Giải SGK Toán 11 CTST Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án
32 câu hỏi
Trong thực tế, người thợ xây dựng thường dùng dây dọi để xác định đường vuông góc với nền nhà. Thế nào là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng?
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Thả một dây dọi AO chạm sàn nhà tại điểm O. Kẻ một đường thẳng xOy bất kì trên sàn nhà.
a) Dùng êke để kiểm tra xem AO có vuông góc với xOy không.
a) AO vuông góc với xOy.
b) Nêu nhận xét về góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà.
b) Góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà là góc vuông.
Cho đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b trong mặt phẳng (P). Xét một đường thẳng c bất kì trong (P) (c không song song với a và b). Gọi O là giao điểm của d và (P). Trong (P) vẽ qua O ba đường thẳng lần lượt song song với a, b, c. Vẽ một đường thẳng cắt a′, b′, c′ lần lượt tại B, C, D. Trên d lấy hai điểm E, F sao cho O là trung điểm của EF (Hình 4).
a) Giải thích tại sao hai tam giác CEB và CFE bằng nhau.
a) Ta có: d⊥aa'⊥a⇒d⊥a'⇒EF⊥OB
Tam giác EBF cóEF ⊥ OB
O là trung điểm của EF
⇒Tam giác EBF cân tại B.
⇒ BE = BF
Tương tự: d⊥bb'⊥b⇒d⊥b'⇒EF⊥OC
Tam giác ECF cóEF ⊥ OC
O là trung điểm của EF
⇒ Tam giác ECF cân tại C .
⇒ CE = CF
Xét ΔCEB và ΔCFB có:
BE = BF; CE = CF; cạnh BC chung
Do đó ΔCEB = ΔCFB (c.c.c)
b) Có nhận xét gì về tam giác DEF? Từ đó suy ra góc giữa d và c.
b) Vì ΔCEB = ΔCFB nên DE = DF
Suy ra tam giác DEF cân tại D.
Mà DO là trung tuyến của tam giác DEF nên DO ⊥ EF.
Do đó d ⊥ c.
a) Trong không gian, cho điểm O và đường thẳng d. Gọi a, b là hai đường thẳng phân biệt đi qua O và vuông góc với d (Hình 6a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mp (a, b) ?
a) Ta có: d⊥ad⊥ba∩b=O⇒d⊥mp(a,b)
b) Trong không gian, cho điểm O và mặt phẳng (P). Gọi (Q) và (R) là hai mặt phẳng đi qua (O) và lần lượt vuông góc với hai đường cắt nhau a, b nằm trong (P) (Hình 6b). Có nhận xét gì về vị trí giữa mặt phẳng (P) và giao tuyến d của (Q), (R) ?
b) Ta có: a⊥Qd⊂(Q)⇒a⊥d
b⊥Rd⊂(R)⇒b⊥d
Mà a, b cắt nhau nằm trong (P)
d ⊥ (P).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần luợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC, SD. Chứng minh rằng:
a) CB ⊥ (SAB) và CD ⊥ (SAD);
a) Ta có: SA ⊥ (ABCD) nên A ⊥ BC
Mà ABCD là hình vuông nên AB ⊥ BC
Và AB ∩ SA = {A}
Do đó BC ⊥ (SAB)
Tương tự: SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD
Mà ABCD là hình vuông nên AD ⊥ CD
Và AD ∩ SA = {A}.
Do đó CD ⊥ (SAD).
b) HK ⊥ AI.
Làm thế nào để dựng cột chống một biển báo vuông góc với mặt đất?
Vì chân của cột chống biển báo là hai đường thẳng cắt nhau nên khi ta dựng cột chống vuông góc với hai chân của cột chống thì cột chống của biển báo vuông góc với mặt đất.
Nêu nhận xét về vị trí tương đối của:
a) Hai thân cây cùng mọc vuông góc với mặt đất.
b) Mặt bàn và mặt đất cùng vuông góc với chân bàn.
c) Thanh xà ngang nằm trên trần nhà và mặt sàn nhà cùng vuông góc với cột nhà.
a) Hai thân cây cùng mọc vuông góc với mặt đất song song với nhau.
b) Mặt bàn và mặt đất song song với nhau.
c) Thanh xà ngang nằm trên trần nhà và mặt sàn nhà song song với nhau.
