Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số có đáp án

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 3.

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) y = −x³ – 3x² + 24x – 1;

b) y = x³ – 8x² + 5x + 2;

c) y = x³ + 2x² + 3x + 1;

d) y = −3x³ + 3x² – x + 2.

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) \(y = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}};\)

b) \(y = \frac{{2x - 5}}{{3x + 1}};\)

c) \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \);

d) \(y = x - \ln x\).

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\);

b) \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\);

c) \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\);

d) \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}.\)

Tìm m để

a) Hàm số \(y = \frac{{2x + m}}{{x - 1}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định.

b) Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x + m}}{{x + 2}}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 4. Xét tính đơn điệu và tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Chứng minh rằng:

a) tanx ≥ x với mọi x ∈ \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\);

b) lnx ≤ x – 1 với mọi x > 0.

Chứng minh rằng:

a) Phương trình x³ + 5x² – 8x + 4 = 0 có duy nhất một nghiệm.

b) Phương trình −x³ + 3x² + 24x – 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Tìm m để phương trình \(\frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}\) = m có hai nghiệm phân biệt.

Một chất điểm chuyển động lên, xuống theo phương thẳng đứng. Độ cao h(t) của chất điểm tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức

h(t) = \(\frac{1}{3}\)t³ – 4t² + 12t + 1 với 0 ≤ t ≤ 8.

a) Viết công thức tính vận tốc của chất điểm.

b) Trong khoảng thời gian nào chất điểm chuyển động lên, trong khoảng thời gian nào chất điểm chuyển động đi xuống?

Độ cao (tính bằng mét) của tàu lượn siêu tốc so với mặt đất sau t (giây) (0 ≤ t ≤ 20) từ lúc bắt đầu được cho bởi công thức

h(t) = \( - \frac{4}{{255}}{t^3} + \frac{{49}}{{85}}{t^2} - \frac{{98}}{{17}}t + 20.\)

Trong khoảng thời gian nào tàu lượn đi xuống, trong khoảng thời gian nào thời gian tàu lượn đi lên?

Cho điểm A di động trên nửa đường tròn tâm O đường kính MN = 20 cm, \(\widehat {MOA}\) = α với 0 ≤ α ≤ π. Lấy điểm B thuộc nửa đường tròn và C, D thuộc đường kính MN được xác định sao cho ABCD là hình chữ nhật. Khi A di động từ trái sang phải, trong các khoảng nào của α thì diện tích của hình chữ nhật ABCD tăng, trong khoảng nào của α thì diện tích hình chữ nhật ABCD giảm?

Người ta thấy rằng trong vòng 3 năm tính từ đầu năm 2020, giá thành P của một loại sản phẩm vào tháng thứ t thay đổi theo công thức

P(t) = 80t³ – 3 600t² + 48 000t + 100 000 (đồng) với 0 ≤ t ≤ 36.

Hãy cho biết trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm tăng, trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm giảm. Giá thành đạt cực đại và cực tiểu vào thời điểm nào?

Một cửa hàng ước tính số lượng sản phẩm q (0 ≤ q ≤ 100) bán được phụ thuộc vào giá bán p (tính bằng nghìn đồng) theo công thức p + 2q = 300. Chi phi cửa hàng cần chi để nhập về q sản phẩm là C(p) = 0,05p³ – 5,7q² + 295q + 300 (nghìn đồng).

a) Viết công thức tính lợi nhuận l của cửa hàng khi nhập về và bán được q sản phẩm.

b) Trong khoảng nào của q thì lợi nhuận sẽ tăng khi q tăng, trong khoảng nào thì lợi nhuận giảm khi q tăng?

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 2.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x³ – 8x² – 12x + 1 trên đoạn [−2; 9];

b) y = −2x³ + 9x² – 17 trên nửa khoảng (−∞; 4];

c) y = x³ – 12x + 4 trên đoạn [−6; 3];

d) y = 2x³ – x² – 28x – 3 trên đoạn [−2; 1];

e) y = −3x³ + 4x² – 5x – 17 trên đoạn [−1; 2].

