên AM ^ SC và AN ^ (SCD) nên AN ^ SC.

Vì AM ^ SC và AN ^ SC nên SC ^ (AMN).

Khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng.

Có 1² + 1² ≠ 1,5² . Do đó theo định lí Pythagore thì cột không vuông góc với mặt sân.

Do đó cột không có phương thẳng đứng.