Bài tập Các bài toán thực tiễn vận dụng công thức nhân xác suất lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,9 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,15 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Anh Hà tiếp xúc với một người bệnh hai lần, trong đó có một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Xác suất anh Hà bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc đó là
0,9;
0,15;
0,135;
0,19.
Đáp án đúng là: C
Gọi A là biến cố “anh Hà bị lây bệnh từ người bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang". P(A) = 0,9.
Gọi B là biến cố “anh Hà bị lây bệnh từ người bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang". P(B) = 0,15.
Vì A và B là 2 biến cố độc lập nên xác suất của biến cố "anh Hà bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc đó” là: P(AB) = 0,9 . 0,15 = 0,135Minh mua 2 bóng đèn. Theo một kết quả thống kê, tỉ lệ bị hỏng trong năm đầu sử dụng của loại bóng đèn Minh mua là 23%. Xác suất để cả hai bóng đèn đều không bị hỏng trong năm đầu sử dụng là
0,23;
0,0529;
0,1771;
0,5929.
Đáp án đúng là: D
Do tỉ lệ bóng bị hỏng trong năm đầu sử dụng là 23% nên xác suất 1 bóng bị hỏng trong năm đầu sử dụng là 0,23.
Xác suất để 1 bóng không bị hỏng trong năm đầu sử dụng là 1 – 0,23 = 0,77.
Gọi A là biến cố: “Cả hai bóng đèn đều không bị hỏng trong năm đầu sử dụng”.
Do đó P(A) = 0,77.0,77 = 0,5929.
Một người vừa gieo một con xúc xắc để ghi lại số chấm xuất hiện, sau đó người này tiếp tục chọn ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để số chấm trên con xúc xắc là lớn nhất và chọn được một lá bài tây là
Đáp án đúng là: B
Gọi A là biến cố: "Số chấm của xúc xắc lớn nhất", B là biến cố: "Chọn được một lá bài tây".
Dễ thấy A và B là hai biến cố độc lập.
Ta có: A = {6} nên .
Ta biết bộ bài 52 lá thì có 12 lá bài tây, nên xác suất chọn được một lá bài tây là
Ta có biến cố AB là “Số chấm trên con xúc xắc là lớn nhất và chọn được một lá bài tây”.
Suy ra .
Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc 1 hệ thống bóng đèn. Hệ thống này gồm 2 bóng mắc nối tiếp. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15. Biết tình trạng của mỗi bóng đèn là độc lập. Xác suất để hệ thống đèn bị hỏng (không sáng) sau 6 giờ thắp sáng là
0,0225;
0,9775;
0,2775;
0,6215.
Đáp án đúng là: C
Nhận xét: Hệ thống đèn chỉ hoạt động bình thường khi cả hai bóng bình thường.
Gọi A là biến cố: "Hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng " thì là biến cố “Hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng”.
Do khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 nên xác suất để 1 bóng đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng là 1 – 0,15 = 0,85.
Xác suất để hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng là:
Suy ra: .
Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc 1 hệ thống bóng đèn. Hệ thống này gồm 2 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15. Biết tình trạng của mỗi bóng đèn là độc lập. Xác suất để hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng là
0,0225;
0,9775;
0,5656;
0,6215.
Đáp án đúng là: B
Nhận xét: Hệ thống đèn gồm 2 bóng được mắc song song nên nó chỉ hỏng khi cả hai bóng đều hỏng.
Gọi A là biến cố: "Hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng " thì là biến cố “Hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng”.
Do khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 nên xác suất để 1 bóng đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng là 0,15.
Xác suất để hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng là P(A) = 0,15.0,15 = 0,0225.
Vậy xác suất để hệ thống đèn hoạt động bình thường là
Trong một đội tuyển có 2 vận động viên An và Bình thi đấu với xác suất chiến thắng lần lượt là 0,7 và 0,6. Giả sử mỗi người thi đấu một trận độc lập nhau. Xác suất để đội tuyển thắng cả hai trận là
0,26;
0,38;
0,88;
0,42.
Đáp án đúng là: D
Gọi A là biến cố "Vận động viên An chiến thắng", P(A) = 0,7.
B là biến cố "Vận động viên Bình chiến thắng", P(B) = 0,6.
AB là biến cố "Đội tuyển thắng cả hai trận".
Do A và B là hai biến cố độc lập nên P(AB) = P(A).P(B) = 0,7 . 0,6 = 0,42.