Cho tứ diện OABC có OA vuông góc với mặt phẳng (OBC) và có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC. Vẽ OH là đường cao của tam giác OBC. Chứng minh rằng:
a) OA ⊥ (A′B′C′);
a) Xét tam giác OAB:
A′ là trung điểm OA
B′ là trung điểm AB
Nên A′B′ là đường trung bình của ΔOAB.
Do đó A′B′ // OB A′B′ // (OBC) (vì
Tương tự: B′C′ là đường trung bình của ΔABC
Do đó B′C′ // BC B′C′ // (OBC) (vì
Ta có: A' // OBC B'C' //OBC A',B'C'⊂⇒A' //OBC
Mà OA ⊥ (OBC)
Vậy OA ⊥ (A′B′C′).
b) B′C′ ⊥ (OAH).
b) Ta có OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ BC
Mà OH ⊥ BC (OH là đường cao của ΔOBC), suy ra BC ⊥ (OAH)
Lại có: B′C′ // BC nên B′C′ ⊥ (OAH).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông với AB là cạnh góc vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cho M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, AB, CD, SC. Chứng minh rằng:
a) AB ⊥ (MNPQ);
a) Xét tam giác SBC:
M là trung điểm SB
Q là trung điểm SC
Do đó MQ là đường trung bình của ΔSBC.
MQ//BCBC⊥AB⇒MQ⊥AB (1)
Tương tự: MN là đường trung bình của ΔSAB. Khi đó:
MN // SASA⊥ABCD⇒ MN ⊥ (ABCD) MN ⊥ AB (2)
Xét hình thang ABCD:
N là trung điểm AB
P là trung điểm CD
Do đó NP là đường trung bình của hình thang ABCD. Khi đó:
NP // BCBC ⊥AB ⇒NP ⊥AB
Từ (1), (2) và (3) suy ra AB ⊥ (MNPQ)
b) MQ ⊥ (SAB).
b) Ta có: AB⊥BCSA⊥BC⇒BC ⊥ SAB
Mà BC // MQ
Do đó MQ ⊥ (SAB)
Một kệ sách có bốn trụ chống và các ngăn làm bằng các tấm gỗ (Hình 18). Làm thế nào dùng một êke để kiểm tra xem các tấm gỗ có vuông góc với mỗi trụ chống và song song
với nhau hay không? Giải thích cách làm.
‒ Ta dùng êke kiểm tra hai mép tấm gỗ vuông góc với trụ chống thì tấm gỗ vuông góc với trụ chống.
‒ Ta kiểm tra tấm gỗ vuông góc với các trụ chống thì các trụ chống song song với nhau.
Hai người thợ trong hình đang thả dây dọi từ một điểm M trên trần nhà và đánh dấu điểm M′ nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn. Có nhận xét gì về đường thẳng MM′ với mặt sàn?
Đường thẳng MM′ vuông góc với mặt sàn.
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm C, đường thẳng CD và tam giác SCD trên mặt phẳng (SAB).
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không thuộc (P) và không vuông góc với (P). Lấy hai điểm A, B trên b và gọi A′, B′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên (P).
a) Xác định hình chiếu b′ của b trên (P).
a) Ta có: AA′⊥ (P), BB′⊥ (P),
Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng b trên mặt phẳng (P) là đường thẳng A′B′.
Vậy b'≡A'B'
b) Cho a vuông góc với b, nêu nhận xét về vị tri tương đối giữa:
i) đường thẳng a và mp (b, b′);
ii) hai đường thẳng a và b′.
b)
i) AA' ⊥ P ⇒A' ⊥ aa⊥b ⇒a⊥mpb,b'
ii) a⊥mpb,b'b'⊂mpb,b'⇒a⊥b'
c) Cho a vuông góc với b′, nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:
i) đường thẳng a và mp (b, b′);
ii) giữa hai đường thẳng a và b.
c)
i) AA'⊥P⇒AA'⊥aa⊥b' ⇒a⊥mpb,b'
ii) a⊥mpb,b'b⊂mpb,b'⇒a⊥b
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Vẽ đường thẳng qua O và vuông góc với (ABC) tại H. Chứng minh AH ⊥ BC.
