a) Kí hiệu: S là mặt sấp, N là mặt ngửa.

Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp hai lần”. Khi đó Ω = {SS; SN; NS; NN}.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: A = {SS; SN; NS};

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: B = {NS; SN; NN}.

b) Các kết quả thuận lợi của biến cố A ∪ B là {SS; SN; NS; NN};

Các kết quả thuận lợi của biến cố A ∩ B là {SN; NS}.

c) Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 4;

Ta có n(A) = 3, n(B) = 3, n(A ∪ B) = 4, n(A ∩ B) = 2.

Suy ra:

⦁  $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{3}{4}; P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{3}{4};$  

⦁  $P\left(A\cup B\right)=\frac{n\left(A\cup B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{4}=1;$

⦁  $P\left(A\cap B\right)=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

Vì A ∩ B ≠ ∅ (do   $P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{2}$) nên biến cố A và biến cố B không là hai biến cố xung khắc.

Vì P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B) (do  $\frac{1}{2}\ne \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$) nên biến cố A và biến cố B không là hai biến cố độc lập.

Ta có: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Nên P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = 0,4 + 0,5 – 0,6 = 0,3.

Suy ra A ∩ B ≠ ∅. Vậy A và B không là hai biến cố xung khắc.

Ta có: 0,1 ≠ 0,3 . 0,4 hay P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B)

Vậy A và B không là hai biến cố độc lập.

a) Số phần tử của không gian mẫu Ω là: n(Ω) = 6.6 = 36.

b) Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là 2”.

Lần gieo thứ nhất, số chấm xuất hiện là 2, có 1 cách.

Lần gieo thứ hai, số chấm xuất hiện có thể là 1; 2; 3; 4; 5; 6. Do đó có 6 cách.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A) = 1.6 = 6.

Suy ra:  $P\left(A\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$

Tương tự, số kết quả thuận lợi cho biến cố B là: n(B) = 6.1 = 6.

Suy ra:  $P\left(B\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$

Ta thấy: Vì hai lần gieo liên tiếp là độc lập nên xác suất của biến cố B khi biến cố A xảy ra là  $\frac{1}{6}.$ xác suất của biến cố B khi biến cố A không xảy ra cũng bằng  $\frac{1}{6}.$ 

Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không làm ảnh hướng đến xác suất của biến cố B. Tương tự, việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B không làm ảnh hướng đến xác suất của biến cố A. Vì vậy, hai biến cố A và B là độc lập.

Vậy  $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}.$

Ta có:

 $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,2=0,8;$

 $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7.$

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên các cặp biến cố sau cũng độc lập:  $\overline{A}$ và B, A và  $\overline{B},$  $\overline{A}$ và $\overline{B},$ Suy ra:

 $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=0,2\cdot 0,3=0,06;$

 $P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B\right)=0,8\cdot 0,3=0,24;$

 $P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)=0,2\cdot 0,7=0,14;$

 $P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)=0,8\cdot 0,7=0,56.$

Xét các biến cố A: “Bệnh nhân thứ nhất bị biến chứng nặng” và B: “Bệnh nhân thứ hai bị biến chứng nặng”. Khi đó P(A) = 0,2 và P(B) = 0,25.

Biến cố đối của biến cố A là  $\overline{A}:$ “Bệnh nhân thứ nhất không bị biến chứng nặng”.

Suy ra  $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,2=0,8.$

Biến cố đối của biến cố B là  $\overline{B}:$ “Bệnh nhân thứ hai không bị biến chứng nặng”.

Suy ra  $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-0,25=0,75.$

Từ giả thiết, ta có hai biến A và B là hai biến cố độc lập nên  $\overline{A}$ và B; A và  $\overline{B};$   $\overline{A}$và  $\overline{B};$ là các cặp biến cố độc lập.

a) Ta có M = A ∩ B nên P(M) = P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = 0,2 . 0,25 = 0,05.

b) Do   $\overline{A},$ B là hai biến cố độc lập và  $N=\overline{A}\cap B$ 

Nên  $P\left(N\right)=P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B\right)=0,8\cdot 0,25=0,2.$

c) Do  A,  $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập và   $Q=A\cap \overline{B}$ 

Nên  $P\left(Q\right)=P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)=0,2\cdot 0,75=0,15.$

d) Do $\overline{A},$  $\overline{B},$ là hai biến cố độc lập và  $R=\overline{A}\cap \overline{B}$ 

Nên  $P\left(R\right)=P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)=0,8\cdot 0,75=0,6.$

e) Ta thấy S là biến cố đối của biến cố R, nên P(S) = 1 – P(R) = 1 – 0,6 = 0,4.

