Đề kiểm tra Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\[SA \bot SB\].
\[SA \bot SC\].
\[SA \bot AB\].
\[SB \bot SC\].
![Cho hình chóp \[S.ABC\] có \(SA\) vuông góc với mặt đáy ABC. Mệnh đề nào sau đây là đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid0-1771808596.png)
\[\left. \begin{array}{l}SA \bot (ABC)\\AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot AB.\]
Cho hình chóp \[S.ABCD\] đáy \(ABCD\) là hình bình hành, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Góc tạo bởi giữa hai đường thẳng nào sau đây bằng \(90^\circ \)?
\[SA,SB\].
\[SA,SC\].
\[SA,BD\].
\[SB,AD\].
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] đáy \(ABCD\) là hình bình hành, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid1-1771808826.png)
\[\left. \begin{array}{l}SA \bot (ABCD)\\BD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BD \Rightarrow \left( {SA,BD} \right) = 90^\circ .\]
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(SB \bot BC\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\[SA \bot \left( {ABCD} \right)\].
\[SB \bot \left( {ABCD} \right)\].
\[BC \bot \left( {SAC} \right)\].
\[BC \bot \left( {SAB} \right)\].
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(SB \bot BC\). Mệnh đề nào sau đây là đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid2-1771808865.png)
\[\left. \begin{array}{l}BC \bot SB,BC \bot AB\\SB \cap AB = \left\{ {\left. B \right\}} \right.\\SB,AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).\]
Cho tam giác \(ABC\) có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(AB\)?
\[2\].
Vô số.
\[0\].
\[1\].
Theo tính chất qua một điểm cho trước chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O\) có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm \(O\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)?
\[2\].
Vô số.
\[0\].
\[1\].
Theo tính chất qua một điểm cho trước chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Gọi \(O\) là tâm của \(ABCD\) và \(I\) là trung điểm của \(SC\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(BC \bot (SAC)\).
\(\left( {SAC} \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(BD\).
\(IO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Tam giác \(SCD\) vuông ở \(C\).
Theo bài ra ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\quad (1)\).
Do \(O\) là tâm của hình chữ nhật \(ABCD\) và \(I\) là trung điểm của \(SC\) nên \(OI\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\). Suy ra \(OI{\rm{//}}\,SA\quad \,(2).\)
Từ (1) và (2) và theo Định lý 3, a) ta có: \(IO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(AB \bot BC\). Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SBC\). \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(\left( {ABC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(H\)là trung điểm cạnh \(AB\).
\(H\) là hình chiếu của \(B\) trên \((SAC)\).
\(OH{\rm{//}}\,SA.\)
\(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SAC\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right.\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\). Suy ra \(O\) là trung điểm của \(SC\). Mặt khác \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(\left( {ABC} \right)\) nên \(OH \bot \left( {ABC} \right)\).
Theo giả thiết, lại có: \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Vậy theo Định lý 3, b) ta có: \(OH{\rm{//}}\,SA.\)
Mệnh đề nào sau đây sai?
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
Cho đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) thì cũng vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.
C có thể sai vì: Cho đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Đường thẳng vuông góc với\(\Delta \) có thể song song với \(\left( \alpha \right)\) nếu nó nằm trong cùng một mặt phẳng với đường thẳng \(\Delta \).
Cho hai đường thẳng phân biệt \[a,{\rm{ }}b\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\], trong đó \[a \bot \left( P \right)\]. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Nếu \[b \bot \left( P \right)\] thì \[b{\rm{//}}a\].
Nếu \[b{\rm{//}}\left( P \right)\] thì \[b \bot a\].
Nếu \[b{\rm{//}}a\] thì \[b \bot \left( P \right)\].
Nếu \[b \bot a\] thì \[b{\rm{//}}\left( P \right)\].
Theo Định lý 5, b) ta có: D sai vì đường thẳng \[b\] có thể nằm trong mặt phẳng \[\left( P \right)\].