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) trên nửa khoảng (3; 4];

b) \(y = \frac{{3x + 7}}{{2x - 5}}\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)\);

c) \(y = \frac{{3x + 2}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0; 4].

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{4{x^2} - 2x + 9}}{{2x - 1}}\) trên khoảng (1; +∞);

b) \(y = \frac{{{x^2} - 2}}{{2x + 1}}\) trên nửa khoảng [0; +∞);

c) \(y = \frac{{9{x^2} + 3x + 7}}{{3x - 1}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\);

d) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 3}}{{2x + 5}}\) trên đoạn [−2; 4].

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \sqrt { - {x^2} + 9} \);

b) y = \(\frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x + 10}}\).

Một chất điểm chuyển động theo phương ngang có tọa độ xác định bởi phương trình x(t) = −0,01t⁴ + 0,12t³ + 0,3t² + 0,5 với x tình bằng mét, t tính bằng giây, 0 ≤ t ≤ 6. Tìm thời điểm mà tốc độ của chất điểm lớn nhất.

Cho a và b là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của a⁴ + b⁴.

Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng x (cm) ở bốn góc (Hình 3a) và gấp lại thành một hình hộp không nắp (Hình 3b). Tìm x để thể tích của hình hộp là lớn nhất.

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính 1 cm. Đặt \(\widehat A\) = α (0 < α < π).

a) Viết biểu thức tính diện tích S của tam giác ABC theo α.

b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác ABC.

Cho hình thang có đáy nhỏ và cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân đó.

Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất x (kg) thành phẩm được cho bởi hàm số C(x) = 2x³ – 30x² + 177x + 2 592 (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?

Giá bán P (đồng) của một sản phẩm thay đổi theo số lượng Q sản phẩm (0 ≤ Q ≤ 1 500) được cung cấp ra thị trường theo công thức P = \(\sqrt {1500 - Q} \). Tính số lượng sản phẩm nên được cung cấp ra thị trường để doanh thu R = PQ lớn nhất.

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x - 5}}{{2x + 1}}\);

b) \(y = \frac{{2x}}{{x - 3}}\);

c) \(y =  - \frac{6}{{3x + 2}}\).

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) \(y = 2x + 1 + \frac{1}{{x - 3}}\);

b) \(y = \frac{{ - 3{x^2} + 16x - 3}}{{x - 5}}\);

c) \(y = \frac{{ - 6{x^2} + 7x + 1}}{{3x + 1}}\).

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}}\);

b) y = \(\sqrt {{x^2} - 16} \).

Chi phí để làm sạch p% lượng dầu loang từ một sự cố trên biển có thể được xấp xỉ bởi công thức

C(p) = \(\frac{{2000p}}{{100 - p}}\) (tỉ đồng).

a) Tính chi phí để làm sạch 95%, 96%, 97%, 98% và 99% lượng dầu loang.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số C(p).

Hằng tháng, một công ty chuyên sản xuất mặt hàng A phải trả chi phí cố định là 50 triệu đồng (để thuê mặt bằng và lương nhân viên) và chi phí cho nguyên liệu là 10 000x (đồng) với x là số lượng sản phẩm A được nhập về.

a) Viết công thức tính chi phí trung bình \(\overline C (x)\) mà công ty cần chi phí để sản xuất một sản phẩm.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(\overline C (x)\).

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x(x² – 4x);

b) y = −x³ + 3x² – 2.

Cho hàm số y = (m – 1)x³ + 2(m + 1)x² – x + m – 1 (m là tham số).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1.

b) Tìm giá trị của m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ x₀ = −2.

Cho hàm số y = 2x³ + 6x² – x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng của nó.

Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số y = −x³ – 3x² + mx + 1 có tâm đối xứng nằm trên trục Ox? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 3 + \(\frac{1}{x}\);

b) y = 2 – \(\frac{1}{{1 + x}}\).

