Giải SGK Toán 11 CTST Bài 4. Khoảng cách trong không gian có đáp án
30 câu hỏi
Có bao nhiêu loại khoảng cách trong công trình đang xây dụng này? Làm thế nào để tính được những khoảng cách đó?
Trong công trình này có: Khoảng cách giữa 2 điểm (d1), khoảng cách giữa 2 đường thẳng (d2), khoảng cách từ một điểm đếm một đường thẳng (d3), (d4) khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (d5).
Để đo những đường nằm ngang, ta có thể dùng thước dây, còn những đường nằm thẳng đứng thì dùng dây dọi.
a) Cho điểm M và đường thẳng a không đi qua M. Trong mặt phẳng (M;a) dùng êke để tìm H trên a sao cho MH ⊥ a (Hình 1a) . Đo độ dài đoạn MH.
a) Độ dài đoạn MH là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a.
b) Cho điểm M không nằm trên mặt phẳng sàn nhà (P). Dùng dây dọi để tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (P) (Hình 1a). Đo độ dài đoạn MH.
b) Độ dài đoạn MH là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Biết SA = a và SA ⊥ (ABCD).Cho biết OA = a.
a) Tính khoảng cách từ B đến (SAD).
a) Ta có:
SA⊥ABCD⇒SA⊥ABAB⊥AD ⇒AB⊥SAD
d(B, (SAD)) = AB = a
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.
b) Kẻ AH ⊥ SC.
Khi đó, d(A, SC) = AH.
• Tam giác ABC vuông tại B nên AC=AB2+BC2=a2.
• Tam giác SAC vuông tại A nên SC=SA2+AC2=a3.
T• am giác SAC vuông tại A có đường cao AH nên AH=SA.ACSC=a63.
Vậy d(A, SC)= a63.
Một quạt trần có bề dày thân quạt bằng 20 cm. Người ta muốn treo quạt sao cho khoảng cách từ quạt đến sàn nhà là 2,5 m. Hỏi phải làm cán quạt dài bao nhiêu? Cho biết trần nhà cao 3,6 m.
Đổi 20 cm = 0,2 m
Độ dài của cán quạt là: 3,6 − 2,5 − 0,2 = 0,9 (m)
Vậy phải làm cán quạt dài 0,9 m.
a) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên a và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B
trên (P) (Hình 4a). So sánh độ dài hai đoạn thẳng AH và BK.
a) Ta có:
AH⊥PBK⊥P⇒AH // BK
Mà AB // HK ⇒ABKH là hình bình hành có AH ⊥ (P)
⇒AH⊥HK⇒AHK^=90°
⇒ ABKH là hình chữ nhật.
Vậy AH = BK.
b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) . Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên (P) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên (Q) (Hình 4b). So sánh độ dài hai đoạn thẳng AH và BK.
b) Ta có:
AH⊥QBK⊥Q⇒AH // BK
Mà AB // HK ⇒ABKH là hình bình hành có AH ⊥ (Q)
⇒AH⊥HK⇒AHK^=90°
⇒ ABKH là hình chữ nhật.
Vậy AH = BK.
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách :
a) Giữa hai mặt phẳng (ACD′) và (A′C′B) ;
b) Giữa đường thẳng AB và (A′B′C′D′).
b) Ta có: AB // (A′B′C′D′).
Do đó d(AB, (A′B′C′D′)) = AA′ = a
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa b và song song với a. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng a, vuông góc với (Q) và cắt b tại J. Trong (P), gọi c là đường thẳng đi qua J vuông góc với a và cắt a tại điểm I.
Đường thẳng IJ có vuông góc với b không? Giải thích.
Ta có a // Qa'=P∩Q
⇒a // a'; IJ⊥a⇒IJ⊥a'
Mà (P) ⊥(Q) ⇒ IJ ⊥ (Q) ⇒ IJ ⊥ b
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đều bằng a và vuông góc từng đôi một. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) OA và BC;
a) Tam giác OBC vuông cân tại O. Gọi H là trung điểm của BC suy ra OH ⊥ BC
Ta lại có: OA⊥OBOA⊥OC⇒OA⊥OBC⇒OA⊥OH
Do đó OH là đoạn vuông góc chung của OA và BC.
Khi đó dOA,BC=OH=12BC=12OB2+OC2=a22.
Một căn phòng có trần cao 3,2m. Tính khoảng cách giữa một đường thẳng a trên trần nhà và đường thẳng b trên sàn nhà.
Vì trần nhà và sàn nhà song song với nhau nên đường thẳng a nằm trên trần nhà song song với sàn nhà.
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng a trên trần nhà và đường thẳng b trên sàn nhà bằng khoảng cách giữa trần nhà và sàn nhà. Vậy d(a, b) = 3,2 m.
Cho một khối hộp chữ nhật với các kích thước là a, b, c đều là số nguyên dương. Vẽ các mặt song song với các mặt của hình hộp và chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1 (Hình 11). Tìm số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp.
Số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp là: abc = 8.3.4 = 96 (hình).
Vậy số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp là 96 hình.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ (Hình 14). Tìm cách chia khối lăng trụ thành ba khối chóp có cùng chiều cao và diện tích đáy.
Chia khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ thành ba khối chóp: A.A′B′C′, B′.ABC và C.A′B′C′.
Tính thể tích của một bồn chứa có dạng khối chóp cụt đều có kích thước được cho như trong Hình 20.
Diện tích đáy lớn là: S = 52 = 25 (m2)
Diện tích đáy bé là: S′ = 22 = 4 (m2)
Thể tích của bồn chứa là: V=13.325+25.4+4=39m3
Tính thể tích cái nêm hình lăng trụ đứng có kích thước như trong Hình 21.
Ta có khối nêm là lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông có các cạnh góc vuông lần lượt là 7cm và 24 cm.
Do đó diện tích đáy là: S=12.7.24=84cm2
Chiều cao của khối lăng trụ là h = 22 cm
Thể tích của khối nêm là: V = S.h = 84.22 = 1848 (cm3)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo, ABC^=60°, SO⊥(ABCD),SO=a3. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).
Cho hai tam giác cân ABC và ABD có đáy chung AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng AB ⊥CD.
a) Gọi M là trung điểm của AB.
Ta có CM⊥ABDM⊥AB⇒AB⊥MCD⇒AB⊥CD
b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD.
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc M của trên CD.
Ta có CMD⊥ABCD⊥MH⇒MH⊥ABCD⊥MH
Do đó MH là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=SB=SC=SD=a2. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh AB ⊥ (SIJ).
a) Ta có: ΔSAB cân tại S và đáy là hình vuông ABCD.
⇒SI⊥ABIJ⊥AB⇒AB⊥SIJ.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
b) Ta có: AB // CD ⇒ AB // (ABCD)
⇒ d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(I, (SCD))
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I, Otrên SJ
Ta có IH//OKIH=2OK
Vì AB // CD nên CD ⊥ (SIJ) ⇒ CD ⊥ IH ⇒IH ⊥ (SCD)
⇒ d(AB, CD) = d(AB, (SCD)) = IH = 2OK
Ta có: ABCD là hình vuông
⇒OA=AC2=AD2+CD22=a22
• Xét ΔSAO vuông tại O có
SO=SA2−OA2=a62.
• Xét ΔSOJ vuông tại O có đường cao OK nên
OK=SO.OJSO2+OJ2=a4214
Do đó dAB, SC=2OK=a427.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC) bằng 60°.
a) Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.
a) Vì khối lăng trụ ABC.A'B'C' đều nên gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM ⊥ BC. Do đó góc giữa hai mặt phẳng ((A′BC), (ABC)) = SMA^=60°.
Do đó khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ là:
AA'=AM.tanSMA^=a32tan60°=3a2.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.
b) Thể tích khối lăng trụ là: V=AA'.SΔABC=3a2.a232=334a3.
Một cây cầu dành cho người đi bộ (Hình 22) có mặt sàn cầu cách mặt đường 3,5 m, khoảng cách từ đường thẳng a nằm trên tay vịn của cầu đến mặt sàn cầu là 0,8 m. Gọi b là đường thẳng kẻ theo tim đường. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b.
Vì tay vịn cầu song song với mặt đường nên khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b
chính bằng khoảng cách từ đường thẳng a xuống mặt đường.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng: 3,5 + 0,8 = 4,3(m).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b là 4,3 m.
Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bên AA′ = 2a và đáy ABCD là hình thoi có AB = a và AC=a3.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AA′.
b) Tính thể tích của khối hộp.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và có O là giao điểm hai đường chéo của đáy.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
b) Tính thể tích của khối chóp.
b) SABCD=a2.
Thể tích khối chóp là:
V=13.SO.SABCD=a326.
Tính thể tích của khối chóp cụt lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′ với O và O′ là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là a và a2,OO'=a.
