Bài tập Nhận biết và chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Theo tính chất về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước."

Do đó, qua điểm O cho trước, có duy nhất 1 mặt phẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước.

Đáp án đúng là: B

Xét △SAC:

Do SA = SC nên △SAC cân tại S

Lại có SO là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy AC (vì O là trung điểm của AC)

⇒ SO ⊥ AC (1)

Xét △SBD:

Do SB = SD nên △SBD cân tại S

Lại có SO là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD (vì O là trung điểm của BD)

⇒ SO ⊥ BD (2)

Trong mặt phẳng (ABCD), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

Từ (1), (2) ⇒ SO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và BD cùng thuộc mặt phẳng (ABCD) ⇒ SO ⊥ (ABCD).

Đáp án đúng là: A

A. Do ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD

Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD ⇒ CD ⊥ SA

Vì CD vuông góc với cả AD và SA trong mặt phẳng (SAD) nên CD ⊥ (SAD)

Do đó, khẳng định CD ⊥ (SBC) là sai.

B. Do SA ⊥ (ABCD) nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (ABCD)

⇒ SA ⊥ (ABC).

C. BC ⊥ AB (do ABCD là hình vuông) và BC ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD))

⇒ BC ⊥ (SAB).

D. BD ⊥ AC (hai đường chéo hình vuông ABCD) và BD ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD))

⇒ BD ⊥ (SAC).

Đáp án đúng là: B

Xét △ABC:

Do △ABC là tam giác đều và M là trung điểm của AB (giả thiết) ⇒ CM ⊥ AB (1)

Xét △ABD:

Do △ABD là tam giác đều và M là trung điểm của AB (giả thiết) ⇒ DM ⊥ AB (2)

Trong mặt phẳng (MCD), hai đường thẳng CM và DM cắt nhau tại M

Từ (1), (2), đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau CM và DM cùng nằm trong mặt phẳng (MCD) ⇒ AB ⊥ (MCD).

Đáp án đúng là: D

Do SO ⊥ (ABCD) (giải thiết) và AC ⊂ (ABCD) nên AC ⊥ SO (1)

Do đáy ABCD là hình thoi tâm O, có tính chất hai đường chéo vuông góc với nhau nên: AC ⊥ BD (2)

Trong mặt phẳng (SBD), hai đường thẳng SO và BD cắt nhau tại O

Từ (1) và (2), đường thẳng AC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SO và BD cùng nằm trong mặt phẳng (SBD)

⇒ AC ⊥ (SBD).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD), BC ⊂ (ABCD) nên BC ⊥ SA

Vì ABCD là hình vuông nên BC ⊥ AB

Trong mặt phẳng (SAB), hai đường thẳng SA và AB cắt nhau tại A

Do đó, BC ⊥ (SAB).

b) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD), CD ⊂ (ABCD) nên CD ⊥ SA

Vì ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD

Trong mặt phẳng (SAD), hai đường thẳng SA và AD cắt nhau tại A

Do đó, CD ⊥ (SAD).

c) Sai. Do SA ⊥ (ABCD), AC ⊂ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC

Giả sử AC ⊥ (SBD), mà SB ⊂ (SBD) ⇒ AC ⊥ SB

Khi đó trong △SAC, AC ⊥ SA, AC ⊥ SB (với SA, SB cắt nhau tại S thuộc (SAB))

⇒ AC ⊥ (SAB) ⇒ AC ⊥ AB (vô lý)

Do đó, AC không vuông góc với (SBD).

d) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD), BD ⊂ (ABCD) nên BD ⊥ SA

Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc với nhau, tức là BD ⊥ AC

Trong mặt phẳng (SAC), hai đường thẳng SA và AC cắt nhau tại A

Do đó, BD ⊥ (SAC).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC

Mặt khác, ABCD là hình chữ nhật nên BC ⊥ AB

Ta có: BC ⊥ SA và BC ⊥ AB, mà SA, AB ⊂ (SAB) cắt nhau tại A

⇒ BC ⊥ (SAB)

Vì SB ⊂ (SAB) nên BC ⊥ SB

Do đó, tam giác SBC vuông tại B.

b) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD

Do ABCD là hình chữ nhật nên CD ⊥ AD

Ta có: CD ⊥ SA và CD ⊥ AD, mà SA, AD ⊂ (SAD) cắt nhau tại A

⇒ CD ⊥ (SAD)

Vì SD ⊂ (SAD) nên CD ⊥ SD

Do đó, tam giác SCD vuông tại D.

c) Đúng. Theo chứng minh câu a), BC ⊥ (SAB). Vì AH ⊂ (SAB) nên BC ⊥ AH

Theo giả thiết, AH ⊥ SB tại H

Ta có: AH ⊥ BC và AH ⊥ SB, mà BC, SB ⊂ (SBC) cắt nhau tại B

⇒ AH ⊥ (SBC)

Vì SC ⊂ (SBC) nên AH ⊥ SC (1)

Tương tự, theo chứng minh câu b), CD ⊥ (SAD). Vì AK ⊂ (SAD) nên CD ⊥ AK

Theo giả thiết, AK ⊥ SD tại K

Ta có: AK ⊥ CD và AK ⊥ SD, mà CD, SD ⊂ (SCD) cắt nhau tại D

⇒ AK ⊥ (SCD)

Vì SC ⊂ (SCD) nên AK ⊥ SC (2)

Từ (1), (2) ⇒ SC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AH và AK cùng nằm trong mặt phẳng (AHK)

Do đó, SC ⊥ (AHK).

d) Đúng. Theo chứng minh câu c), ta có SC ⊥ (AHK)

Vì HK ⊂ (AHK) nên HK ⊥ SC.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC

Mặt khác, tam giác ABC vuông tại B nên BC ⊥ AB

Ta có: BC ⊥ SA và BC ⊥ AB, mà SA, AB ⊂ (SAB) cắt nhau tại A

⇒ BC ⊥ (SAB)

Vì SB ⊂ (SAB) nên BC ⊥ SB, do đó tam giác SBC vuông tại B (không phải tam giác cân).

b) Đúng. Theo chứng minh câu a), ta có: BC ⊥ (SAB)

Vì AH ⊂ (SAB) nên AH ⊥ BC

Mặt khác, theo giả thiết: AH ⊥ SB

Ta có: AH ⊥ BC và AH ⊥ SB, mà BC, SB ⊂ (SBC) cắt nhau tại B

⇒ AH ⊥ (SBC).

c) Đúng. Theo chứng minh câu b), AH ⊥ (SBC)

Vì SC ⊂ (SBC) nên AH ⊥ SC (1)

Mặt khác, theo giả thiết: AK ⊥ SC (2)

Từ (1), (2) ⇒ SC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AH và AK cùng nằm trong mặt phẳng (AHK)

Do đó, SC ⊥ (AHK)

Vì HK ⊂ (AHK) nên SC ⊥ HK

Vậy góc giữa SC và HK bằng 90°.

d) Đúng. Do D = HK ∩ BC nên D ∈ HK ⇒ AD ⊂ (AHK)

Vì SC ⊥ (AHK) và AD ⊂ (AHK) nên SC ⊥ AD (3)

Mặt khác, SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AD (4)

Từ (3), (4) ⇒ AD ⊥ SC và AD ⊥ SA, mà SC, SA ⊂ (SAC) cắt nhau tại S

Do đó, AD ⊥ (SAC)

Vì AC ⊂ (SAC) nên AD ⊥ AC

Vậy góc giữa AC và AD bằng 90°.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC

Xét tam giác SAC có SA = SC (giả thiết) nên tam giác SAC cân tại S

Do SO là đường trung tuyến của tam giác cân SAC ⇒ SO đồng thời là đường cao

Vậy SO ⊥ AC.

b) Đúng. Xét tam giác SBD có SB = SD (giả thiết) nên tam giác SBD cân tại S

Do O là trung điểm của BD (tính chất hình thoi) nên SO là đường trung tuyến của tam giác cân SBD ⇒ SO ⊥ BD

Ta có: SO ⊥ AC (theo câu a) và SO ⊥ BD, mà AC, BD ⊂ (ABCD) cắt nhau tại O

Do đó, SO ⊥ (ABCD).

c) Đúng. Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc với nhau, tức là AC ⊥ BD

Theo chứng minh câu b), ta có: SO ⊥ (ABCD), mà AC ⊂ (ABCD) nên AC ⊥ SO

Ta có: AC ⊥ BD và AC ⊥ SO, mà BD, SO ⊂ (SBD) cắt nhau tại O

Do đó, AC ⊥ (SBD).

d) Sai. Theo chứng minh câu c), ta có: AC ⊥ (SBD)

Vì SB ⊂ (SBD) nên AC ⊥ SB

Do đó, góc giữa hai đường thẳng AC và SB bằng 90°, tức là (AC, SB) = 90° ≠ 60°.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Gọi M là chân đường cao hạ từ S xuống BC trong △SBC ⇒ SM ⊥ BC

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC

Mặt khác, H là trực tâm của △SBC nên SH ⊥ BC

Ta có: BC ⊥ SA và BC ⊥ SH, mà SA, SH ⊂ (SAH) cắt nhau tại S

⇒ BC ⊥ (SAH).

b) Đúng. Vì K là trực tâm của tam giác ABC nên CK ⊥ AB

Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ CK

Ta có: CK ⊥ AB và CK ⊥ SA, mà AB, SA ⊂ (SAB) cắt nhau tại A

⇒ CK ⊥ (SAB)

Vì SB ⊂ (SAB) nên CK ⊥ SB (1)

Mặt khác, H là trực tâm của tam giác SBC nên CH ⊥ SB (2)

Từ (1), (2) ⇒ SB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau CK và CH cùng nằm trong mặt phẳng (CHK)

Do đó, SB ⊥ (CHK).

c) Đúng. Theo chứng minh câu b), ta có: SB ⊥ (CHK)

Vì HK ⊂ (CHK) nên SB ⊥ HK (3)

Mặt khác, theo chứng minh câu a), ta có: BC ⊥ (SAH)

Vì H là trực tâm của △SBC nên H ∈ SM. Do đó, mặt phẳng (SAH) chính là mặt phẳng (SAM) ⇒ BC ⊥ (SAM), AM ⊂ (SAM) ⇒ BC ⊥ AM

Mặt khác, K là trực tâm △ABC nên AK ⊥ BC. Qua điểm A trong mặt phẳng (ABC) chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với BC, do đó ba điểm A, K, M thẳng hàng, hay K ∈ AM ⊂ (SAM)

Vì H ∈ SM ⊂ (SAM) và K ∈ AM ⊂ (SAM) nên đường thẳng HK ⊂ (SAM)

Do BC ⊥ (SAM) nên BC ⊥ HK (4)

Từ (3), (4) ⇒ HK vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SB và BC cùng nằm trong mặt phẳng (SBC)

Do đó, HK ⊥ (SBC)

d) Sai. Giả sử BC ⊥ (SAB), vì AB ⊂ (SAB) nên BC ⊥ AB, tức là △ABC vuông tại B

Nếu BC ⊥ (SAB) thì BC ⊥ AB, khi đó trực tâm K của △ABC sẽ trùng với đỉnh B, trái với giả thiết "trực tâm không trùng với các đỉnh của tam giác".

Do đó, mệnh đề BC ⊥ (SAB) là sai.

Đáp án: 90

Vì △ABC là tam giác đều và M là trung điểm của AB nên đường trung tuyến CM đồng thời là đường cao: CM ⊥ AB

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ CM (do CM ⊂ (ABC))

Trong mặt phẳng (SAB), hai đường thẳng AB và SA cắt nhau tại A và cùng nằm trong (SAB)

Do đó: CM ⊥ (SAB)

Mà MN ⊂ (SAB), CM ⊥ (SAB) ⇒ CM ⊥ MN

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và CM bằng 90°.

Đáp án: 90

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC

Xét △ABC có AB = AC (giả thiết) nên △ABC cân tại A

Do AI là đường trung tuyến của tam giác cân ABC nên AI đồng thời là đường cao

⇒ AI ⊥ BC

Xét △DBC có DB = DC (giả thiết) nên △DBC cân tại D

Do DI là đường trung tuyến của tam giác cân DBC nên DI đồng thời là đường cao

⇒ DI ⊥ BC

Ta có: BC ⊥ AI và BC ⊥ DI, mà AI, DI ⊂ (ADI) cắt nhau tại I

⇒ BC ⊥ (ADI)

Vì AD ⊂ (ADI) nên BC ⊥ AD

Vậy góc giữa hai đường thẳng BC và AD bằng 90°.

