Giải SBT Toán 7 CD Bài 2. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác có đáp án
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC có A^=3B^=6C^ .
a) Tìm số đo góc lớn nhất, góc bé nhất của tam giác ABC.
a) Từ A^=3B^=6C^ suy ra: A^6=B^2=C^1 .
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
A^6=B^2=C^1=A^+B^+C^6+2+1=180°9=20°.
Suy ra
• A^=20°.6=120°;
• B^=20°.2=40°;
• C^=20°.1=20°.
Vậy trong tam giác ABC, số đo góc lớn nhất là A^=120° , số đo góc bé nhất là C^=20° .
b) Kẻ AD vuông góc với BC tại D. Chứng minh AD < BD.
b) Xét ∆ABD vuông tại D ta có:
A^1+B^=90° (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
Mà B^=40° (câu a)
Suy ra A^1=90°−B^=90°−40°=50° .
Trong DADB có: A^1>B^ (do 50° > 40°).
Suy ra BD > AD (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).
Vậy AD < BD.
Cho tam giác ABC có góc A tù. Trên cạnh AC lấy điểm D và E (D nằm giữa A và E). Chứng minh BA < BD < BE < BC.
• Xét tam giác ABD có là góc tù.
Nên BA < BD (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (1)
• Vì BDE^ là góc ngoài của tam giác ADB tại đỉnh D nên BDE^=A^+ABD^ .
Mà A^ là góc tù.
Do đó BDE^ là góc tù.
Xét tam giác EBD có BDE^ là góc tù .
Nên BD < BE (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (2)
• Vì BEC^ là góc ngoài của tam giác AEB tại đỉnh E nên BEC^=A^+ABE^
Mà A^ là góc tù.
Do đó BEC^ là góc tù.
Xét tam giác EBC có BEC^ là góc tù.
Nên BE < BC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra BA < BD < BE < BC.
Vậy BA < BD < BE < BC.
a) Cho tam giác ABC có AB = 15 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài cạnh AC, biết độ dài của nó (theo đơn vị xăng-ti-mét) là một số nguyên tố lớn hơn bình phương của 4.
a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác ABC ta có:
AB – BC < AC < AB + BC
Hay 15 – 8 < AC < 15 + 8
Suy ra 7 < AC < 23.
Độ dài cạnh AC là một số nguyên tố lớn hơn bình phương của 4 tức là AC > 42 = 16 và AC là số nguyên tố.
Do đó AC = 17 cm hoặc AC = 19 cm.
Vậy AC = 17 cm hoặc AC = 19 cm.
b) Độ dài ba cạnh của tam giác MNP tỉ lệ với 2; 3; 4. Tính độ dài cạnh lớn nhất, biết tổng độ dài hai cạnh là 20 cm.
b) Gọi độ dài ba cạnh của tam giác MNP là m, n, p với 0 < m ≤ n ≤ p.
Độ dài ba cạnh của tam giác MNP tỉ lệ với 2; 3; 4 nên ta có:
m2=n3=p4.
Mặt khác tổng độ dài hai cạnh là 20 cm nên m + n = 20 (cm).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
m2=n3=p4=m+n2+3=205=4.
Suy ra p = 4 . 4 = 16 (cm).
Vậy độ dài cạnh lớn nhất của tam giác MNP là 16 cm.
Cho tam giác ABC có AB < AC, AD là tia phân giác của BAD^ (D ∈ BC). Chứng minh ADB^<ADC^ .
Xét tam giác ABC có AB < AC (giả thiết)
Suy ra C^<B^ (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).
Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên A^1=A^2 .
Xét DABD có:A^1+B^+ADB^=180° (tổng ba góc của một tam giác).
Suy ra ADB^=180°−A^1−B^ (1)
Xét DACD có:A^2+C^+ADC^=180° (tổng ba góc của một tam giác).
Suy ra ADC^=180°−A^2−C^ (2)
Mà A^1=A^2 (chứng minh trên) và B^>C^ (chứng minh trên) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có ADB^<ADC^
Vậy ADB^<ADC^
Cho tam giác ABC có A^=110° và B^=C^ . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho ADC^=105° . Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Chứng minh:
a) AE < CE;
• Xét DACB có: BAC^+BCA^+B^=180° (tổng ba góc của một tam giác)
Mà BAC^=110°,B^=ACB^ (giả thiết)
Suy ra B^=ACB^=180°−BAC^2=180°−110°2=35° .
• Ta có BAC^+CAE^=180° (hai góc kề bù)
Suy ra CAE^=180°−BAC^=180°−110°=70° .
• Do AD // EC (giả thiết) nên ADC^+ECD^=180o (hai góc trong cùng phía).
Suy ra ECD^=180o−ADC^=180o−105o=75o.
Lại có ACB^+ACE^=ECD^(hai góc kề nhau)
Do đó ACE^=ECD^−ACB^=75°−35o=40°.
• Trong DACE có: ACE^<CAE^(do 40° < 70°)
Do đó AE < CE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).
Vậy AE < CE.
b) EC < BC < BE.
b) Xét DEBC có: E^+BCE^+B^=180°(tổng ba góc của một tam giác)
Mà BCE^=75°,B^=35°
Suy ra E^=180°−B^−BCE^=180°−35°−75°=70°
Trong tam giác BCE có: B^<E^<BCE^ (do 35° < 70° < 75°).
Nên EC < BC < BE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).
Vậy EC < BC < BE.
Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh AD nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.
Xét DABD có: AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác) (1)
Xét DACD có AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác) (2)
Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:
AD + AD < AB + BD + AC + DC
2AD < AB + AC + (BD + DC)
2AD < AB + AC + BC
Suy ra: AD<AB+AC+BC2
Mà AB+AC+BC2 là chu vi của tam giác ABC.
Vậy AD luôn nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.
Chứng minh rằng trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng 13 chi vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.
Giả sử độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c với a ≥ b ≥ c > 0.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có a < b + c.
Suy ra a + a < a + b + c.
Hay a<a+b+c2 (1)
Vì a ≥ b, a ≥ c nên a + a + a ≥ a + b + c.
Hay 3a ≥ a + b + c.
Do đó a≥a+b+c3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a+b+c3≤a<a+b+c2 .
Mà chu vi của tam giác này là a + b + c.
Vậy trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng 13 chi vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.
