Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập có đáp án
12 câu hỏi
Cho P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(A È B) = 0,6. Hỏi A và B có độc lập hay không?
Từ công thức cộng xác suất, suy ra
P(AB) = P(A) + P(B) – P(A È B) = 0,4 + 0,5 – 0,6 = 0,3.
Lại có P(A) × P(B) = 0,4 ∙ 0,5 = 0,2.
Do đó, P(AB) ≠ P(A) × P(B).
Vậy A và B không độc lập.
Cho PA=25;PB=13;PA∪B=12. Hỏi A và B có độc lập hay không?
Từ công thức cộng xác suất, suy ra
P(AB) = P(A) + P(B) – P(A È B) = 25+13−12=730 .
Lại có PA⋅PB=25⋅13=215=430.
Do đó, P(AB) ≠ P(A) × P(B).
Vậy A và B không độc lập.
Gieo hai đồng xu cân đối. Xét các biến cố A: “Cả hai đồng xu đều ra mặt sấp”, B: “Có ít nhất một đồng xu ra mặt sấp”. Hỏi A và B có độc lập hay không?
Ta có W = {SS; SN; NS; NN}, n(W) = 4.
A = {SS}, n(A) = 1. Do đó PA=14.
B = {SS; SN; NS}, n(B) = 3. Do đó PB=34.
AB = A Ç B = {SS}, n(AB) = 1. Do đó PAB=14 .
Vì PAB=14=416≠P(A)⋅PB=316 nên A và B không độc lập.
Vậy A và B không độc lập.
Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét các biến cố A: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”, B: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7”. Chứng tỏ rằng A và B không độc lập.
Vì gieo hai con xúc xắc cân đối nên ta có n(W) = 36.
Xét biến cố đối A¯: “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.
A¯=a,b:a,b∈1;2;3;4;6. Ta có nA¯=25.
Do đó PA¯=2536⇒PA=1−PA¯=1−2536=1136.
Ta có B = {(1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1)}, n(B) = 6.
Do đó PB=636.
AB = A Ç B = {(2, 5); (5, 2)}, n(AB) = 2. Do đó PAB=236.
Vì PAB=236=72362≠PA⋅PB=66362 nên A và B không độc lập.
Vậy A và B không độc lập.
Có 3 hộp I, II, III. Mỗi hộp chứa ba tấm thẻ đánh số 1, 2, 3. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xét các biến cố sau:
A: “Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ là 6”; B: “Ba tấm thẻ có ghi số bằng nhau”.
a) Tính P(A), P(B).
a) Ta có W = {(a, b, c): 1 ≤ a, b, c ≤ 3}, n(W) = 27.
A = {(1, 2, 3); (2, 1, 3); (3, 1, 2); (1, 3, 2); (3, 2, 1); (2, 3, 1); (2, 2, 2)}, n(A) = 7.
Do đó PA=727.
B = {(1, 1, 1); (2, 2, 2); (3, 3, 3)}, n(B) = 3. Do đóP(B)=327=19.
b) Hỏi A, B có độc lập không?
b) Có AB = A Ç B = {(2, 2, 2)}, n(AB) = 1. Vậy P(AB)=127.
Vì PAB=127=27272≠PA⋅PB=21272 nên A và B không độc lập.
Vậy A và B không độc lập.
Hai bạn An và Bình không quen biết nhau và đều học xa nhà. Xác suất để bạn An về thăm nhà vào ngày Chủ nhật là 0,2 và của bạn Bình là 0,25. Dùng sơ đồ hình cây để tính xác suất vào ngày Chủ nhật:
a) Cả hai bạn đều về thăm nhà.
Gọi A, B tương ứng là các biến cố: “Bạn An về thăm nhà vào ngày Chủ nhật” và “Bạn Bình về thăm nhà vào ngày Chủ nhật”. A và B là hai biến cố độc lập.
Ta có sơ đồ hình cây:
a) P(AB) = P(A) × P(B) = 0,2 × 0,25 = 0,05.
Vậy xác suất để cả hai bạn đều về thăm nhà là 0,05.
b) Có ít nhất một bạn về thăm nhà.
b) P(A È B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,2 + 0,25 – 0,05 = 0,4.
Vậy xác suất để có ít nhất một bạn về thăm nhà là 0,4.
c) Cả hai bạn đều không về thăm nhà.
c) PA¯B¯=PA¯⋅PB¯=0,8⋅0,75=0,6 .
Vậy xác suất để cả hai bạn đều không về thăm nhà là 0,6.
d) Chỉ có bạn An về thăm nhà.
d) PAB¯=PA⋅PB¯=0,2⋅0,75=0,15 .
Vậy xác suất để chỉ có bạn An về thăm nhà là 0,15.
e) Có đúng một bạn về thăm nhà.
e) PAB¯∪A¯B=PAB¯+PA¯B=0,2⋅0,75+0,8⋅0,25=0,35 .
Vậy xác suất để có đúng một bạn về thăm nhà là 0,35.
Cho A, B là hai biến cố độc lập và P(AB) = 0,1; PAB¯=0,4. Tìm PA∪B¯.
Theo công thức cộng xác suất ta có: PA∪B¯=PA+PB¯−PAB¯.
Lại có A=AB∪AB¯ , suy ra PA=PAB+PAB¯=0,1+0,4=0,5.
Do A, B là hai biến cố độc lập nên P(AB) = P(A) × P(B) hay 0,1 = 0,5 × P(B)
⇒ P(B) = 0,2.
Vì P(B) = 0,2 nên PB¯=1−PB=1−0,2=0,8.
Do đó PA∪B¯=PA+PB¯−PAB¯ = 0,5 + 0,8 – 0,4 = 0,9.
Vậy PA∪B¯=0,9.