Trong một trận đấu bóng đá quan trọng ở vòng đấu loại trực tiếp, khi trận đấu buộc phải giải quyết bằng loạt sút luân lưu 11 m, huấn luyện viên đội X đưa danh sách lần lượt 5 cầu thủ có xác suất sút luân lưu 11 m thành công là 0,8; 0,8; 0,76; 0,72; 0,68. Xác suất để chỉ có cầu thủ cuối cùng sút trượt luân lưu (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn) là
0,112;
0,009;
0,469;
0,357
Đáp án đúng là: A
Gọi Ai (1 i 5, i ℕ) là biến cố: "Cầu thủ thứ i của đội X sút luân lưu thành công".
Xác suất cần tìm là:
= 0,8 . 0,8 . 0,76 . 0,72 . (1 – 0,68) 0,112.
Hộp A đựng 5 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 5, hộp B đựng 6 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 6, hai thẻ khác nhau ở mỗi hộp đánh hai số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên từ hộp A một tấm thẻ và từ hộp B hai tấm thẻ. Gọi X là biến cố: "Chọn được thẻ mang số lẻ từ hộp A", Y là biến cố: "Chọn được thẻ mang số chẵn từ hộp A", và Z là biến cố: "Chọn được hai thẻ mang số lẻ từ hộp B". Xác suất để tích số được ghi trên ba tấm thẻ thu được là số chẵn là
Đáp án đúng là: D
Nhận xét: Để có được tích ba số ghi trên ba thẻ là số lẻ thì cả ba thẻ thu được đều mang số lẻ.
Gọi U là biến cố: "Tích ba số ghi trên ba thẻ là số lẻ" thì là xác suất cần tìm.
Dễ thấy cặp biến cố X và Z là độc lập.
Ta có: , .
Khi đó:
Suy ra: .
Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn. Hệ thống I gồm 2 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 2 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15. Biết tình trạng của mỗi bóng đèn là độc lập. Xác suất để cả hai hệ thống bị hỏng (không sáng) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm nghìn) là
0,02251;
0,97753;
0,27754;
0,00624.
Đáp án đúng là: D
Nhận xét: Hệ thống I gồm 2 bóng mắc nối tiếp nên nó chỉ hoạt động bình thường khi cả hai bóng bình thường. Hệ thống II gồm 2 bóng được mắc song song nên nó chỉ hỏng khi cả hai bóng đều hỏng.
⦁ Gọi A là biến cố: "Hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng " thì là biến cố “Hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng”.
Do khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 nên xác suất để 1 bóng đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng là 1 – 0,15 = 0,85.
Xác suất để hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng là:
Suy ra: .
⦁ Gọi B là biến cố: "Hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng ".
Do khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 nên xác suất để 1 bóng đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng là 0,15.
Xác suất để hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng là P(B) = 0,15.0,15 = 0,0225.
Vậy xác suất để cả hai hệ thống I, II đều bị hỏng là:
Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A được chế tạo cân đối. Đồng xu B được chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Xác suất để khi gieo hai đồng xu một lần thì cả hai đều ngửa là
Đáp án đúng là: A
Gọi X là biến cố: "Đồng xu A xuất hiện mặt ngửa".
Gọi Y là biến cố: "Đồng xu B xuất hiện mặt ngửa".
Vì đồng xu A chế tạo cân đối nên .
Vì xác suất xuất hiện mặt sấp của đồng xu gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa của nó nên .
Xác suất khi gieo hai đồng xu một lần thì chúng đều ngửa:
.
Hai xạ thủ A và B độc lập cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ A là 0,7 và của xạ thủ B là 0,8. Tính xác suất để cả hai xạ thủ đều bắn trúng mục tiêu.
0,56.
0,14.
0,24.
0,06.
Đáp án đúng là: A
Gọi A là biến cố "Xạ thủ A bắn trúng mục tiêu", B là biến cố "Xạ thủ B bắn trúng mục tiêu"
Vì hai xạ thủ bắn độc lập nên A và B là hai biến cố độc lập
Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập:
P(AB) = P(A) ⋅ P(B) = 0,7 ⋅ 0,8 = 0,56.
Hộp I chứa 5 quả bóng trắng và 3 quả bóng đen. Hộp II chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng lấy ra đều là màu trắng.
\(\frac{{15}}{{64}}\).
\(\frac{5}{{16}}\).
\(\frac{1}{4}\)
\(\frac{9}{{32}}\).
