Giải SBT Toán lớp 11 – KNTT – Tập 1 Bài 15. Giới hạn của dãy số có đáp án
18 câu hỏi
Tính các giới hạn sau:
a) limn→+∞n2+12n2+n+2;
a) limn→+∞n2+12n2+n+2=limn→+∞1+1n22+1n+2n2=12
Tính các giới hạn sau:
b) limn→+∞2n+31+3n.
b, limn→+∞2n+31+3n=limn→+∞23n+13n−113n+1=0
Tính các giới hạn sau:
a) limn→+∞n2+2n−n−2;
a, limn→+∞n2+2n−n−2=limn→+∞n2+2n−n+22n2+2n+n+2
=limn→+∞−2n−4n2+2n+n+2=limn→+∞−2−4n1+2n+1+2n=−22=−1
Tính các giới hạn sau:
b) limn→+∞2+n2−n4+1;
b, limn→+∞2+n2−n4+1=limn→+∞2+n22−n4+12+n2+n4+1
=limn→+∞4n2+32+n2+n4+1=limn→+∞4+3n22n2+1+1+1n4=42=2
Tính các giới hạn sau:
c) limn→+∞n2−n+2+n;
c, limn→+∞n2−n+2+n=limn→+∞n1−1n+2n2+1=+∞
Tính các giới hạn sau:
d) limn→+∞3n−4n2+1 .
d, limn→+∞3n−4n2+1=limn→+∞n3−4+1n2=+∞
Cho un=1+a+a2+...+an1+b+b2+...+bn với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính limn→+∞un.
Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, ta có:
un=1+a+a2+...+an1+b+b2+...+bn=1−an+11−a1−bn+11−b=1−b1−a.1−an+11−bn+1
Do đó, limn→+∞un=limn→+∞1−b1−a.1−an+11−bn+1=1−b1−a (do |a| < 1, |b| < 1).
Tính limn→+∞1+3+5+...+2n−1n2+2n.
Ta có 1, 3, 5, ..., 2n – 1 là một cấp số cộng gồm n số hạng và có số hạng đầu u1 = 1, công sai d = 2.
Khi đó, 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n1+2n−12=n2.
Do đó,limn→+∞1+3+5+...+2n−1n2+2n =limn→+∞n2n2+2n=limn→+∞11+2n=1 .
Tính tổng S=−1+15−152+...+−1n15n−1+ …
Nhận thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với số hạng đầu u1 = – 1 và công bội q = −15.
Do đó, S=−11−−15=−165=−56.
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a) 1,(03);
a) 1,(03) = 1 + 0,03 + 0,0003 + ... + 0,00...03 + ...
=1+3100+31002+....+3100n+....
=1+31001−1100=1+133=3433
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
b) 3,(23).
b) 3,(23) = 3 + 0,23 + 0,0023 + ... + 0,00...23 + ...
=3+23100+231002+...+23100n+.....
=3+231001−1100=3+2399=32099
Cho dãy số (un) với un=cosnn2 . Tính limn→+∞un.
Ta có un=cosnn2=cosnn2≤1n2.
Mà 1n2→0 khi n → +∞ nên limn→+∞un=0 .
Cho tam giác A1B1C1 có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A2B2C2 bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B1C1, C1A1, A1B1. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A3B3C3, ..., AnBnCn,... Kí hiệu sn là diện tích của tam giác AnBnCn.
a) Tính sn.
a)
Theo cách xác định tam giác A2B2C2, ta có s2 = 14 s1.
Tương tự, s3 = 14s2, ...., sn=14sn−1.
Vậy sn=14n−1s1=14n−1.3=314n−1.
b) Tính tổng s1 + s2 + ... + sn + ...
b) Ta có s1 + s2 + ... + sn + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = 14 . Do đó
s1 + s2 + ... + sn + ... = 31−14=4.
Cho dãy số (un) với u1 = 2,un+1=un+23n, n ≥ 1. Đặt vn = un + 1 – un.
a) Tính v1 + v2 + ... + vn theo n.
a) Ta có vn = un + 1 – un = un+23n−un=23n.
Do đó, v1 + v2 + ... + vn = 23+232+...+23n=213+132+...+13n
=2.1−13n+11−13=31−13n+1.
b) Tính un theo n.
b) Ta có v1 + v2 + ... + vn = (u2 – u1) + (u3 – u2) + ... + (un + 1 – un)
= un + 1 – u1 = un+23n−2=un+23n−2.
Mà theo câu a có v1 + v2 + ... + vn = 31−13n+1.
Do đó, un+23n−2=31−13n+1. Từ đó suy ra un=5−13n−1.
c) Tính limn→+∞un.
c) Ta có .limn→+∞un=limn→+∞5−13n−1=limn→+∞5−13n−1=5
Cho dãy số (un) có tính chất un−nn+1≤1n2. Tính limn→+∞un.
Ta có un−nn+1≤1n2, mà 1n2→0 khi n → +∞ nên limn→+∞un−nn+1=0 .
Mặt khác, limn→+∞un−nn+1=limn→+∞un−limn→+∞nn+1=limn→+∞un−1 .
Vậy limn→+∞un = 1.
