10 Bài tập Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng (có lời giải)
10 câu hỏi
Mệnh đề nào sau đây có thể sai?
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song;
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song;
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song;
Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.
Đáp án đúng là: C
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song chỉ đúng khi ba đường thẳng đó đồng phẳng.
Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a // c;
Nếu a vuông góc với mặt phẳng (α) và b // (α) thì a ⊥ b;
Nếu a // b và b ⊥ c thì c ⊥ a;
Nếu a ⊥ b, b ⊥ c và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng (a, c).
Đáp án đúng là: A
Vì nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì có thể xảy ra a và c trùng nhau.
Cho đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Nếu a // (P) và b ⊥ a thì b // (P);
Nếu a // (P) và b ⊥ (P) thì a ⊥ b;
Nếu a // (P) và b ⊥ a thì b ⊥ (P);
Nếu a ⊥ (P) và b ⊥ a thì b // (P).
Đáp án đúng là: B
a // (P) ⇒∃a' ∈ (P) sao cho a' // a
b ⊥ (P) ⇒ b ⊥ a'
Khi đó, a ⊥ b.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên CC' vuông góc với đáy và CC' = a. Gọi I là trung điểm của BC. M là trung điểm của BB'. Khẳng định nào sau đây là đúng?
AC' ⊥BC';
BC' ⊥ AM;
MI ⊥ BC;
B'C ⊥ AI.
Đáp án đúng là: B
Do tam giác ABC là tam giác đều và I là trung điểm của BC nên AI vuông góc với BC
Mặt khác, AI ⊥ CC' ⇒ AI ⊥ (BCC'B') ⇒ AI ⊥ BC'
Dễ thấy BCC'B' là hình vuông nên B'C ⊥ BC'.
Mặt khác MI là đường trung bình trong tam giác B'BC nên MI // B'C suy ra MI ⊥ BC'
Lại có: AI ⊥ BC' ⇒ BC' ⊥ (AIM) ⇒ BC' ⊥ AM.
Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với Δ cho trước?
1;
2;
0;
Vô số.
Đáp án đúng là: D
Qua điểm O có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với Δ, các đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với Δ.
Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu đường thẳng d ⊥ (α) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α);
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α);
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (α);
Nếu d ⊥ (α) và đường thẳng a // (α) thì d ⊥ a.
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α) chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mp chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia;
Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng Δ cho trước;
Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước;
Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Đáp án đúng là: C
Cho trước đường thẳng d và điểm O thì tập hợp các đường thẳng qua O và vuông góc với d là mặt phẳng (P) qua O và vuông góc với d. Khi đó, trong mp (P) mỗi đường thẳng qua O sẽ là một đường thẳng vuông góc với d.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông góc với mặt phẳng (P);
Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng (P) thì a song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P);
Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với b;
Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Đáp án đúng là: A
Giả sử xét hình lập phương ABCD.A'B'C'D' như hình vẽ có:
A'B' // (ABCD)
B'C' ⊥ A'B'
Do đó, B'C' // (ABCD).
Cho hình chóp S. ABCD có các cạnh bên bằng nhau SA = SB = SC = SD. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
HA = HB = HC = HD;
Tứ giác ABCD là hình bình hành;
Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn;
Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy ABCD những góc bằng nhau.
Đáp án đúng là: B
Vì hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau SA = SB = SC = SD và H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD
⇒ SH ⊥ (ABCD)
⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
Suy ra HA = HB = HC = HD.
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và tam giác ABC vuông tại B. Vẽ SH ⊥ (ABC), H ∈ (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng?
H trùng với trọng tâm tam giác ABC;
H trùng với trực tâm tam giác ABC;
H trùng với trung điểm của AC;
H trùng với trung điểm của BC.
Đáp án đúng là: C
Do SA = SB = SC và SH vuông góc với mp(ABC) nên HA = HB = HC
Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mà tam giác ABC vuông tại B nên H là trung điểm của AC
(SH được gọi là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