Đáp án đúng là: C
Gọi A là biến cố "Lấy được bóng trắng từ hộp I", B là biến cố "Lấy được bóng trắng từ hộp II"
Xác suất lấy bóng trắng từ hộp I: P(A) = \(\frac{5}{{5 + 3}}\) = \(\frac{5}{8}\)
Xác suất lấy bóng trắng từ hộp II: P(B) = \(\frac{4}{{4 + 6}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\)
Vì việc lấy bóng ở hai hộp là độc lập, xác suất để cả hai quả bóng lấy ra đều màu trắng là:
P(AB) = P(A) ⋅ P(B) = \(\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{4}\) = 0,25.
Hai bạn An và Bình độc lập giải một bài toán. Xác suất An giải được bài toán là 0,9 và Bình giải được là 0,8. Sử dụng sơ đồ hình cây, hãy tính xác suất để cả hai bạn đều không giải được bài toán.
0,02.
0,72.
0,18.
0,08.
Đáp án đúng là: A
Gọi A là biến cố "An giải được bài toán", B là biến cố "Bình giải được bài toán"
Biến cố “Cả hai bạn đều không giải được bài toán” là \(\overline A \overline B \)
Ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả như sau:
Theo sơ đồ hình cây, ta có: P(\(\overline A \overline B \)) = P(\(\overline A \)) ⋅ P(\(\overline B \)) = 0,1 ⋅ 0,2 = 0,02.
Hai học sinh gieo hai loại hạt giống A và B. Xác suất để hạt A nảy mầm là 0,85 và hạt B nảy mầm là 0,9. Giả sử sự nảy mầm của hai hạt là độc lập. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất để hạt A nảy mầm còn hạt B không nảy mầm.
0,765.
0,085.
0,135.
0,015.
Đáp án đúng là: B
Gọi A là biến cố "Hạt A nảy mầm", B là biến cố "Hạt B nảy mầm"
⇒ Biến cố “hạt A nảy mầm còn hạt B không nảy mầm” là A\(\overline B \)
Ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả như sau:
Theo sơ đồ hình cây, ta có: P(A\(\overline B \)) = P(A) ⋅ P(\(\overline B \)) = 0,85 ⋅ 0,1 = 0,085.
Trong một kỳ thi, xác suất một thí sinh đỗ là 60%. Hai bạn X, Y cùng dự kỳ thi đó. Biết rằng kết quả thi của hai bạn X và Y là độc lập. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là:
0,24.
0,36.
0,16.
0,48.
Đáp án đúng là: D
Xác suất để một thí sinh đỗ là 60% = 0,6
Gọi A là biến cố "Bạn X thi đỗ" ⇒ P(A) = 0,6
Gọi B là biến cố "Bạn Y thi đỗ" ⇒ P(B) = 0,6
⇒ Biến cố "Chỉ có bạn X đỗ còn bạn Y trượt" là \(A\overline B \)
⇒ Biến cố "Chỉ có bạn Y đỗ còn bạn X trượt" là \(\overline A B\)
Ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả như sau:
Theo sơ đồ hình cây, xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là:
P = P(\(A\overline B \)) + P(\(A\overline B \)) = P(A) ⋅ P(\(\overline B \)) + P(\(\overline A \)) ⋅ P(B)
P = 0,6 ⋅ 0,4 + 0,4 ⋅ 0,6 = 0,24 + 0,24 = 0,48.
Túi I chứa 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Túi II chứa 7 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một viên bi. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Xác suất lấy được bi xanh ở túi I là 0,04.
Xác suất lấy được bi đỏ ở túi II là 0,3.
Xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu xanh là 0,28.
Xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu đỏ là 0,18.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Gọi A là biến cố "Lấy được bi xanh ở túi I"
Túi I có tổng cộng: 4 + 6 = 10 (viên bi)
Xác suất lấy được bi xanh ở túi I là: P(A) = \(\frac{4}{{10}}\) = 0,4 ≠ 0,04.
b) Đúng. Gọi B là biến cố "Lấy được bi xanh ở túi II"
⇒ Biến cố lấy được bi đỏ ở túi II là biến cố đối \(\overline B \)
Túi II có tổng cộng: 3 + 7 = 10 (viên bi)
Xác suất lấy được bi đỏ ở túi I là: P(\(\overline B \)) = \(\frac{3}{{10}}\) = 0,3.
c) Đúng. Biến cố “Lấy được hai viên bi cùng màu xanh” là biến cố AB
Áp dụng công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A) ⋅ P(B) = 0,4 ⋅ 0,7 = 0,28.
d) Đúng. Biến cố “Lấy được hai viên bi cùng màu đỏ” là biến cố \(\overline A \overline B \)
Ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả như sau:
Theo sơ đồ hình cây, ta có: P(\(\overline A \overline B \)) = P(\(\overline A \)) . P(\(\overline B \)) = 0,6 ⋅ 0,3 = 0,18.