Ta đã biết đồ thị hàm số y = \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường tiệm cận.

b) Với t tùy ý (t ≠ 0), gọi M và M' lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là xM = xI – t và xM' = xI + t. Tìm các tung độ y(xM) và y(xM'). Từ đó, chứng minh rằng hai điểm M và M' đối xứng với nhau qua I.

Cho hàm số y = \(\frac{{2x - 1}}{{ - x + 3}}\). Chứng tỏ rằng đường thẳng y = −x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\);

b) \(y =  - 2x + \frac{1}{{2x + 1}}\).

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\).

a) Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

b) Với t tùy ý (t ≠ 0), gọi M và M' lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là xM = xI – t và xM' = xI + t. so sánh các tung độ yM và yM'. Từ đó, suy ra rằng hai điểm M và M' đối xứng với nhau qua I.

Cho hàm số y = \(\frac{{\left( {m - 1} \right)x - 2}}{{m - 2 - x}}\) (m là tham số). Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục Oxy.

Cho hàm số y = \(\frac{{{x^2} + 2x - m}}{{x - 1}}\) (m là tham số).

a) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

b) Chứng tỏ rằng khi m = 2, hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.

Quan sát Hình 1 và trả lời các câu hỏi từ 1 đến 3.

Hàm số y = f(x) trong Hình 1 nghịch biến trên khoảng nào?

A. (−2; 1).

B. (−4; −2).

C. (−1; 3).

D. (1; 3).

Quan sát Hình 1 và trả lời các câu hỏi từ 1 đến 3.

Hàm số y = f(x) trong Hình 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Quan sát Hình 1 và trả lời các câu hỏi từ 1 đến 3.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [0; 4] trong Hình 1 là:

A. −1.

B. −2.

C. 0.

D. 1.

Quan sát Hình 1 và trả lời các câu hỏi từ 1 đến 3.

Cho hàm số y = \(\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 2}}\). Khi đó,

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 2) và (2; 3).

C. hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 2).

D. Hàm số đồng biến trên (2; +∞).

Cho hàm số y = x³ + 4x² – 3x + 4. Khi đó:

A. Hàm số đạt cực đại tại x = \(\frac{1}{3}\), giá trị cực đại là \(\frac{{94}}{{27}}\).

B. Hàm số đạt cực đại tại x = −3, giá trị cực đại là 22.

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là 4.

D. Hàm số không có cực đại.

Đồ thị đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) được cho trong Hình 2.

Điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) là:

A. x = −3.

B. x = −1.

C. x = 0.

D. x = 1.

Đồ thị đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) được cho trong Hình 3.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng

A. (−4; −2) và (−2; 2).

B. (−2; 0).

C. (−4; −3) và (−1; 1).

D. (−3; −1) và (1; 2).

Cho hàm số y = x³ – 12x + 6. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−3; 3] là

A. 6.

B. 15.

C. 17.

D. 22.

Cho hàm số y = \(\frac{{{x^2} - 2x + 6}}{{x + 1}}\).

A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là y = x – 3.

B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là y = x + 3.

C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là y = x +1.

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.

Đồ thị hàm số y = \(\frac{{ - 4x + 3}}{{2x + 2}}\) có tâm đối xứng là điểm:

A. (−1; −2).

B. (−2; −1).

C. (−1; −1).

D. (−2; −2).

Cho hàm số y = 2x³ – 5x² – 24x – 18.

a) Hàm số có hai cực trị.

b) Hàm số đạt cực đại tại x = \( - \frac{4}{3}\), giá trị cực đại là \(\frac{{10}}{{27}}\).

c) Hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞).

d) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{4}{3};3} \right)\).

Hàm số y = \(\frac{{3x + 1}}{{x - 2}}\) có các tiệm cận là

a) x = 2.

b) x = 3.

c) y = 2.

d) y = 3.

Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức P(q) = −q³ + 24q² + 780q – 5000 (nghìn đồng) trong đó q (kg) là khối lượng sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất được tối đa 50 kg sản phẩm trong một tuần.

a) Xưởng sản xuất càng nhiều thì lợi nhuận càng cao.

b) Lợi nhuận lớn nhất khi xưởng sản xuất 26 kg sản phẩm trong một tuần.

c) Sau khi sản xuất được 26 kg sản phẩm, càng sản xuất thêm thì lợi nhuận càng giảm.

d) Lợi nhuận của xưởng thấp nhất khi không sản xuất.

