Giải SGK Toán 11 CTST Bài 3. Hai mặt phẳng vuông góc có đáp án
36 câu hỏi
Trong thực tế, người ta thường nói mặt ngang và mặt đứng của các bậc thang vuông góc với nhau. Vậy thế nào là hai mặt phẳng vuông góc?
Hai mặt phẳng vuông góc khi góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.
a) Có thể xác định góc giữa hai cánh cửa nắp hầm (Hình 1) bằng cách sử dụng góc giữa hai cây chống vuông góc với mỗi cánh hay không
a) Có thể xác định góc giữa hai cánh cửa nắp hầm bằng cách sử dụng góc giữa hai cây chống vuông góc với mỗi cánh.
b) Thế nào là góc giữa hai mặt phẳng? Tại sao thiết bị trong Hình 2 lại có thể đo được góc giữa mặt phẳng nghiêng (Q) và mặt đất (P).
b) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Khi đặt thiết bị lên mặt phẳng nghiêng (Q) thì OM vuông góc với mặt phẳng nghiêng (Q), ON vuông góc với mặt đất (P).
Khi đo góc giữa OM và ON chính là góc giữa (Q) và (P).
Từ một điểm O vẽ hai tia Ox và Oy lần lượt vuông góc với hai bức tường trong phòng. Đo góc xOy^.
Sử dụng thước êke hoặc thước đo góc, ta đo được xOy^=90°.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, điểm M không thuộc (P) và (Q). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên (P) và (Q). Gọi là giao điểm của d và (MHK) (Hình 8).
a) Giả sử (P) ⊥ (Q), hãy cho biết tứ giác MHOK là hình gì? Tìm trong (P) đường thẳng vuông góc với (Q).
a) Vì MH ⊥ (Q) nên MH ⊥ (OH)
MK ⊥ (Q) nên MK ⊥ OK
Mà (P) ⊥ (Q) nên HM ⊥ MK.
Tứ giác MHOK có MHO^=MKO^=HMK^=90°
Vậy tứ giác MHOK là hình chữ nhật.
Trong (P) có OH ⊥ (Q).
b) Giả sử (P) chứa đường thẳng a với a ⊥ (Q), hãy cho biết tứ giác MHOK là hình gì? Tính góc giữa (P) và (Q).
b) Ta có:
a ⊥Q MH ⊥P⇒MH⊥a⇒MH // OK
Lại có MH ⊥ (P) nên OK ⊥ (P) ⇒OK ⊥ OH
Tứ giác MHOK có MHO^=MKO^=HOK^=90°
Vậy tứ giác MHOK là hình chữ nhật.
((P), (Q)) = (MH, MK) = HMK^=90°
Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông. Chứng minh rằng:
a) (SAC) ⊥ (ABCD) .
a) Gọi O = AC ∩ BD
• ΔSAC cân tại S nên SO ⊥ AC (1)
• ΔSBD cân tại S ∩ SO ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO ⊥ (ABCD)
Ta có:
SO ⊥ABCDSO ⊂SAC ⇒SAC ⊥ ABCD .
b) (SAC) ⊥ (SBD).
b) Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.
Mà SO ⊥ AC nên AC ⊥ (SBD).
Ta lại có: AC ⊂SAC
Do đó (SAC) ⊥ (SBD).
Mô tả cách kiểm tra một bức tường vuông góc với mặt sàn bằng hai cái êke trong Hình 10.
Đặt êke sao cho hai cạnh góc vuông của hai êke chạm nhau tạo thành một đường thẳng, hai cạnh còn lại của hai êke sát với mặt sàn.
Nếu đường thẳng đó nằm sát với bức tường thì bức tường vuông góc với mặt sàn.
Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Mặt phẳng (P) chứa a và cắt (Q) theo giao tuyến c. Trong (Q) ta vẽ đường thẳng b vuông góc với c. Hỏi:
a) (P) có vuông góc với (Q) không?
a) Ta có:
a ⊥ Qa⊂(P)⇒(P)⊥(Q)
b) Đường thẳng b vuông góc với (P) không?
b) Ta có:
a ⊥ Qb⊂(Q)⇒a⊥bb⊥ca,c⊂(P)⇒b⊥(P)
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi a là giao tuyến của (P) và (Q). Lấy điểm M trong (R), vẽ hai đường thẳng MH và MK lần lượt vuông góc với (P) và (Q). Hỏi:
a) Hai đường thẳng MH và MK có nằm trong (R) không?
a) Ta có:
M ∈R MH⊥(P)(R)⊥(P)⇒MH⊂(R)
M ∈R MK⊥(P)(R)⊥(P)⇒MK⊂(R)
Vậy hai đường thẳng MH và MK có nằm trong (R).
b) Đường thẳng a có vuông góc với (R) không?
b) Ta có:
MH ⊥ P⇒MH⊥a MK⊥(Q)⇒MK⊥aMH,MK⊂(R)⇒a⊥(R)
Tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng:
a) (ADC) ⊥ (ABE) và (ADC) ⊥ (DFK).
b) OH ⊥ (ADC).
b)
Ta có:
ADC⊥(ABE)ADC⊥DFKABE∩DFK=OH⇒OH⊥(ADC).
Nêu cách đặt một quyển sách lên mặt bàn sao cho tất cả các trang sách đều vuông góc với mặt bàn.
Ta mở quyển sách ra và đặt quyển sách lên mặt bàn sao cho hai mép dưới của bìa sách nằm trên mặt bàn.
a) Cho hình lăng trụ ABCDE.A′B′C′D′E′ có cạnh bên AA′ vuông góc với một mặt phẳng đáy (Hình 18a). Có nhận xét gì về các mặt bên của hình lăng trụ này ?
b) Cho hình lăng trụ có đáy là đa giác đều và có cạnh bên vuông góc với một mặt phẳng đáy (Hình 18b). Có nhận xét gì các mặt bên của hình lăng trụ này?
c) Một hình lăng trụ có đáy là hình bình hành và có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy (Hình 18c) thì có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật?
d) Một hình hộp nếu có đáy là hình chữ nhật và có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy (Hình 18d) thì có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật?
a) Các mặt bên của hình lăng trụ này là hình chữ nhật vuông góc với mặt phẳng đáy.
b) Các mặt bên của hình lăng trụ này là hình chữ nhật vuông góc với mặt phẳng đáy.
c) Hình lăng trụ đó có 4 mặt bên là hình chữ nhật.
d) Hình lăng trụ đó có cả 6 mặt là hình chữ nhật.
Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′ có cạnh bên bằng h và cạnh đáy bằng a. Tính A′C và A′D theo a và h.
Một chiếc lồng đèn kéo quân có dạng hình lăng trụ lục giác đều với cạnh đáy bằng 10 cm và cạnh bên bằng 30 cm (Hình 20). Tính tổng diện tích các mặt bên của chiếc lồng đèn đó.
Diện tích một mặt bên của lồng đèn là:
10.30 = 300(cm2)
Tổng diện tích các mặt bên của chiếc lồng đèn đó là:
300.6 = 1800(cm2)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với tâm O và các cạnh bên của hình chóp bằng nhau (Hình 21). Đường thẳng SO có vuông góc với đáy không?
Vì ΔSAC cân tại S nên SO ⊥ AC (1)
Vì ΔSBD cân tại S nên SO ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2), suy ra SO ⊥ (ABCD)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy và AB = a, SA = 2a. Tính SO theo a.
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ⇒ SO ⊥ (ABCD)
⇒ SO ⊥ OA.
Ta có: ABCD là hình vuông ⇒AC=2AB2=a2⇒AO=12AC=a22
Xét tam giác SOA vuông tại O:
SO= SA2−AO2=a142 (theo định lí Pytago)
Vậy SO=a142
Cho biết kim tự tháp Khafre tại Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao khoảng 136m và cạnh đáy dài khoảng 152m. Tính độ dài đường cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của kim tự tháp.
(nguồn:https://vi.wikipedia.org/wiki/ Kim_tự_tháp_Khafre)
Mô hình hoá hình ảnh kim tự tháp bằng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy.
Kẻ SH ⊥ CD(H ∈ CD)
Ta có: SO = 136m , AD = 152 m
Tam giác SCD cân tại S
⇒ SH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác SCD
⇒ H là trung điểm của CD.
Mà O là trung điểm của AD.
⇒OH là đường trung bình của tam giác ACD
⇒OH=12AD=76 (m)
Ta có: SO ⊥ (ABCD) ⇒SO ⊥ OH
⇒ ΔSOH vuông tại O.