Hai vận động viên Hoa và Mai tham gia thi đấu hai môn thể thao độc lập. Xác suất Hoa thắng là 0,6 và Mai thắng là 0,7. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Xác suất cả hai cùng thắng là 0,34.
Xác suất Hoa thắng và Mai thua là 0,18.
Xác suất Hoa thua và Mai thắng là 0,28.
Xác suất cả hai cùng thua là 0,21.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Gọi A là biến cố "Hoa thắng" ⇒ P(A) = 0,6
Gọi B là biến cố "Mai thắng" ⇒ P(B) = 0,7
⇒ Biến cố “Cả hai cùng thắng” là biến cố AB
Áp dụng công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A) ⋅ P(B) = 0,6 ⋅ 0,7 = 0,42 ≠ 0,34.
b) Đúng. Biến cố “Hoa thắng và Mai thua” là biến cố A\(\overline B \)
Ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả như sau:
Theo sơ đồ hình cây, ta có: P(A\(\overline B \)) = P(A) ⋅ P(\(\overline B \)) = 0,6 ⋅ 0,3 = 0,18.
c) Đúng. Biến cố “Hoa thua và Mai thắng” là biến cố \(\overline A \)B
Theo sơ đồ hình cây ở câu b), ta có: P(\(\overline A \)B) = P(\(\overline A \)) ⋅ P(B) = 0,4 ⋅ 0,7 = 0,28.
d) Sai. Biến cố “Cả hai cùng thua” là biến cố \(\overline A \overline B \)
Theo sơ đồ hình cây ở câu b), ta có:
P(\(\overline A \overline B \)) = P(\(\overline A \)) ⋅ P(\(\overline B \)) = 0,4 ⋅ 0,3 = 0,12 ≠ 0,21.
Hai bạn An và Bình không quen biết nhau và đều học xa nhà. Xác suất để bạn An về thăm nhà vào ngày Chủ nhật là 0,2 và của bạn Bình là 0,25. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Xác suất để cả hai bạn đều về thăm nhà vào ngày Chủ nhật bằng 0,25.
Xác suất để có ít nhất một bạn về thăm nhà vào ngày Chủ nhật bằng 0,4.
Xác suất để chỉ có bạn An về thăm nhà vào ngày Chủ nhật bằng 0,2.
Xác suất để có đúng một bạn về thăm nhà vào ngày Chủ nhật bằng 0,35.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Gọi A là biến cố "An về thăm nhà vào ngày Chủ nhật" ⇒ P(A) = 0,2
Gọi B là biến cố "Bình về thăm nhà vào ngày Chủ nhật" ⇒ P(B) = 0,25
⇒ Biến cố “Cả hai bạn đều về thăm nhà vào ngày Chủ nhật” là biến cố AB
Vì A và B độc lập, theo công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A) ⋅ P(B) = 0,2 ⋅ 0,25 = 0,05.
b) Đúng. Biến cố "Không có bạn nào về thăm nhà" là \(\overline A \overline B \)
Ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả như sau:
Theo sơ đồ hình cây, ta có: P(\(\overline A \overline B \)) = P(\(\overline A \)) ⋅ P(\(\overline B \)) = 0,8 ⋅ 0,75 = 0,6
Vì "Có ít nhất một bạn về thăm nhà" là biến cố đối của "Không có bạn nào về thăm nhà"
⇒ P(Có ít nhất một bạn về thăm nhà) = 1 – 0,6 = 0,4.
c) Sai. Biến cố “Chỉ có bạn An về thăm nhà là biến cố An về và Bình không về” là A\(\overline B \)
Theo sơ đồ hình cây ở câu b), ta có: P(A\(\overline B \)) = P(A) ⋅ P(\(\overline B \)) = 0,2 ⋅ 0,75 = 0,15 ≠ 0,2.
d) Đúng. Biến cố "Có đúng một bạn về thăm nhà" bao gồm 2 trường hợp độc lập:
Chỉ có An về: A\(\overline B \) với xác suất P(A\(\overline B \)) = 0,2 ⋅ 0,75 = 0,15
Chỉ có Bình về: \(\overline A \)B với xác suất P(\(\overline A \)B) = 0,8 ⋅ 0,25 = 0,2
Xác suất để có đúng một bạn về thăm nhà là: P = 0,15 + 0,2 = 0,35.
Thống kê tại một trung tâm kiểm định xe ô tô cho thấy xác suất một xe vi phạm lỗi phanh là 0,05 và vi phạm lỗi đèn là 0,1. Hai lỗi này xuất hiện độc lập nhau. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Xác suất xe vi phạm cả hai lỗi phanh và đèn là 0,05.
Xác suất xe chỉ vi phạm lỗi phanh mà không vi phạm lỗi đèn là 0,045.
Xác suất xe không vi phạm lỗi phanh nhưng vi phạm lỗi đèn là 0,095.
Xác suất xe không vi phạm lỗi phanh và cũng không vi phạm lỗi đèn là 0,855.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Gọi A là biến cố "Xe vi phạm lỗi phanh" ⇒ P(A) = 0,05
Gọi B là biến cố "Xe vi phạm lỗi đèn" ⇒ P(B) = 0,1
⇒ Biến cố “Xe vi phạm cả hai lỗi phanh và đèn” là biến cố AB
Áp dụng công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A) ⋅ P(B) = 0,05 ⋅ 0,1 = 0,005 ≠ 0,05.
b) Đúng. Biến cố “Xe chỉ vi phạm lỗi phanh mà không vi phạm lỗi đèn” là A\(\overline B \)
Ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả như sau:
Theo sơ đồ hình cây, ta có: P(A\(\overline B \)) = P(A) ⋅ P(\(\overline B \)) = 0,05 ⋅ 0,9 = 0,045.
c) Đúng. Biến cố “Xe không vi phạm lỗi phanh nhưng vi phạm lỗi đèn” là \(\overline A \)B
Theo sơ đồ hình cây ở câu b), ta có: P(\(\overline A \)B) = P(\(\overline A \)) ⋅ P(B) = 0,95 ⋅ 0,1 = 0,095.
d) Đúng. Biến cố “Xe không vi phạm cả hai lỗi” là biến cố \(\overline A \overline B \)
Theo sơ đồ hình cây ở câu b), ta có: P(\(\overline A \overline B \)) = P(\(\overline A \)) ⋅ P(\(\overline B \)) = 0,95 ⋅ 0,9 = 0,855.
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất một cách độc lập. Gọi A là biến cố "Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm", B là biến cố "Con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt lẻ chấm (1, 3, hoặc 5)". Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Xác suất của biến cố A là P(A) = \(\frac{1}{6}\).
Xác suất của biến cố B là P(B) = \(\frac{1}{2}\).
Biến cố A và B là hai biến cố độc lập.
Xác suất để con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm và con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt lẻ chấm là \(\frac{1}{4}\).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Gọi A là biến cố "Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm"
Con xúc xắc cân đối và đồng chất có 6 mặt, mặt 6 chấm xuất hiện 1 lần
Xác suất của biến cố A là: P(A) = \(\frac{1}{6}\).
b) Đúng. Gọi B là biến cố "Con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt lẻ chấm"
Các mặt lẻ chấm gồm 3 mặt (1, 3, 5) trong tổng số 6 mặt
Xác suất của biến cố B là: P(B) = \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
c) Đúng. Kết quả xuất hiện mặt chấm của con xúc xắc thứ nhất hoàn toàn không ảnh hưởng đến kết quả của con xúc xắc thứ hai
Do đó, A và B là hai biến cố độc lập.
d) Sai. Biến cố "Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm và con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt lẻ chấm" là biến cố AB
Áp dụng công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A) ⋅ P(B) = \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{{12}} \ne \frac{1}{4}\).
Hai học sinh ném mỗi người một phi tiêu vào bia một cách độc lập. Tính xác suất của biến cố có ít nhất một học sinh không ném trúng bia. Biết rằng xác suất ném trúng bia của hai học sinh lần lượt là \(\frac{1}{2}\) và \(\frac{1}{3}\). (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Đáp án: 0,8
Gọi A là biến cố "Học sinh thứ nhất ném trúng bia" ⇒ P(A) = \(\frac{1}{2}\)
Gọi B là biến cố "Học sinh thứ hai ném trúng bia" ⇒ P(B) = \(\frac{1}{3}\)
⇒ Biến cố "Cả hai học sinh đều ném trúng bia" là biến cố AB
Áp dụng công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A) ⋅ P(B) = \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)
Biến cố "Có ít nhất một học sinh không ném trúng bia" chính là biến cố đối của biến cố "Cả hai học sinh đều ném trúng bia"
⇒ P = 1 – P(AB) = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\) ≈ 0,8.