Đáp án: 90

Xét △SBC, ta có: K là trung điểm của SB và J là trung điểm của BC (giả thiết)

⇒ KJ là đường trung bình của △SBC ⇒ KJ ∥ SC

Vì KJ ∥ SC nên góc giữa hai đường thẳng KJ và BD bằng góc giữa hai đường thẳng SC và BD

Mặt khác, do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc với nhau ⇒ BD ⊥ AC

Vì SA ⊥ (ABCD) nên BD ⊥ SA

Ta có: BD ⊥ AC và BD ⊥ SA, mà AC, SA ⊂ (SAC) cắt nhau tại A

⇒ BD ⊥ (SAC)

Vì SC ⊂ (SAC) nên BD ⊥ SC

Do KJ ∥ SC và BD ⊥ SC nên BD ⊥ KJ

Vậy góc giữa hai đường thẳng KJ và BD bằng 90°.

Đáp án: 50,9

Gọi E là trung điểm của cạnh AD

Vì ABCD là tứ diện đều có cạnh a = 12 nên các mặt là các tam giác đều bằng nhau

Xét △ABD đều, BE là đường trung tuyến nên BE đồng thời là đường cao

⇒ BE ⊥ AD (1)

Xét △ACD đều, CE là đường trung tuyến nên CE đồng thời là đường cao

⇒ CE ⊥ AD (2)

Ta có: BE ⊥ AD và CE ⊥ AD, mà BE, CE ⊂ (BEC) cắt nhau tại E ⇒ AD ⊥ (BEC)

Mặt phẳng (P) đi qua B và vuông góc với AD, mà mặt phẳng (BEC) cũng đi qua B và vuông góc với AD

⇒ Thiết diện của mặt phẳng (P) với tứ diện ABCD là △BEC

△ABD và △ACD là các tam giác đều cạnh a = 12

⇒ Đường cao của tam giác đều là: BE = CE = \(\frac{{12\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \)

Gọi F là trung điểm của BC. Vì BC = 12 ⇒ BF = \(\frac{{BC}}{2}\) = 6

Do △BEC cân tại E (vì BE = CE = \(6\sqrt 3 \)) có EF là đường trung tuyến

⇒ EF đồng thời là đường cao (EF ⊥ BC)

Xét △EFB vuông tại F, ta có:

EF = \(\sqrt {B{E^2} - B{F^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2} - {6^2}} \) = \(\sqrt {72} = 6\sqrt 2 \) (định lý Pytago)

Diện tích thiết diện (△BEC) là:

S_△BEC = \(\frac{1}{2}\) ⋅ EF ⋅ BC = \(\frac{1}{2} \cdot 6\sqrt 2 \cdot 12\) = \(36\sqrt 2 \) ≈ 50,9.

Đáp án: 0,75

Gọi M là trung điểm của BC

Vì △ABC đều nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao ⇒ AM ⊥ BC (1)

Do SA ⊥ (ABC) và BC ⊂ (ABC) nên SA ⊥ BC (2)

Từ (1), (2), vì AM và SA cắt nhau tại A trong mặt phẳng (SAM) ⇒ BC ⊥ (SAM)

Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC, mà mặt phẳng (SAM) cũng đi qua A và vuông góc với BC ⇒ (P) ≡ (SAM)

⇒ Thiết diện của hình chóp S.ABC cắt bởi mặt phẳng (P) là △SAM

△ABC là tam giác đều cạnh 2, đường cao AM có độ dài: AM = \(\frac{{2\sqrt 3 }}{2}\) = \(\sqrt 3 \)

Do SA ⊥ (ABC) và AM ⊂ (ABC) nên SA ⊥ AM ⇒ △SAM vuông tại A

Diện tích thiết diện (△SAM) là: S_△SAM = \(\frac{1}{2}\) ⋅ SA ⋅ AM = \(\frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \sqrt 3 \) = \(\frac{3}{4}\) = 0,75

Vậy thiết diện của hình chóp S.ABC được cắt bởi (P) có diện tích bằng 0,75.