Giải SBT Toán 8 KNTT Bài 34. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác có đáp án
19 câu hỏi
Hai tam giác có độ dài ba cạnh như sau có đồng dạng không ? Vì sao ?
(1) 2 cm, 3 cm, 4 cm và 6 cm, 9 cm, 12 cm.
(2) 3 cm, 5 cm, 6 cm và 6 cm, 10 cm, 11 cm.
(3) 2 cm, 3 cm, 3 cm và 2 cm, 2 cm, 3 cm.
(4) 4 cm, 4 cm, 4cm và 3 cm, 3 cm, 3 cm.
Lời giải
(1) Vì \(\frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{{12}}\) nên hai tam giác này đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.
(2) Vì \(\frac{3}{6} = \frac{5}{{10}} \ne \frac{6}{{11}}\) nên hai tam giác này không đồng dạng với nhau.
(3) Vì \(\frac{2}{2} = \frac{3}{3} \ne \frac{3}{2}\) nên hai tam giác này không đồng dạng với nhau.
(4) Vì \(\frac{4}{3} = \frac{4}{3} = \frac{4}{3}\) nên hai tam giác này đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.
Lời giải
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{3}{4} = \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{AB + AC}}{{DE + DF}} = \frac{{15 - BC}}{{20 - FE}}\)
Do đó,
4(15 – BC) = 3(20 – FE)
60 – 4BC = 60 – 3FE
4BC = 3FE
Suy ra \(\frac{{BC}}{{FE}} = \frac{3}{4}\).
Tam giác ABC và tam giác DEF có:
\(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}}\left( { = \frac{3}{4}} \right)\).
Nên ∆ABC ᔕ ∆DEF (c.c.c).
Cho hai tam giác ABC và DEF thỏa mãn 2AB = 3AC = 4BC và DE = 6 cm, DF = 4 cm, EF = 4 cm. Chứng minh rằng ∆ABC ᔕ ∆DEF.
Lời giải
Vì DE = 6 cm, DF = 4 cm, EF = 3 cm nên ta có: DE : DF : EF = 6 : 4 : 3.
Do đó \(\frac{{DE}}{6} = \frac{{DF}}{4} = \frac{{EF}}{3}\). Suy ra \(\frac{{2DE}}{{12}} = \frac{{3DF}}{{12}} = \frac{{4EF}}{{12}}\).
Suy ra 2DE = 3DF = 4EF.
Mà 2AB = 3AC = 4BC (gt)
Do đó, \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}}\).
Suy ra, ∆ABC ᔕ ∆DEF (c.c.c).
Lời giải
Vì OA = 3OM, OB = 3ON, OC = 3OP.
Nên \(\frac{{OA}}{{OM}} = 3;\frac{{OB}}{{ON}} = 3;\frac{{OC}}{{OP}} = 3\). Suy ra \(\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{OB}}{{ON}} = \frac{{OC}}{{OP}} = 3\).
Tam giác OMN có: \(\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{OB}}{{ON}}\).
Nên suy ra AB song song với MN (định lí Thalès đảo).
Do đó, \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{OA}}{{OM}} = 3\).
Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{{AC}}{{MP}} = 3;\frac{{BC}}{{NP}} = 3\).
Tam giác ABC và tam giác MNP có:
\(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{NP}} = 3\).
Do đó, ∆ABC ᔕ ∆MNP (c.c.c) với tỉ số đồng dạng 3.
Lời giải
Tam giác ABC có:
M, N lần lượt là trung điểm của BC, CA
Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó, MN // AB và \(\frac{{AB}}{{MN}} = 2\).
Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{{BC}}{{PN}} = 2\); \(\frac{{AC}}{{PM}} = 2\).
Tam giác ABC và tam giác MNP có:
\(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{PN}} = \frac{{AC}}{{PM}}\) (= 2).
Nên ∆ABC ᔕ ∆MNP (c.c.c) theo tỉ số đồng dạng là 2.