Đồ thị hàm số y = \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}\) có hai trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng:

a) x = 1 và y = x – 3.

b) x = 1 và y = −x + 3.

c) x = −1 và y = x – 3.

d) x = −1 và y = x + 3.

Giá thành của một sản phẩm trong 6 tháng đầu năm thay đổi theo công thức P(t) = 2t³ – 33t² + 168t + 137 với P tính bằng nghìn đồng và t là số tháng tính từ đầu năm. Trong khoảng thời gian nào thì giá của sản phẩm tăng?

Người ta muốn làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông và thể tích là 10 l. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp là bao nhiêu?

Cho hàm số y = f(x) = \(\frac{{m + 2}}{3}\)x³ + 2x² + (m + 2)x + 1 (m là tham số).

Tìm m để đồ thị hàm số không có cực trị.

Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị hàm số sau theo tham số m: y = f(x) = (2 – m)x³ – 3x² + 2.

Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, I luôn thuộc một parabol xác định.

Cho hàm số y = f(x) = \(\frac{{{x^2} + 2x - m}}{{x - 1}}\) (m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị.

Nam dùng một tấm bìa có kích thước 50 cm x 20 cm để làm một chiếc lon hình trụ (không có nắp).

Hỏi cần chọn bán kính đáy hình trụ là bao nhiêu xăngtimét thì lon hình trụ đạt thể tích lớn nhất?

Lưu ý: Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của xăngtimét, bỏ qua phần hao hụt khi cắt và tạo hình, đáy và mặt bên phải là các bìa nguyên vẹn (không ghép nối).

Một chủ nhà hàng kinh doanh phần ăn uống đồng giá có chiến lược kinh doanh như sau:

Phí cố định được ước tính trong một năm là 50 000 nghìn đồng.

Chi phí một phần ăn ước tính khoảng 22 nghìn đồng.

Giá niêm yết trên thực đơn là 30 nghìn đồng.

Trong bài này, giả định rằng tất cả các phần ăn chế biến sẵn đều được bán hết và kí hiệu x là số phần ăn tự phục vụ trong một năm, giả sử x thuộc khoảng [5 000; 25 000].

a) Gọi C(x) là tổng chi phí hằng năm cho x phần ăn này. Xác định C(x).

b) Chứng tỏ rằng giá thành của một phần ăn cho bởi biểu thức D(x) = 22 + \(\frac{{50000}}{x}\) (nghìn đồng).

c) Sử dụng đồ thị, hãy xác định điểm hòa vốn của nhà hàng, tức là số lượng phần ăn tối thiểu phải được phục vụ hằng năm để hoạt động của nhà hàng tạo ra lợi nhuận. Hãy chứng minh điều đó.

d) Chứng minh rằng tổng lợi nhuận hằng năm cho x phần ăn được biểu thị bởi:

L(x) = 8x – 50 000 (nghìn đồng).

e) Mục tiêu của chủ nhà hàng là tạo ra lợi nhuận ít nhất là 120 000 nghìn đồng mỗi năm. Biết rằng nhà hàng mở cửa 300 ngày một năm, hỏi trung bình mỗi ngày nhà phàng phải phục vụ ít nhất bao nhiêu phần ăn để đạt được mục tiêu trên.

Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình chữ nhật có thể tích 800 cm³ với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.

Chiều cao hộp là 8 cm, các kích thước khác là x (cm), y (cm) với x > 0 và y > 0.

a) Chứng tỏ rằng y = \(\frac{{100}}{x}\).

b) Tìm diện tích toàn phần S(x) của chiếc hộp theo x.

c) Khảo sát hàm số S(x) trên khoảng (0; +∞).

d) Tìm kích thước của hộp để tiết kiệm vật liệu nhất. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mi-li-mét).