Đề kiểm tra Khoảng cách trong không gian (có lời giải)- Đề 1

Diện tích đáy lăng trụ là \(S = \frac{1}{2}.7.24 = 84\,c{m^2}\).

Thể tích của khối lăng trụ là \(V = S.h = 84.22 = 1848\,c{m^3}\).

Thể tích nước mà một khay đá chứa được tối đa là:

\(V = 6{V_1} = 6.\left[ {\frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {S.S'}  + S'} \right)} \right] = 6.\left[ {\frac{1}{3}.3\left( {{3^2} + \sqrt {{3^2}.1,{5^2}}  + 1,{5^2}} \right)} \right] = \frac{{189}}{2}\,c{m^3}\).

Ta có \(2\)lít \( = 2000\,c{m^3}\).

Ta có \(2000 \div \frac{{189}}{2} \approx 21,16\)

Vậy cần dùng tối thiểu \(22\) cái khay để đựng đủ \(2\) lít nước.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA({\rm{ do }}SA \bot (ABCD))}\\{BC \bot AB}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AH} \right.\),

mà \(SB \bot AH\) nên \(AH \bot (SBC)\) hay \(d(A,(SBC)) = AH\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{AB \cdot SA}}{{\sqrt {A{B^2} + S{A^2}} }} = \frac{{a \cdot a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}{\rm{. }}\)

Vậy \(d(A,(SBC)) = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\) thì \(AO \bot BD\), ta lại có \(SA \bot BD\) nên \(BD \bot (SAC)\). (*)

Kẻ đường cao \(AE\) của \(\Delta SAO\) thì \(AE \bot BD(\)do \((*))\).

Vậy \(AE \bot (SBD)\) hay \(d(A,(SBD)) = AE\).

Ta có: \(AC = a\sqrt 2 \) (đường chéo hình vuông), suy ra \(OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(A\) có: \(AE = \frac{{SA \cdot AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3  \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \frac{{2{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d(A,(SBD)) = AE = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Ta chứng minh được \(AK \bot (SCD)\). Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SC \bot AH}\\{SC \bot AK}\end{array} \Rightarrow SC \bot (AHK)} \right.\).

Gọi \(F = SC \cap (AHK)\) thì \(SC \bot AF\).

Khi đó: \(d(C,(AHK)) = CF\).

Ta có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {3{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 5 \).

Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AF\) nên:

\(CF.CS = A{C^2} \Rightarrow CF = \frac{{A{C^2}}}{{CS}} = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}.\)

Vậy \({\rm{d }}(C,(AHK)) = CF = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)

Ta có: \(C{C^\prime }//B{B^\prime } \Rightarrow C{C^\prime }//\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)\) nên \(d\left( {C{C^\prime },\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right)\).

Trong mặt phẳng \((ABC)\), kẻ \(CH \bot AB\) tại \(H\). (1)

Vì \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) là hình lăng trụ đứng nên \(A{A^\prime } \bot (ABC) \Rightarrow CH \bot A{A^\prime }\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(CH \bot \left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right) = CH\).

Xét tam giác \(ABC\), có \(A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} - 2CA \cdot CB \cdot \cos {120^^\circ } = 7{a^2}\) \( \Rightarrow AB = a\sqrt 7 \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin C = \frac{1}{2}AB \cdot CH\) \( \Rightarrow CH = \frac{{CA \cdot CB \cdot \sin {{120}^^\circ }}}{{AB}} = \frac{{a \cdot 2a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 7 }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d\left( {C{C^\prime },\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right) = CH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Ta có \(AM\) và \(C{C^\prime }\) là hai đường thẳng chéo nhau mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C{C^\prime }//\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)}\\{AM \subset \left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)}\end{array}} \right.\)

 nên \(d\left( {C{C^\prime },AM} \right) = d\left( {C{C^\prime },\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vì \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) là hình lăng trụ đứng nên \(A{A^\prime } \bot (ABC),A{A^\prime } \bot \left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\).

Do vậy \(d\left( {(ABC),\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)} \right) = A{A^\prime } = 2a\).

Khối lăng trụ \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có chiều cao \(h = A{A^\prime } = 2a\), diện tích đáy là:

\(S = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin {120^^\circ } = \frac{1}{2}a \cdot 2a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

Thể tích khối lăng trụ là: \(V = Sh = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \cdot 2a = {a^3}\sqrt 3 \).

d: sai vì \(BD\) không vuông góc với \(CD\).

\(\begin{array}{l}V = {S_{ABC}} \cdot {A^\prime }A\\ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \cdot a = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^3}\end{array}\)

Ta có khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Khi bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang, thì mặt nước nằm trong mặt phẳng song song với đáy. Vì vậy, để đo độ sâu của bể, ta có thể đo khoảng cách từ mặt nước đến đáy bể.

Khi thả quả dọi vào bể nước, nó sẽ chìm dưới mặt nước và chạm đến đáy bể. Khi kéo quả dọi lên, ta sẽ thấy một đoạn dây dọi nằm trong bể nước và một đoạn dây dọi ở ngoài bể nước. Đoạn dây dọi nằm trong bể nước có độ dài bằng khoảng cách từ mặt nước đến chỗ quả dọi chạm đáy bể. Do đó, để đo độ sâu của bể, ta chỉ cần đo độ dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước.