Ta có Ω = {(N; S); (N; N); (S; N); (S; S)}, n(Ω) = 4.

A = {(S; N); (S; S)} nên n(A) = 2. Do đó $P\left(A\right)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

B = {(N; N); (S; N)} nên n(B) = 2. Do đó $P\left(B\right)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

− Ta có Ω = {(x; y)| 1 ≤ x, y ≤ 6; x, y ∈ ℕ}, do đó n(Ω) = 6.6 = 36.

⦁ A = {(x; y)| x là số nguyên tố; 1 ≤ x, y ≤ 6; x, y ∈ ℕ}

A = {(2; 1); (2; 2); …; (2; 6); (3; 1); (3; 2); ...; (3; 6); (5; 1); (5; 2); …; (5; 6)}, nên n(A) = 18.

⦁ B = {(x; y)| y là số hợp tố; 1 ≤ x, y ≤ 6; x, y ∈ ℕ}

B = {(1; 4); (2; 4); …; (6; 4); (1; 6); (2; 6); ...; (6; 6)}, nên n(B) = 12.

Xác suất của biến cố A khi biến cố B xảy ra bằng $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}.$ Xác suất của biến cố A khi biến cố B không xảy ra cũng bằng $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}.$ Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố A. Mặt khác xác suất của biến cố B bằng $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3},$ không phụ thuộc vào việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A.

− Ta có kết quả (2; 4) là kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B nên A ∩ B ≠ ∅. Do đó biến cố A và B không là hai biến cố xung khắc.

Không gian mẫu của phép thử chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 20 là: Ω = {1; 2; 3; …; 20}, n(Ω) = 20.

Tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố A là A = {2; 4; 6; …; 18; 20}, n(A) = 10.

Tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố B là B = {7; 14}, n(B) = 2.

Khi đó A ∪ B = {2; 4; 6; 7; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}, n(A ∪ B) = 11.

           A ∩ B = {14}, n(A ∩ B) = 1.

a) $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}; P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10};$  

$P\left(A\cup B\right)=\frac{n\left(A\cup B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{11}{20}$ và $P\left(A\cap B\right)=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1}{20}.$

b) Ta có $P\left(A\right)+P\left(B\right)–P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}-\frac{1}{20}=\frac{11}{20}=P\left(A\cup B\right).$

Không gian mẫu của phép thử trên là Ω = {1; 2; 3; …; 52}, n(Ω) = 52.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 7” là A = {7; 14; 21; 28; 35; 42; 49}, n(A) = 7. Do đó $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{7}{52}.$

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 11” là B = {11; 22; 33; 44}, n(B) = 4. Do đó $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}.$

Trong các số 1; 2; 3; …; 52, không có số nào chia hết cho cả 7 và 11 nên A, B là hai biến cố xung khắc.

Do đó $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)=\frac{7}{52}+\frac{1}{13}=\frac{11}{52}.$

a) Số phần tử của không gian mẫu là $C_7^1\cdot C_7^1=49$ nên n(Ω) = 49.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $C_3^1\cdot C_7^1=21$ nên n(A) = 21.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là $C_7^1\cdot C_4^1=28$ nên n(B) = 28.

Ta có $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{21}{49}=\frac{3}{7}$ và $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{28}{49}=\frac{4}{7}.$

Số kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B là $C_3^1\cdot C_4^1=12$ nên n(A ∩ B) = 12. Do đó $P\left(A\cap B\right)=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{12}{49}.$

b) Ta có $P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{3}{7}\cdot \frac{4}{7}=\frac{12}{49}=P\left(A\cap B\right).$

Xét biến cố A: “Máy I của xưởng sản xuất chạy tốt”, ta có P(A) = 0,8.

Xét biến cố B: “Máy II của xưởng sản xuất chạy tốt”, ta có P(A) = 0,9.

Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập và C = A ∩ B nên ta có:

P(C) = P(A ∩ B) = P(A).P(B) = 0,8.0,9 = 0,72.

⦁ Tất cả có 17 + 20 = 37 điểm phân biệt nằm trên hai đường thẳng d₁ và d₂. Mỗi cách chọn 3 điểm trong 37 điểm là một tổ hợp chập 3 của 37 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 3 của 37 và $n\left(\Omega \right)=C_{37}^3=7770.$

⦁ Xét các biến cố:

H: “Ba đỉnh của tam giác là 3 điểm của cả hai đường thẳng d₁ và d₂”.

A: “Trong ba đỉnh của tam giác có 1 điểm thuộc d₁, 2 điểm thuộc d₂”

B: “Trong ba đỉnh của tam giác có 2 điểm thuộc d₁, 1 điểm thuộc d₂”.

Khi đó H = A ∪ B và A ∩ B = ∅.

Do hai biến cố A và B xung khắc nên n(H) = n(A) + n(B).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $n\left(A\right)=C_{17}^1\cdot C_{20}^2=3230$

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $n\left(B\right)=C_{17}^2\cdot C_{20}^1=2720$

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố H là:

n(H) = n(A) + n(B) = 3 230 + 2 720 = 5 950.

⦁ Vậy xác suất của biến cố H là: $P\left(H\right)=\frac{n\left(H\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{5950}{7770}=\frac{85}{111}.$

Sơ đồ cây biểu thị các khả năng mà bạn Thuỳ có thể tô màu trang trí cho tờ giấy đó như sau:

⦁ Mỗi cách chọn ra đồng thời 5 viên bi trong hộp có 5 + 6 + 7 = 18 viên bi cho ta một tập hợp chập 5 của 18 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 5 của 18 phần tử và $n\left(\Omega \right)=C_{18}^5=8568.$

⦁ Xét biến cố A: “Chọn được 5 viên bi có đủ ba màu và số bi màu đỏ bằng số bi màu vàng”.

Sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng thuận lợi cho biến cố A:

Như vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A) = 1 575 + 420 = 1 995.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1995}{8568}=\frac{95}{408}.$

⦁ Biến cố hợp của hai biến cố A và B là biến cố mà lần thứ nhất hoặc lần thứ hai tung đồng xu xuất hiện mặt ngửa, tức là “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”. Vậy biến cố D là biến cố hợp của A và B.

⦁ Biến cố giao của hai biến cố A và B là biến cố mà cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa. Do đó biến cố C: “Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa” là biến cố hợp của A và B.

a) Cặp biến cố xung khắc là A và C, vì nếu A xảy ra thì C không thể xảy ra, và ngược lại, nếu C xảy ra thì A không thể xảy ra.

b) Cặp biến cố độc lập là A và B, vì xảy ra hay không xảy ra biến cố A không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố B, và ngược lại, xảy ra hay không xảy ra biến cố B cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố A.

Tương tự, các cặp biến cố A và C, B và C cũng là biến cố độc lập.

Vậy các biến cố độc lập là: A và B; A và C; B và C.

Ta có: Ω = {10; 11; 12; …; 99}.

Không gian mẫu của phép thử có $\frac{99-10}{1}+1=90$ phần tử, tức là n(Ω) = 90.

Xét các biến cố:

M: “Số tự nhiên có hai chữ số được viết ra chia hết cho 11 hoặc chia hết cho 12”.

A: “Số tự nhiên có hai chữ số được viết ra chia hết cho 11”;

B: “Số tự nhiên có hai chữ số được viết ra chia hết cho 12”;

Khi đó M = A ∪ B và A ∩ B = ∅

Do hai biến cố A và B xung khắc nên n(M) = n(A ∪ B) = n(A) + n(B).

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là n(A) = 9.

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là n(B) = 8.

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố M là: n(M) = 9 + 8 = 17.

