(Đúng sai) 18 bài tập Tính đơn diệu và cực trị của hàm số (có lời giải)

Ta có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

\(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2\).

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định. Chọn Đ

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Chọn Đ

Từ đồ thị hàm số \(y = f(x)\) ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\). Chọn Đ

Ta có \[y' =  - 3{x^2} + 6x;\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = 2 \Rightarrow y = 5\end{array} \right.\]

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {0;\,2} \right)\]nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2};\,\,\frac{3}{2}} \right).\) Chọn Đ

Quan sát đồ thị hàm số ta có \(x = 1\)là tiệm cận đứng. Do đó hàm số có tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Mặt khác đồ thị của hàm số đi xuống theo chiều từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.

Vậy ta có \(y' < 0,\,\forall x \ne 1.\). Chọn Đ

Từ bảng xét dấu đạo hàm ta có:

Đạo hàm của hàm số đổi dấu 3 lần nên hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn Đ

Ta có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\)

Từ bảng xét dấu ta thấy \(f'\left( x \right)\)đổi dấu từ \(\left(  +  \right)\) sang \(\left(  -  \right)\) qua hai điểm \(x = \frac{3}{2}\) và \(x = 4\).

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực đại. Chọn Đ

Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^4} - 4} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\).

\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {{x^2} - 2} \right)^2}\left( {{x^2} + 2} \right)\).

\(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm bội chẵn \(x = \sqrt 2 \) và \(x =  - \sqrt 2 \); một nghiệm đơn \(x = 1\).

Vậy hàm số có một điểm cực trị. Chọn Đ

Phương án C, Ta có: $y=\frac{2024}{x^2+1}\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{-4038x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$ . Nên \({y^'} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) và \({y^'}\) đổi dấu khi đi qua \(x = 0\). Suy ra hàm số không nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Phương án A, Hàm số: .

\({\Delta ^'} =  - 6053 < 0\) nên \({y^'} < 0,\forall x \in \mathbb{R}\) và hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Phương án B, Hàm số: \(y =  - 5x + \sin x \Rightarrow {y^'} =  - 5 + \cos x < 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Phương án D, Hàm số: \(y = {\left( {\frac{\pi }{{\sqrt 3  + \sqrt 5 }}} \right)^x} \Rightarrow {y^'} = {\left( {\frac{\pi }{{\sqrt 3  + \sqrt 5 }}} \right)^x}\ln \frac{\pi }{{\sqrt 3  + \sqrt 5 }} < 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Chọn Đ

+ Ta có \(f'\left( x \right) = 4x\).

+ Xét hàm số \(y = f\left( {x - 2} \right)\), \(y' = \left( {x - 2} \right)'.f'\left( {x - 2} \right) = 4\left( {x - 2} \right)\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số \(y = f\left( {x - 2} \right)\)nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).Chọn Đ

\[g'(x) = 2f'(x).f(x) \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 0\end{array} \right.\], ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số \[g(x)\]nghịch biến trên khoảng \[( - \infty ; - 3)\]và \[(1;3)\]. Chọn Đ

Xét hàm số \(y = f\left( {2x - 3{x^2}} \right)\) ta có: \(y' = \left( {2 - 6x} \right).f'\left( {2x - 3{x^2}} \right)\).

\[f'\left( {2x - 3{x^2}} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3{x^2} < 1\\2x - 3{x^2} > 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} - 2x + 1 > 0\\3{x^2} - 2x + 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}\].

\[f'\left( {2x - 3{x^2}} \right) < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3{x^2} > 1\\2x - 3{x^2} < 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} - 2x + 1 < 0\\3{x^2} - 2x + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset \].

Do đó \(\left( {2 - 6x} \right).f'\left( {2x - 3{x^2}} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow 2 - 6x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{3}\).

Vậy hàm số đồng biến trên \[\left( { - \infty \,;\,\frac{1}{3}} \right)\]. Chọn Đ

Tập xác định là \(\left[ { - 1;\,1} \right]\)

Ta có \(y' = \sqrt {1 - {x^2}}  + x\frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{1 - 2{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Bảng biến thiên

Ta thấy cực đại của hàm số là \(\frac{1}{2}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x\).

Cho \(y' = 0\)\[ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\]\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\x = 2 \Rightarrow y =  - 2\end{array} \right.\).

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;2} \right)\), \(B\left( {2; - 2} \right)\).

Gọi \(I\left( {{x_I};{x_I} - 1} \right) \in d\). Ta có: \(IA = IB\)\( \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\)\( \Leftrightarrow {x_I}^2 + {\left( {3 - {x_I}} \right)^2} = {\left( {2 - {x_I}} \right)^2} + {\left( { - {x_I} - 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {x_I}^2 + 9 - 6{x_I} + {x_I}^2 = 4 - 4{x_I} + {x_I}^2 + {x_I}^2 + 2{x_I} + 1\)\( \Leftrightarrow 4{x_I} = 4\)\( \Leftrightarrow {x_I} = 1\).

\( \Rightarrow I\left( {1;0} \right)\).

Ta có: \(y' = 6{x^2} + 2bx + c\). Vì \[M\left( {--{\rm{ }}2;21} \right)\] là điểm cực đại của đồ thị nên

\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - 2} \right) = 0\\y\left( { - 2} \right) = 21\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4b + c =  - 24\\4b - 2c = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\c =  - 12\end{array} \right.\) \( \Rightarrow y' = 6{x^2} + 6x - 12\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.\).

Ta có: \(y\left( 1 \right) = 2 + 3 - 12 + 1 =  - 6\) suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(\left( {1; - 6} \right)\).

TXĐ: \(D = R.\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x =  - 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

Từ hình vẽ, suy ra \({S_{\Delta ABC}} = 2{S_{\Delta AHC}} = 2.\frac{1}{2}.AH.HC = 1\).

Ta có \[g'\left( x \right) = \left( {2x - 3} \right)f'\left( {{x^2} - 3x} \right)\]

\[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3 = 0\\f'\left( {{x^2} - 3x} \right) = 0\end{array} \right.\]

Từ đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] ta có phương trình

\[f'\left( {{x^2} - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x =  - 2\\{x^2} - 3x = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\{x^2} - 3x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x =  - 1\\x = 4\end{array} \right.\].

Ta cũng có \[f'\left( {{x^2} - 3x} \right) > 0 \Leftrightarrow  - 2 < {x^2} - 3x < 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\\,\,\,2 < x < 4\end{array} \right.\].

Bảng xét dấu \[g'\left( x \right)\]

Vậy hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 3x} \right)\] có 5 điểm cực trị.

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có phương trình \[f'(x) = 0\] có các nghiệm là \[\left[ \begin{array}{l}x = a,\,\,\,\,a \in ( - \infty , - 1)\\x = b,\,\,\,\,b \in ( - 1;0)\end{array} \right.\].

Xét hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x} \right) \Rightarrow y' = 2\left( {x + 1} \right)f'\left( {{x^2} + 2x} \right)\), \[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\{x^2} + 2x = a\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} + 2x = b\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\]

Xét đồ thị hàm số \[y = x{}^2 + 2x\]

Từ đồ thị ta thấy phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác -1. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.