Lời giải
Tam giác ABD và tam giác BDC có:
\(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AD}}{{BC}}\) (do \(\frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\))
Do đó, ∆ABD ᔕ ∆BDC (c.c.c).
Suy ra: \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong. Do đó, AB song song với CD.
Lời giải
Vì tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC nên:
\(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{MP}}{{AC}}\) (các cạnh tương ứng tỉ lệ).
Mà trong tam giác ABC, cạnh AC lớn nhất nên trong tam giác MNP cạnh lớn nhất là MP.
Do đó, MP = 9 cm.
Khi đó \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{MP}}{{AC}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\).
Suy ra: \(MN = \frac{3}{2}AB = \frac{3}{2}.4 = 6\) (cm), \(NP = \frac{3}{2}BC = \frac{3}{2} \cdot 5 = \frac{{15}}{2}\) (cm).
Với hai tam giác ABC và DEF bất kì thỏa mãn \(\frac{{AB}}{{EF}} = \frac{{BC}}{{DF}}\), \(\widehat {ABC} = \widehat {DFE}\). Những khẳng định nào sau đây là đúng ?
(1) ∆ABC ᔕ ∆DEF.
(2) ∆CAB ᔕ ∆DEF.
(3) ∆ABC ᔕ ∆EFD.
(4) ∆BCA ᔕ ∆EFD.
(5) ∆ABC ᔕ ∆FDE.
(6) ∆BAC ᔕ ∆FED.
Lời giải
Hai tam giác ABC và tam giác DEF có:
\(\frac{{AB}}{{EF}} = \frac{{BC}}{{DF}}\)
\(\widehat {ABC} = \widehat {DFE}\)
Do đó, ∆ABC ᔕ ∆EFD (c.g.c).
Khi đó, đỉnh A tương ứng với đỉnh E, đỉnh B tương ứng với đỉnh F và đỉnh C tương ứng với đỉnh D.
Suy ra các đáp án đúng là (2), (3), (6).
Với hai tam giác bất kì ABC và MNP thỏa mãn \(\widehat {ABC} = \widehat {NMP}\), \(\widehat {ACB} = \widehat {MNP}\). Những khẳng định nào sau đây là đúng ?
(1) ∆ABC ᔕ ∆MNP.
(2) ∆BCA ᔕ ∆MNP.
(3) ∆ABC ᔕ ∆NPM.
(4) ∆CAB ᔕ ∆NPM.
(5) ∆ABC ᔕ ∆PMN.
(6) ∆BAC ᔕ ∆MNP.
Lời giải
Tam giác ABC và tam giác MNP có:
\(\widehat {ABC} = \widehat {NMP}\)
\(\widehat {ACB} = \widehat {MNP}\)
Do đó, ∆ABC ᔕ ∆PMN (g.g).
Khi đó đỉnh A tương ứng với đỉnh P, đỉnh B tương ứng với đỉnh M, đỉnh C tương ứng với đỉnh N.
Suy ra, các khẳng định đúng là (2), (4), (5).
Cho hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho AM . AB = AN . AC.
a) Chứng minh rằng ∆AMN ᔕ ∆ACB.
b) Lấy E, F lần lượt là trung điểm của MN, BC. Chứng minh rằng \(\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\).
Lời giải
a)
Vì AM . AB = AN . AC nên \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\).
Tam giác AMN và tam giác ABC có:
\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\),
\(\widehat {BAC}\) chung.
Do đó, ∆AMN ᔕ ∆ACB (c.g.c).
b)
Vì ∆AMN ᔕ ∆ACB (cmt) nên \(\widehat {AMN} = \widehat C\) và \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{CB}}\).
Mà E, F lần lượt là trung điểm của MN, BC nên MN = 2ME, BC = 2FC.
Do đó: \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{CB}} = \frac{{2ME}}{{2FC}} = \frac{{ME}}{{FC}}\).
Tam giác MAE và tam giác CAF có:
\(\widehat {AME} = \widehat C\) (do \(\widehat {AMN} = \widehat C\));
\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{ME}}{{FC}}\) (cmt).