Suy ra $P\left(M\right)=\frac{n\left(M\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{17}{90}.$

− Mỗi cách chọn ra đồng thời 5 viên bi trong hộp có 12 viên bi cho ta một tổ hợp chập 5 của 12 phần tử. Do đó, không gian mẫu gồm các tổ hợp chập 5 của 12 phần tử và $n\left(\Omega \right)=C_{12}^5=792.$

− Xét biến cố A: “Trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng”.

Khi đó biến cố đối của biến cố A là $\overline{A}$: “Trong 5 viên bi không có viên bi màu vàng hoặc có 1 viên bi màu vàng”.

⦁ Trường hợp 1: Trong 5 viên bi không có viên bi màu vàng.

Có $C_7^5=21$ cách chọn.

⦁ Trường hợp 1: Trong 5 viên bi có 1 viên bi màu vàng.

Có $C_5^1\cdot C_7^4=175$ cách chọn.

Như vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline{A}$ là: $n\left(\overline{A}\right)=21+175=196.$

Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{196}{792}=\frac{49}{198}.$ 

Do đó $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{49}{198}=\frac{149}{198}.$

− Chọn 1 mã đề thi trong 6 mã đề thi môn Toán cho bạn Việt có 6 cách.

Chọn 1 mã đề thi trong 6 mã đề thi môn Tiếng Anh cho bạn Việt có 6 cách.

Chọn 1 mã đề thi trong 6 mã đề thi môn Toán cho bạn Nam có 6 cách.

Chọn 1 mã đề thi trong 6 mã đề thi môn Tiếng Anh cho bạn Nam có 6 cách.

Do đó không gian mẫu của phép thử có số phần tử là 6⁴, tức là n(Ω) = 6⁴.

− Gọi A là biến cố: “Hai bạn Việt và Nam có chung đúng một mã đề thi trong kì thi đó”.

⦁ Trường hợp 1: Hai bạn trùng mã đề thi môn Toán, không trùng mã đề thi môn Tiếng Anh.

Bạn Việt chọn 1 mã đề thi trong 6 mã đề thi môn Toán có 6 cách; chọn 1 mã đề thi trong 6 mã đề thi môn Tiếng Anh có 6 cách.

Bạn Nam chọn 1 mã đề thi môn Toán trùng với mã đề thi bạn Việt đã cho có 1 cách; chọn 1 mã đề thi trong 5 mã đề thi môn Tiếng Anh (trừ mã đề thi bạn Việt đã chọn) có 5 cách.

Như vậy, có 6.6.1.5 = 180 cách.

⦁ Trường hợp 2: Hai bạn trùng mã đề thi môn Tiếng Anh, không trùng mã đề thi môn Toán.

Tương tự trường hợp 1, cũng có 6.1.6.5 = 180 cách.

Như vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A) = 180 + 180 = 360.

Vậy xác suất của biến cố A là:

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{360}{6^4}=\frac{5}{18}.$

− Mỗi cách chọn ra đồng thời 3 viên bi trong hộp có 20 viên bi cho ta một tổ hợp chập 3 của 20 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω của phép thử trên gồm các tổ hợp chập 3 của 20 phần tử và $n\left(\Omega \right)=C_{20}^3=1140.$

− Xét biến cố A: “3 viên bi lấy ra có đúng hai màu”.

Khi đó biến cố đối $\overline{A}$ của A là: “3 viên bi lấy ra có 3 màu khác nhau hoặc có cùng màu”.

⦁ Trường hợp 1: Ba viên bi lấy ra có 3 màu khác nhau.

Có $C_9^1\cdot C_6^1\cdot C_5^1=270$ cách chọn.

⦁ Trường hợp 1: Ba viên bi lấy ra có cùng màu (cùng màu đỏ hoặc cùng màu xanh hoặc cùng màu vàng).

Có $C_9^3+C_6^3+C_5^3=114$ cách chọn.

Như vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline{A}$ là: $n\left(\overline{A}\right)=270+114=384$

Do đó, xác suất của biến cố đối $\overline{A}$ là: $P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{384}{1140}=\frac{32}{95}.$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{32}{95}=\frac{63}{95}.$