Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án
9 câu hỏi
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Kẻ AM vuông góc với SB tại M và AN vuông góc với SC tại N. Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (SAB);
b) AM ⊥(SBC);
c) SC ⊥ (AMN).
a) Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà AB ⊥ BC (do tam giác ABC vuông tại B). Do đó BC ⊥ (SAB).
b) Vì BC ⊥ (SAB) nên BC ⊥ AM, mà AM ⊥ SB (giả thiết). Do đó AM ⊥ (SBC).
c) Vì AM ⊥ (SBC) nên AM ⊥ SC, mà AN ⊥ SC (giả thiết). Do đó SC ^ (AMN).
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (OAH);
a) Vì OA ⊥ OB, OA ⊥ OC nên OA ⊥ (OBC). Suy ra OA ⊥BC.
Mà OH ⊥ (ABC) nên OH ⊥ BC. Do đó BC ⊥ (OAH).
b) H là trực tâm của tam giác ABC;
b) Vì BC ⊥ (OAH) nên BC ⊥ AH, do đó AH là đường cao của tam giác ABC. (1)
Có OH ⊥ (ABC) nên OH ⊥ AC.
Có OB ⊥ OA, OC ⊥ OB nên OB ⊥ (OAC) nên OB ⊥ AC mà OH ⊥ AC, từ đó suy ra AC ⊥ (OBH), suy ra CA ^ BH, do đó BH là đường cao của tam giác ABC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra H là giao hai đường cao của tam giác ABC.
Do đó H là trực tâm của tam giác ABC.
c) 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.
c) Gọi K là giao điểm của AH với BC.
Vì OA ^ (OBC) nên OA ^ OK .
Xét tam giác OAK vuông tại O, có OH là đường cao nên 1OH2=1OA2+1OK2.
Vì AK ^ BC mà OA ^ BC nên BC ^ (OAK), suy ra OK ^ BC.
Xét tam giác OBC vuông tại O, có OK là đường cao nên 1OK2=1OB2+1OC2.
Do đó 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.
Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Chứng minh rằng AD ⊥ BC.
Gọi M là trung điểm của BC.
Xét tam giác ABC có AB = AC và AM là trung tuyến nên AM là đường cao.
Do đó AM ⊥ BC. (1)
Xét tam giác BCD có DC = DB và DM là trung tuyến nên DM là đường cao.
Do đó DM ⊥ BC. (2)
Từ (1) và (2) có: BC ⊥ (ADM). Suy ra BC ⊥ AD.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh rằng:
a) BB' ⊥ (A'B'C');
b) B'C' ⊥ (ABB'A').
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
a) SO ⊥(ABCD);
b) AC ⊥ (SBD) và BD ⊥ (SAC).
Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC), tam giác ABC nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (SAH) và các đường thẳng AH, BC, SK đồng quy;
b) SB ⊥ (CHK) và HK ⊥ (SBC).
Một cây cột được dựng trên một sàn phẳng. Người ta thả dây dọi và ngắm thấy cột song song với dây dọi. Hỏi có thể khẳng định rằng cây cột vuông góc với sàn hay không? Vì sao?
Vì dây dọi song song với cây cột và dây dọi vuông góc với mặt phẳng sàn nên cây cột vuông góc với mặt phẳng sàn.