⇒ SH=SO2+OH2=1362+762 ≈155,8 (m)
Vậy độ dài đường cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của kim tự tháp khoảng 155,8 m.
Cho hình chóp đều S.A1A2...A6. Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy và cắt các cạnh bên lần lượt tại A′1A′2...A′6.
a) Đa giác A′1A′2...A′6 có phái lục giác đều không? Giải thích.
a) Ta có:(P) // (A1A2A3...A6)
Do đó A1′A2′ // A1A2; A2′A3′ // A2A3; A3′A4′ // A3A4;
A4′A5′ // A4A5; A5′A6′ // A5A6; A6′A1′ // A6A1
Khi đó A'1A'2A1A2=A'2A'3A2A3=A'3A'4A3A4=A'4A'5A4A5=A'5A'6A5A6=A'6A'1A6A1 .
Mà A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = A5A6 = A6A1
⇒A1′A2′ = A2′A3′ = A3′A4′ = A4′A5′ = A5′A6′ = A6′A1′
Vậy đa giác A′1A′2...A′6 là lục giác đều.
b) Gọi O và O′ lần lượt là tâm của hai lục giác A1A2...A6 và A′1A′2...A′6. Đường thẳng OO′ có vuông góc với mặt đáy không?
b) Ta có:
∈A'1A'4⊂SA1A4 ∈A'3A'6⊂SA3A6 SA1A4∩SA3A6=SO⇒O'∈SO
Mà S.A1A2...A6 là hình chóp đều nên SO ⊥ (A1A2...A6 ).
Vậy OO′ ⊥ (A1A2...A6).
Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy lớn bằng a, cạnh đáy nhỏ a2 và cạnh bên 2a. Tính độ dài đường cao của hình chóp cụt đó.
Gọi O, O′ lần lượt là tâm của hai đáy ABC và A′B′C′; M, M′ lần lượt là trung điểm của BC và B′C′.
Kẻ A′H ⊥ AO (H∈ AO).
Khi đó, ta có A′H = OO′.
• ΔABC đều nên AM=a2⋅32=a34⇒AO=23AM=a36.
• ΔA′B′C′ đều nên A'M'=a2.32=a34⇒A'O'=23A'M'=a36
• A′HOO′ là hình chữ nhật nên OH=A'O'=a36⇒AH=AO−OH=a36.
• Tam giác AA′H vuông tại H nên OO'=A'H=AA'2−AH2=a1416.
Một người cần sơn tất cả các mặt của một cái bục để đặt tượng có dạng hình chóp cụt lục giác đều có cạnh đáy lớn 1 m, cạnh bên và cạnh đáy nhỏ bằng 0,7 m. Tính tổng diện tích cần sơn.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
a) Chứng minh rằng (SBC) ⊥ (SAC).
a) Ta có (SAC) ⊥ (ABC) ⇒ AC ⊥ (ABC) ⇒ AC ⊥ BC
Mà (SAC) ∩ (ABC) = AC nên BC ⊥ (SAC)
Do đó(SBC) ⊥ (SAC).
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh rằng (ABI) ⊥ (SAC).
b) Ta có: BC ⊥ (SAC) nên BC ⊥ AI (AI ⊂ (SAC)) (1)
Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC nên AI ⊥ SC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AI ⊥ (SBC)
Mà AI ⊂ (ABI) nên(ABI) ⊥ (SAC)
Cho tam giác đều ABC cạnh a, I trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Vẽ đoạn thẳng SD có độ dài a62 và vuông góc với (ABC). Chứng minh rằng:
a) (SBC) ⊥ (SAD);
b) (SAB) ⊥ (SAC).
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AA′ = 2a, AD = 2a, AB = BC = a.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC′.
b) Tính tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ.
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình thoi. Cho biết AB = BD = a, A′C = 2a.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AA′.
b) Tính tổng diện tích các mặt của hình hộp.
Cho hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ và đường nối tâm hai đáy bằng a. Tính độ dài cạnh bên và đường cao của mỗi mặt bên.
Kim tự tháp bằng kính tại bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao là 21,6 m và cạnh đáy dài 34 m. Tính độ dài cạnh bên và diện tích xung quanh của kim tự tháp.