Cho hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] song song với nhau, một đường thẳng \[\Delta \] vuông góc với mặt phẳng \[\left( Q \right)\]. Nhận xét nào dưới đây là đúng?
\[\Delta \subset \left( P \right)\].
\[\Delta \bot \left( P \right)\].
\[\Delta {\rm{//}}\left( P \right)\].
\[\Delta \] cắt \[\left( P \right)\] nhưng \[\Delta \] không vuông góc với \[\left( P \right)\]
Ta có \[\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right),\,\Delta \bot \left( Q \right) \Rightarrow \Delta \bot \left( P \right)\].
Người ta hoàn thành xây dựng nhà để xe có mái nghiêng phẳng ( như hình bên dưới). Biết độ nghiêng của mái che so với mặt đất là \(30^\circ ,\) và công nhân đã sử dụng tất cả 15 miếng tôn có kích thước mỗi miếng ngang \(1,2m\) và dài \(10m\) xếp liền kề nhau ( giả sử diện tích đè lên nhau của các miếng tôn liền kề không đáng kể). Hỏi diện tích bóng mát che phủ trên mặt đáy tại thời điểm 12 giờ trưa của mái nghiêng là bao nhiêu?
\[150,1{m^2}.\]
\[155,9\,\,{m^2}.\]
\[173,8\,{m^2}.\]
\[180,2\,{m^2}.\]
Gọi \(S\) là diện tích mái nghiêng phẳng là: \(S = 1,2 \times 10 \times 15 = 180\,\,m\)
Gọi \(S'\) là diện tích bóng mát che phủ trên mặt đáy tại thời điểm 12 giờ trưa của mái nghiêng
Ta có: S'=S.cos30°=180×cos30°≈155,9 m2.
Một món quà lưu niệm dạng hình chóp có đáy là hình vuông cạnh 5cm, các cạnh bên có độ dài bằng nhau và bằng 7cm. Tính\(S' = S.\cos 30^\circ = 180 \times \cos 30^\circ \approx 155,9\,\,{m^2}.\) chiều cao của hình chóp (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
6,05 cm.
\(6,04\)cm.
\(6,041\)cm.
\(6,051\)cm.
Giả sử các cạnh và các đỉnh của món quà lưu niệm dạng hình chóp có đáy là hình vuông cạnh 5cm, các cạnh bên có độ dài bằng nhau và bằng 7cm được mô tả như hình bên
Ta có \(SA = SC\), \(SB = SD\) nên tam giác \(SAC\), \(SBD\) cân tại \(S\). Do đó \(SO \bot AC,SO \bot BD\)\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Do đó \(SO\) là chiều cao của khối chóp.
Xét tam giác \(ACD\) có \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{5^2} + {5^2}} = \frac{5}{{\sqrt 2 }}\)cm.
Xét tam giác \(SAO\) có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{7^2} - \frac{{25}}{2}} = \frac{{\sqrt {146} }}{2} \approx 6,041522987\)cm.
Vì kết quả làm tròn đến hàng phần trăm nên \(SO = 6,04\)cm.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot (ABC)\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Gọi \(H\), \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên các cạnh \(SB,SC\). Khi đó:
Tam giác \(SBC\) cân tại \(B\).
\(AH\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\).
(SC,HK)=90°
Giả sử \(HK\) cắt \(BC\) tại \(D\). Khi đó (AC,AD)=90°
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA({\rm{do }}SA \bot (ABC))}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB)} \right.\),
mà \(SB \subset (SAB)\) nên \(BC \bot SB\) hay tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\).
b) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AH \bot SB}\\{AH \bot BC({\rm{do }}BC \bot (SAB))}\end{array} \Rightarrow AH \bot (SBC)} \right.\).
c) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SC \bot AK}\\{SC \bot AH({\rm{do }}AH \bot (SBC))}\end{array} \Rightarrow SC \bot (AHK)} \right.\),
mà \(HK \subset (AHK)\) nên \(SC \bot HK\) hay (SC,HK)=90°
d) Vì \((AHK) \equiv (ADK)\) mà \(SC \bot (AHK)\) nên \(SC \bot (ADK) \Rightarrow SC \bot AD\). (1)
Mặt khác \(SA \bot AD\) (do \(SA \bot (ABC),AD \subset (ABC)\) ). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AD \bot (SAC) \Rightarrow AD \bot AC\) hay (AC,AD)=90°
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC,DB = DC\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó:
\(BC \bot AI\)
\(BC \bot (ADI)\).