Ta có: OA⊥OBOA⊥OC
⇒OA⊥OBC⇒OA⊥BC (1)
Mà OH⊥ABC⇒OH⊥BC (2)
Từ (1) và (2) ⇒BC⊥OAH⇒BC⊥AH (AH ⊂OAH.
Nêu cách tìm hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng AB trên trần nhà xuống nền nhà bằng hai dây dọi.
Thả dây dọi từ điểm A và đánh dấu điểm A′ nơi đầu quả dọi chạm sàn.
Thả dây dọi từ điểm B và đánh dấu điểm B′ nơi đầu quả dọi chạm sàn.
Khi đó đoạn thẳng A′B′ là hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng AB trên trần nhà xuống nền nhà.
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD). Cho biết ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2AD.
a) Chứng minh CD ⊥ (SAD).
a) Ta có:
SA⊥ABCD⇒SA ⊥CDAD⊥CD ⇒CD⊥SAD
b) Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh CM ⊥ (SAB).
b) Ta có:
AB // CD AM // CD
AM = CD =12AB
AMCD là hình bình hành
Mà MAD^=90° AMCD là hình chữ nhật.
⇒CM ⊥ AB SA ⊥ABCD⇒SA⊥CM⇒CM⊥SAB
Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H, lấy điểm S. Chứng minh rằng:
a) AC ⊥ (SHK);
a) Xét tam giác ADB:
H là trung điểm AB
K là trung điểm AD
⇒ HK là đường trung bình của ΔADB.
⇒HK // BDAC ⊥BD ⇒AC⊥HK
Ta có: AC⊥HK SH⊥ABCD⇒SH⊥AC⇒AC⊥SHK
b) CK ⊥ (SDH).
b) Gọi
Xét ΔAHD và ΔDKC:
AH = DK
HAD^=KDC^
AD = CD
ΔAHD = ΔDKC (c.g.c)
⇒ HDA^=KCD^
Ta có: DKC^+KCD^=90°
⇒DKC^+HDA^=90°
⇒ DKI^=180°−KDC^+HDA^=90°⇒DH ⊥ CK
Mà SH ⊥ (ABCD) SH ⊥ CK
Vậy CK ⊥ (SDH).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a2, có các cạnh bên đều bằng 2a.
a) Tính góc giữa SC và AB.
a) Ta có: AB // CD (SC, AB) = (SC, CD) = SCD^
Xét ΔSCD, áp dụng định lí cos, ta có:
cosSCD^=SC2+CD2−SD22.SC.SD=4a2+2a2−4a22.2a.2a=14
Do đóSCD^≈75,5°
b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SABtrên mặt phẳng (ABCD).
b) Gọi O=AC ∩ BD
Ta có:
ΔSAC cân tại S nên SO ⊥ AC (1)
ΔSBD cân tại S nên SO ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO ⊥ (ABCD)
Do đó O là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD).
Mà A, B ∈ (ABCD)
Vậy ΔOAB là hình chiếu vuông góc của ΔSAB lên (ABCD).
Ta có: AC = AB+BC =2a2+2a2=2a
Mà ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của mỗi đường chéo.
AO = BO = AC2=a
⇒SOAB=12. AO . BO=12 . a . a=a22
Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SABtrên mặt phẳng (ABCD) là .
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB^=90°,BSC^=60° và ASC^=120°. Gọi I là trung điểm cạnh AC. Chứng minh SI ⊥ (ABC).
Một cái lều có dạng hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có cạnh bên AA′ vuông góc với đáy (Hình 24). Cho biết AB = AC = 2,4m; BC = 2m; AA′ = 3m.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng AA′ và BC; A′B′ và AC.
b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB′ trên mặt phẳng (BB′CC′).