Đại diện hai đội bóng rổ X và Y cùng thực hiện ném một bóng 3 điểm một cách độc lập. Biết xác suất ném bóng vào rổ của hai tuyển thủ A và B lần lượt \(\frac{1}{5}\) và \(\frac{2}{7}\). Tính xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.)
Đáp án: 0,06
Gọi A là biến cố "Tuyển thủ A ném bóng trúng rổ" ⇒ P(A) = \(\frac{1}{5}\)
Gọi B là biến cố "Tuyển thủ B ném bóng trúng rổ" ⇒ P(B) = \(\frac{2}{7}\)
⇒ Biến cố "Cả hai cùng ném bóng trúng rổ" là biến cố AB
Vì hai tuyển thủ thực hiện ném bóng độc lập nên áp dụng công thức nhân xác suất:
P(AB) = P(A) ⋅ P(B) = \(\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{{35}}\) ≈ 0,06.
Hai xạ thủ An và Bình cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Xác suất để xạ thủ An và Bình bắn trúng mục tiêu lần lượt là \(\frac{4}{5}\) và \(\frac{9}{{10}}\). Xác suất để có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu bằng \(\frac{a}{b}\) (phân số tối giản). Khi đó tổng a + b bằng bao nhiêu?
Đáp án: 63
Gọi A là biến cố "Xạ thủ An bắn trúng mục tiêu" ⇒ P(A) = \(\frac{4}{5}\)
Gọi B là biến cố "Xạ thủ Bình bắn trúng mục tiêu" ⇒ P(B) = \(\frac{9}{{10}}\)
Ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả như sau:
Biến cố "Có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu" gồm 2 trường hợp:
Trường hợp 1: An trúng và Bình trượt (A\(\overline B \))
Theo sơ đồ hình cây, ta có: P(A\(\overline B \)) = \(\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{{10}} = \frac{4}{{50}}\)
Trường hợp 2: An trượt và Bình trúng (\(\overline A \)B)
Theo sơ đồ hình cây, ta có: P(\(\overline A \)B) = \(\frac{1}{5} \cdot \frac{9}{{10}} = \frac{9}{{50}}\)
⇒ Xác suất để có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu là:
P = \(\frac{4}{{50}} + \frac{9}{{50}} = \frac{{13}}{{50}}\)
Do \(\frac{{13}}{{50}}\) là phân số tối giản nên a = 13 và b = 50
Tổng a + b = 13 + 50 = 63.
Hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào bia, biết xác suất bắn trúng vòng 10 của xạ thủ thứ nhất là 0,75 và của xạ thủ thứ hai là 0,85 . Tính xác suất để có ít nhất một viên trúng vòng 10? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.)
Đáp án: 0,96
Gọi A là biến cố "Xạ thủ thứ nhất bắn trúng vòng 10" ⇒ P(A) = 0,75
Gọi B là biến cố "Xạ thủ thứ hai bắn trúng vòng 10" ⇒ P(B) = 0,85
Biến cố "Không có viên đạn nào trúng vòng 10" là biến cố \(\overline A \overline B \)
Ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả như sau:
Theo sơ đồ hình cây, ta có:
P(\(\overline A \overline B \)) = P(\(\overline A \)) ⋅ P(\(\overline B \)) = 0,25 ⋅ 0,15 = 0,0375
Biến cố "Có ít nhất một viên trúng vòng 10" chính là biến cố đối của biến cố "Không có viên đạn nào trúng vòng 10"
⇒ P = 1 – P(\(\overline A \overline B \)) = 1 – 0,0375 = 0,9625 ≈ 0,96.
Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,95 và 0,8 . Hãy tính xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt.
Đáp án: 0,76
Gọi A là biến cố "Động cơ I chạy tốt" ⇒ P(A) = 0,95.
Gọi B là biến cố "Động cơ II chạy tốt" ⇒ P(B) = 0,8.
Biến cố "Cả hai động cơ đều chạy tốt" là biến cố AB
Vì hai động cơ hoạt động độc lập với nhau nên áp dụng công thức nhân xác suất:
P(AB) = P(A) ⋅ P(B) = 0,95 ⋅ 0,8 = 0,76.