\(BC \bot AD\).
Nếu \(AI = AD\), gọi \(H\) là trung điểm \(ID\). Khi đó \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \((BCD)\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có \(BC \bot AI\) (vì \(AB = AC\))
\(BC \bot DI\) (vì \(BD = CD) \Rightarrow BC \bot (ADI)\)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot (ADI)}\\{AD \subset (ADI)}\end{array} \Rightarrow BC \bot AD} \right.\)
Ta có \(AI = AD \Rightarrow AH \bot DI\)
Mặt khác \(AH \bot BC\) (do \(BC \bot (ADI)) \Rightarrow AH \bot (BCD)\)
Vậy \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \((BCD)\).
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(SA = SB\) và \(AC = CB\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
\(SB \bot AB\).
\(SA \bot \left( {ABC} \right)\).
\(AB \bot {\rm{S}}C\).
a) Sai | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\); \(\Delta SAB\) và \(\Delta ABC\) lần lượt cân tại \(S\) và \(C\) nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}SM \bot AB\\CM \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SMC} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot \left( {SMC} \right)\\SC \subset \left( {SMC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot SC\).
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(AB \bot OC\).
\(OH \bot \left( {ABC} \right)\).
\(OH \bot BC\).
\(OH \bot AO\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Xét phương án a:
Vì: \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OB(gt)\\OC \bot OA\left( {gt} \right)\end{array} \right.\)
Mà \(OB \cap OA = O \in \left( {OAB} \right)\).
Nên \(OC \bot \left( {OAB} \right) \Rightarrow OC \bot AB\). Vậy a đúng.
Xét phương án b và c:
Vì: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CH\\AB \bot OC\,(cmt)\\CH \cap OC = C \in \left( {COH} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AB \bot \left( {COH} \right)\)\( \Rightarrow AB \bot OH\).
Lại vì: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot OA\left( {OA \bot \left( {COB} \right)} \right)\\OA \cap AH = A \in \left( {AOH} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {AOH} \right) \Rightarrow BC \bot OH\)
Ngoài ra \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot CB\\OH \bot AB\\CB \cap AB = B \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\).
Vì vậy b,c đúng.
Hơn nữa, xét phương án d, vì \(OH \bot OA\) và \(OH \bot AB\) thì \(OH \bot \left( {OAB} \right)\). Trái với giả thiết \(OC \bot \left( {OAB} \right)\) nên d sai.
Một cột cờ dài 2m được dựng trên mặt đất. Người ta lấy một sợi dây căng từ đỉnh của cột cờ tới vị trí A trên mặt đất. Biết sợi dây dài 2,5m và vị trí A cách chân cột cờ là 1,6m. Hỏi cột cờ đã được dựng ở vị trí vuông góc với mặt đất chưa?
Vì: \[1,{6^2} + {2^2} \ne 2,{5^2}\] nên cột cờ không vuông góc với mặt đất.
Một cột móc treo quần áo được hàn ở dưới chân hai thanh đế thẳng cắt nhau nằm sát với sàn nhà sao cho cột móc treo vuông góc với hai thanh. Giải thích tại sao cột móc treo quần áo luôn vuông góc với mặt sàn?
Cột móc treo quần áo vuông góc với hai thanh cắt nhau nằm trên sàn nhà nên cột móc sẽ vuông góc với mặt sàn.
Một tấm bìa hình chữ nhật được gấp làm đôi rồi mở nhẹ ra đặt lên mặt bàn (như hình vẽ). Chứng minh nếp gấp là một đường thẳng vuông góc với mặt bàn.
