Giải SBT Toán học 11 CTST Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án
4 câu hỏi
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a2. Biết rằng SA = SB = SC = SD, SO = 2a2
a) Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD).
b) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác SAC.
a)Từ giả thiết, dễ dàng nhận thấy ∆SAC và ∆SBD là các tam giác cân.
Ta có: SO⊥ACSO⊥BD
Do đó SO ⊥ (ABCD)
b)Ta có: AC = 2a, OC = a, SC=SO2+OC2=3a.
Vẽ đường cao AH của ∆SAC.
Ta có: AH=SO.ACSC=2a2.2a3a=4a23.
Vậy độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác SAC bằng 4a23.
Cho tứ diện ABCD có AB ^ CD và AC ^ BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD). Chứng minh rằng H là trực tâm của ∆BCD và AD ⊥ BC.
Theo giả thiết: AH⊥CDAB⊥CD
Suy ra CD ⊥AHB
Do đó CD ⊥ BH(1)
Chứng minh tương tự: CH ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của ∆BCD.
Do đó DH ^ BC.
Lại có AH ^ BC suy raBC ⊥ (AHD).
VậyH là trực tâm của ∆BCD và AD ^ BC.
Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH ⊥ MD tại H.
a) Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD).
b) Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng GK ⊥ (ABC).
a)Tam giác ABC cân tại A Þ Trung tuyến AM ^ BC.
Lại có DA ^ (ABC) Þ DA ^ BC.
Þ BC ^ (ADM) Û BC ^ AH. (1)
Theo giả thiết: AH ^ DM. (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH ^ (BCD).
b)Ta có: MKMD=MGMA=13 nên GK // AD (theo định lí Thalès.
Ta lại có AD ^ (ABC) suy ra GK ^ (ABC).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo, SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh rằng SO ^ (ABCD).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BA, BC. Chứng minh rằng IJ ^ (SBD).
c) Chứng minh rằng BD ^ (SAC).
a)Từ giả thiết, dễ dàng nhận thấy ∆SAC và ∆SBD là các tam giác cân.
Ta có: SO⊥ACSO⊥BD
Do đó SO ^ (ABCD)
b)Ta có AC ^ BD và AC ^ SO, suy ra AC ^ (SBD).
IJ là đường trung bình của ∆ABC nên IJ // AC.
Do đó IJ ^ (SBD).
c)Ta có BD ^ AC (ABCD là hình thoi) và BD ^ SO, suy ra BD ^ (SAC).