Do đó, ∆AME ᔕ ∆ACF (c.g.c). Suy ra \(\widehat {EAM} = \widehat {FAC}\) (hai góc tương ứng).
Vậy \(\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\).
Cho tam giác ABC và hai điểm P, Q lần lượt nằm trên các tia đối của tia AB và AC sao cho \(\widehat {APQ} = \widehat {ACB}\). Chứng minh rằng:
a) AP . AB = AQ . AC.
b) ∆APC ᔕ ∆AQB.
Lời giải
a)
Xét tam giác APQ và tam giác ACB có:
\(\widehat {PAQ} = \widehat {BAC}\) (hai góc đối đỉnh)
\(\widehat {APQ} = \widehat {ACB}\) (giả thiết)
Do đó, ∆APQ ᔕ ∆ACB (g.g) nên \(\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AQ}}{{AB}}\).
Suy ra: AP . AB = AQ . AC.
b)
Vì \(\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AQ}}{{AB}}\) nên \(\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AC}}{{AB}}\).
Xét tam giác APC và tam giác AQB có:
\(\widehat {PAC} = \widehat {BAQ}\) (hai góc đối đỉnh),
\(\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) (chứng minh trên).
Do đó, ∆APC ᔕ ∆AQB (c.g.c).
Cho tam giác ABC và hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC. Gọi ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) ∆MEN ᔕ ∆BFC.
b) \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{MN}}{{BC}}\).
Lời giải
a)
Vì MN song song với BC (gt) nên
\(\widehat {ENM} = \widehat C\) (hai góc đồng vị);
\(\widehat {AMN} = \widehat {ABC}\) (hai góc đồng vị).
Mà ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC nên \(\widehat {EMN} = \frac{1}{2}\widehat {AMN}\) và \(\widehat {FBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\). Do đó, \(\widehat {EMN} = \widehat {FBC}\).
Tam giác MEN và tam giác BFC có:
\(\widehat {ENM} = \widehat C\) (cmt)
\(\widehat {EMN} = \widehat {FBC}\) (cmt)
Do đó, tam giác MEN đồng dạng với tam giác BFC (g.g).
b)
Tam giác ABC có:
MN song song với BC
Nên theo hệ quả định lý Thalès ta có:
\(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) (1).
Vì ME, BF lần lượt là phân giác của \(\widehat M\), \(\widehat B\) của tam giác AMN và tam giác ABC nên \(\widehat {EMA} = \frac{1}{2}\widehat {AMN} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \widehat {FBA}\).
Do đó, \(\widehat {EMA} = \widehat {FBA}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ME song song với BF.
Tam giác ABF có ME song song với BF nên theo hệ quả định lý Thalès ta có:
\(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) (2).
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{MN}}{{BC}}\).
Lời giải
Vì AB song song CD nên \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (hai góc so le trong).
Tam giác ABD và tam giác BDC có:
\(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DC}}\) (do \(\frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\))
\(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (cmt)
Do đó, ∆ABD ᔕ ∆BDC (c.g.c).
Suy ra: \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{1}{2}\).
Do đó, BC = 2AD.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết rằng AD cắt BC tại E, AC cắt BD tại F.
a) Chứng minh rằng: ∆EAB ᔕ ∆EDC, ∆FAB ᔕ ∆FCD.
b) Lấy hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng.
Lời giải
a)
Vì AB song song với đáy CD của tam giác EDC nên ∆EAB ᔕ ∆EDC.
Vì AB song song với đáy CD của tam giác FCD nên ∆FAB ᔕ ∆FCD.
b)
Vì ∆EAB ᔕ ∆EDC (cmt) nên \(\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{{2AM}}{{2DN}} = \frac{{AM}}{{DN}}\) (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD).
Tam giác EAM và tam giác EDN có:
\(\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{AM}}{{DN}}\) (cmt)
\(\widehat {EAM} = \widehat {EDN}\) (AM song song với DN, hai góc đồng vị)
Do đó, ∆EAM ᔕ ∆EDN (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {AEM} = \widehat {DEN}\).