Khi gấp tấm bìa làm đôi ta sẽ được hai hình chữ nhật con. Khi đó nếp gấp sẽ vuông góc với hai cạnh nằm trên mặt bàn của hai hình chữ nhật. Vậy nếp gấp là một đường thẳng vuông góc với mặt bàn.
Chủ của một nhà hàng muốn làm tường rào bao quanh \(600{{\rm{m}}^2}\) đất để làm bãi đỗ xe. Ba cạnh của khu đất sẽ được rào bằng một loại thép với chi phí \[14000\] đồng một mét, riêng mặt thứ tư do tiếp giáp với mặt bên của nhà hàng nên được xây bằng tường gạch xi măng với chi phí là \[28000\] đồng mỗi mét. Biết rằng cổng vào của khu đỗ xe là \(5{\rm{m}}{\rm{.}}\) Tìm chu vi của khu đất sao cho chi phí nguyên liệu bỏ ra là ít nhất, biết rằng khu đất rào được có dạng hình chữ nhật.
Gọi độ dài của hàng rào xây bằng xi măng là \(x{\rm{ }}\left( {x > 5} \right)\) và độ dài hai hàng rào vuông góc với nó là \(y.\)
Vì diện tích khu đất rào được bằng \(600{{\rm{m}}^2}\) nên \(xy = 600 \Rightarrow y = \frac{{600}}{x}.\)
Độ dài dây thép để làm hàng rào là
\(\left( {x - 5} \right) + 2y = x - 5 + 2.\frac{{600}}{x} = x + \frac{{1200}}{x} - 5.\)
Suy ra tổng chi phí là
\(f\left( x \right) = \left( {x + \frac{{1200}}{x} - 5} \right).14000 + x.28000 = 42000x + \frac{{16800000}}{x} - 70000.\)
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có \(f\left( x \right) \ge 2\sqrt {42000x.\frac{{16800000}}{x}} + 5 = 1610000.\)
Đẳng thức xảy ra khi \(42000x = \frac{{16800000}}{x} \Leftrightarrow x = 20.\)
Suy ra chu vi của khu đất là \(2\left( {x + y} \right) = 2\left( {20 + \frac{{600}}{{20}}} \right) = 100{\rm{ m}}.\)
Một xào đồ treo tường được gắn song song với mặt sàn nhà và cách tường một khoảng là \(30\)cm. Biết rằng khoảng cách giữa \(C\) và \(D\) là \(3\)m (như hình vẽ minh họa). Khi đó khoảng cách giữa \(C\) và \(A\) là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị) ?
Ta thấy xào đồ được gắn vào tường và song song với mặt sàn nhà, nên xào đồ được gắn theo phương thẳng đứng so với mặt tường, tức là vuông góc với mặt tường. Mà \(CD\) là đường thẳng nằm trên mặt tường nên ta có \(AD \bot CD\).
Xét tam vuông \(ACD\), vuông tại \(D\), ta có: \(AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} = \sqrt {0,{3^2} + {3^2}} \approx 3\)m
Một thanh treo quần áo bằng gỗ có đế hình tròn và chiều cao là \(1,8\)m (như hình vẽ minh họa bên dưới) được đặt theo phương thẳng đứng trên sàn nhà. Người ta đo được khoảng cách từ điểm trên cùng của thanh đến một điểm bất kỳ trên đường tròn dưới đế là khoảng \(1,80278\)m. Khi đó đường kính đường tròn đế của thanh treo quần áo là khoảng bao nhiêu mét ?
Ta đặt các điểm như hình minh họa trên. Vì thanh treo quần áo được đặt theo phương thẳng đứng với sàn nhà nên nó vuông góc với sàn nhà cũng như vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên hình tròn dưới đế của thanh.
Xét tam giác \(ABC\), vuông tại \(B\), ta có: \(AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {1,{{80278}^2} - 1,{8^2}} \approx 0,1\)m.
Vậy đường kính đường tròn của đế thanh treo quần áo là \(0,2\)m.
