Giải SBT Toán 7 CD Bài 2. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác có đáp án

a) Từ $\widehat{A}=3\widehat{B}=6\widehat{C}$  suy ra: $\frac{\widehat{A}}{6}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{1}$ .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{\widehat{A}}{6}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{1}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{6+2+1}=\frac{180°}{9}=20°$.

Suy ra

• $\widehat{A}=20°.6=120°;$

• $\widehat{B}=20°.2=40°;$

• $\widehat{C}=20°.1=20°.$

Vậy trong tam giác ABC, số đo góc lớn nhất là $\widehat{A}=120°$ , số đo góc bé nhất là $\widehat{C}=20°$ .

b) Xét ∆ABD vuông tại D ta có:

${\widehat{A}}_1+\widehat{B}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà $\widehat{B}=40°$   (câu a)

Suy ra ${\widehat{A}}_1=90°-\widehat{B}=90°-40°=50°$ .

Trong DADB có: ${\widehat{A}}_1>\widehat{B}$  (do 50° > 40°).

Suy ra BD > AD (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy AD < BD.

• Xét tam giác ABD có là góc tù.

Nên BA < BD (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (1)

• Vì $\widehat{BDE}$  là góc ngoài của tam giác ADB tại đỉnh D nên $\widehat{BDE}=\widehat{A}+\widehat{ABD}$ .

Mà $\widehat{A}$ là góc tù.

Do đó $\widehat{BDE}$  là góc tù.

Xét tam giác EBD có $\widehat{B\text{D}E}$ là góc tù .

Nên BD < BE (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (2)

• Vì $\widehat{BEC}$  là góc ngoài của tam giác AEB tại đỉnh E nên $\widehat{BEC}=\widehat{A}+\widehat{ABE}$

Mà $\widehat{A}$ là góc tù.

Do đó $\widehat{BEC}$  là góc tù.

Xét tam giác EBC có $\widehat{BEC}$ là góc tù.

Nên BE < BC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BA < BD < BE < BC.

Vậy BA < BD < BE < BC.

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác ABC ta có:

AB – BC < AC < AB + BC

Hay 15 – 8 < AC < 15 + 8

Suy ra 7 < AC < 23.

Độ dài cạnh AC là một số nguyên tố lớn hơn bình phương của 4 tức là AC > 4² = 16 và AC là số nguyên tố.

Do đó AC = 17 cm hoặc AC = 19 cm.

Vậy AC = 17 cm hoặc AC = 19 cm.

b) Gọi độ dài ba cạnh của tam giác MNP là m, n, p với 0 < m ≤ n ≤ p.

Độ dài ba cạnh của tam giác MNP tỉ lệ với 2; 3; 4 nên ta có:

$\frac{m}{2}=\frac{n}{3}=\frac{p}{4}$.

Mặt khác tổng độ dài hai cạnh là 20 cm nên m + n = 20 (cm).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{m}{2}=\frac{n}{3}=\frac{p}{4}=\frac{m+n}{2+3}=\frac{20}{5}=4$.

Suy ra p = 4 . 4 = 16 (cm).

Vậy độ dài cạnh lớn nhất của tam giác MNP là 16 cm.

Xét tam giác ABC có AB < AC (giả thiết)

Suy ra $\widehat{C}<\widehat{B}$  (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên ${\widehat{A}}_1={\widehat{A}}_2$ .

Xét DABD có:${\widehat{A}}_1+\widehat{B}+\widehat{ADB}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra  $\widehat{ADB}=180°-{\widehat{A}}_1-\widehat{B}$     (1)

Xét DACD có:${\widehat{A}}_2+\widehat{C}+\widehat{ADC}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra  $\widehat{ADC}=180°-{\widehat{A}}_2-\widehat{C}$    (2)

Mà ${\widehat{A}}_1={\widehat{A}}_2$  (chứng minh trên) và $\widehat{B}>\widehat{C}$   (chứng minh trên) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\widehat{ADB}<\widehat{ADC}$

Vậy $\widehat{ADB}<\widehat{ADC}$

• Xét DACB có: $\widehat{BAC}+\widehat{BCA}+\widehat{B}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{BAC}=110°,$$\widehat{B}=\widehat{ACB}$    (giả thiết)

Suy ra $\widehat{B}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-110°}{2}=35°$ .

• Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=180°$  (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{CAE}=180°-\widehat{BAC}=180°-110°=70°$ .

• Do AD // EC (giả thiết) nên $\widehat{ADC}+\widehat{ECD}={180}^o$  (hai góc trong cùng phía).

Suy ra $\widehat{ECD}={180}^o-\widehat{ADC}={180}^o-{105}^o={75}^o.$

Lại có  $\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=\widehat{ECD}$(hai góc kề nhau)

Do đó $\widehat{ACE}=\widehat{ECD}-\widehat{ACB}=75°-{35}^o=40°.$

• Trong DACE có:  $\widehat{ACE}<\widehat{CAE}$(do 40° < 70°)

Do đó AE < CE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy AE < CE.

b) Xét DEBC có:  $\widehat{E}+\widehat{BCE}+\widehat{B}=180°$(tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{BCE}=75°,\widehat{B}=35°$

Suy ra $\widehat{E}=180°-\widehat{B}-\widehat{BCE}=180°-35°-75°=70°$

Trong tam giác BCE có: $\widehat{B}<\widehat{E}<\widehat{BCE}$  (do 35° < 70° < 75°).

Nên EC < BC < BE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy EC < BC < BE.

Xét DABD có: AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác)   (1)

Xét DACD có AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác)    (2)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:

AD + AD < AB + BD + AC + DC

2AD < AB + AC + (BD + DC)

2AD < AB + AC + BC

Suy ra:  $AD<\frac{AB+AC+BC}{2}$

Mà $\frac{AB+AC+BC}{2}$  là chu vi của tam giác ABC.

Vậy AD luôn nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.