Do đó, tia EM trùng với tia EN hay 3 điểm M, E, N thẳng hàng (1).
Vì ∆FAB ᔕ ∆FCD nên \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{AM}}{{CN}}\).
Hai tam giác FAM và tam giác FCN có:
\(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{AM}}{{CN}}\) (cmt)
\(\widehat {FAM} = \widehat {FCN}\) (AM song song với CN, hai góc so le trong)
Do đó, ∆FAM ᔕ ∆FCN (c.g.c).
Nên \(\widehat {AFM} = \widehat {CFN}\)
Do đó, tia FM và tia FN là hai tia đối nhau.
Suy ra, F, M, N thẳng hàng (2).
Từ (1) và (2) ta có: 4 điểm M, E, F, N thẳng hàng.
Lời giải
Xét hai tam giác ABD và tam giác ACB có:
\(\widehat A\) chung
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) (do \(\frac{6}{9} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\))
Do đó, ∆ABD ᔕ ∆ACB (c.g.c).
Suy ra \(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).
Nên BC = \(\frac{3}{2}\) BD.
Lời giải
Xét tam giác ABC và tam giác ACD có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {DAC}\) (vì AC là tia phân giác của \(\widehat {DAB}\))
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AD}}\) (do \(\frac{2}{4} = \frac{4}{8}\))
Suy ra ∆ABC ᔕ ∆ACD (c.g.c).
Do đó, \(\frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
Suy ra CD = 2BC.
Lời giải
Xét tam giác ABD và tam giác ACB có:
\(\widehat A\) chung
\(\widehat {ABD} = \widehat {BCA}\) (gt)
Do đó, ∆ABD ᔕ ∆ACB (g.g).
Suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Nên AB2 = AD . AC.
Cho hai điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho \(\widehat {ABN} = \widehat {ACM}\). Gọi O là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng:
a) AM . AB = AN . AC.
b) OM . OC = ON . OB.
Lời giải
a)
Xét tam giác ABN và tam giác ACM có:
\(\widehat A\) chung
\(\widehat {ABN} = \widehat {ACM}\) (gt)
Do đó, ∆ABN ᔕ ∆ACM (g.g).
Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AM}}\) nên AM . AB = AN . AC.
b)
Tam giác BOM và tam giác CON có:
\(\widehat {MBO} = \widehat {NCO}\) (do \(\widehat {ABN} = \widehat {ACM}\))
\(\widehat {MOB} = \widehat {NOC}\) (hai góc đối đỉnh)
Nên ∆BOM ᔕ ∆CON (g.g).
Suy ra \(\frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{OB}}{{OC}}\) nên OM . OC = ON . OB.
Cho tam giác ABC với AB = 6 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CB. Chứng minh rằng:
a) ∆ABC ᔕ ∆ADB.
b) \(\widehat {ACB} = 2\widehat {ABC}\).
Lời giải
a)
Ta có: AD = AC + DC = AC + BC = 4 + 5 = 9 (cm).
Xét tam giác ABC và tam giác ADB có:
\(\widehat A\) chung
\(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\,\,\left( {\frac{6}{9} = \frac{4}{6}} \right)\).
Do đó, ∆ABC ᔕ ∆ADB (c.g.c).
b)
Vì ∆ABC ᔕ ∆ADB (cmt) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADB}\).
Mà tam giác BCD cân tại C (do CD = CB) nên \(\widehat {CBD} = \widehat {BDC}\) hay \(\widehat {CBD} = \widehat {ADB}\).
Do đó, \(\widehat {CBD} = \widehat {ABC}\).
Vì góc ACB là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác DBC nên ta có:
\(\widehat {ACB} = \widehat {CDB} + \widehat {CBD} = 2\widehat {CBD} = 2\widehat {ABC}\).
Vậy \(\widehat {ACB} = 2\widehat {ABC}\).