Mỗi cách chọn 1 học sinh từ 40 học sinh trong lớp cho ta một tổ hợp chập 1 của 40 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 1 của 40 phần tử và $n\left(\Omega \right)=C_{40}^1=40.$

a) Xét biến cố A: “Học sinh được chọn thích chơi cầu lông”.

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là  $n\left(A\right)=C_{25}^1=25.$

Xác suất của biến cố A là:  $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{25}{40}=\frac{5}{8}.$

b) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là  $n\left(B\right)=C_{20}^1=20.$

Xác suất của biến cố B là:  $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}.$

c) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố C là  $n\left(C\right)=C_{12}^1=12.$

Xác suất của biến cố C là:  $P\left(C\right)=\frac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10}.$

d) Ta thấy D = A ∪ B và C = A ∩ B nên ta có:

 $P\left(D\right)=P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

            $=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(C\right)=\frac{5}{8}+\frac{1}{2}-\frac{3}{10}=\frac{33}{40}.$ 

Xét các biến cố A: “Van I hoạt động tốt” và B: “Van II hoạt động tốt”.

Từ giả thiết, suy ra A, B là hai biến cố độc lập và P(A) = 0,8; P(B) = 0,6.

Suy ra: P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = 0,8 . 0,6 = 0,48.

Xét biến cố C: “Nồi cơm điện hoạt động an toàn”.

Theo đề bài, nồi cơm điện hoạt động an toàn khi có ít nhất một van hoạt động tốt hay C = A ∪ B.

Xác suất nồi cơm điện hoạt động an toàn là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,8 + 0,6 – 0,48 = 0,92.

 Xét các biến cố M: “Xạ thủ A bắn trúng mục tiêu” và N: “Xạ thủ B bắn trúng mục tiêu”.

Từ giả thiết, ta có M, N là hai biến cố độc lập và P(M) = 0,6; P(N) = 0,65.

Xét các biến cố đối:

 $\overline{A}:$ “Xạ thủ A không bắn trúng mục tiêu”;

 $\overline{B}:$ “Xạ thủ A không bắn trúng mục tiêu”;

  $\overline{C}:$ “Mục tiêu không bị hạ”.

Khi đó  $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4;$

             $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-0,65=0,35;$

           $\overline{D}=\overline{A}\cap \overline{B}$   và  $\overline{A},\overline{B}$ là hai biến cố độc lập

Do đó  $P\left(\overline{D}\right)=P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)=0,4\cdot 0,35=0,14.$

Suy ra:  $P\left(D\right)=1-P\left(\overline{D}\right)=1-0,14=0,86.$

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương cho ta một tổ hợp chập 2 của 21 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 2 của 21 phần tử và  $n\left(\Omega \right)=C_{21}^2=210.$

a) Ta thấy trong 21 số nguyên dương đầu tiên có 10 số chẵn là: 2; 4; …; 20.

Suy ra số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là $n\left(A\right)=C_{10}^2=45.$

Xác suất của biến cố A là:  $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{45}{210}=\frac{3}{14}.$

b) Ta thấy trong 21 số nguyên dương đầu tiên có 11 số lẻ là 1; 3; 5; …; 21.

Suy ra số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là  $n\left(B\right)=C_{11}^2=55.$

Xác suất của biến cố B là:  $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{55}{210}=\frac{11}{42}.$

c) Tổng của hai số được chọn là số chẵn khi hai số đó phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ hay C = A ∪ B.

Ta có: A ∩ B = ∅ nên A và B là hai biến cố xung khắc.

Suy ra:  $P\left(C\right)=P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)=\frac{3}{14}+\frac{11}{42}=\frac{10}{21}.$

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ 10 + 18 = 28 sản phẩm trong hộp cho ta một tổ hợp chập 3 của 28 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 3 của 28 phần tử và   $n\left(\Omega \right)=C_{28}^3=3276.$

Sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng thuận lợi cho biến cố A:

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là  $n\left(A\right)=C_{10}^2\cdot 18+C_{18}^2\cdot 10=2340.$

Xác suất của biến cố A là  $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2340}{3276}=\frac{5}{7}.$