Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Bài 2: Phép tính lôgarit có đáp án

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, a ≠ 2 ta có:  ${\log }_{\frac{a}{2}}\left(\frac{a^2}{4}\right)={\log }_{\frac{a}{2}}\left(\frac{a^2}{2^2}\right)={\log }_{\frac{a}{2}}{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=2.$

Đáp án đúng là: A

Với a > 0 ta có: ${\log }_2\left(\frac{8}{a}\right)={\log }_{2}8-{\log }_{2}a={\log }_2{2}^3-{\log }_{2}a$

            = 3log₂2 – log₂ a = 3 – log₂ a.

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, b > 0, c > 0, a ≠ 1 ta có:

log_a(b²c³) = log_ab² + log_ac³ = 2log_ab + 3log_ac = 2.2 + 3.3 = 13.

Đáp án đúng là: D

Với a > 0 ta có:

   ln(9a) – ln(3a) = ln(3.3a) – ln(3a)

= ln3 + ln(3a) – ln(3a) = ln3.

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, b > 0 ta có: ${\log }_2\left(\frac{2a^3}{b}\right)={\log }_2\left(2a^3\right)-{\log }_{2}b$

= log₂2 + log₂a³ – log₂b = 1 + 3log₂a – log₂b.

Đáp án đúng là: D

Với a > 0, a ≠ 1 và b > 0 ta có: ${\log }_{a^2}\left(ab\right)=\frac{1}{2}{\log }_a\left(ab\right)=\frac{1}{2}\left({\log }_{a}a+{\log }_{a}b\right)$

$=\frac{1}{2}\left(1+lo{g}_{a}b\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\log }_{a}b.$

Đáp án đúng là: D

Nếu log₂3 = a thì  ${\log }_{6}9=\frac{{\log }_{2}9}{{\log }_{2}6}=\frac{{\log }_2{3}^2}{{\log }_{2}3+lo{g}_{2}2}$ $=\frac{2{\log }_{2}3}{{\log }_{2}3+1}=\frac{2a}{a+1}.$

Đáp án đúng là: D

Với a > 0, b > 0 ta có:

a² + b² = 7ab hay a² + 2ab + b² = 9ab ⇒ (a + b)² = 9ab.

 $\Rightarrow a+b=\sqrt{9ab}\Rightarrow a+b=3{\left(ab\right)}^{\frac{1}{2}}$ (Vì a > 0, b > 0).

Xét:  $\log \left(a+b\right)=\log \left[3{\left(ab\right)}^{\frac{1}{2}}\right]$

                     $=\log 3+\log {\left(ab\right)}^{\frac{1}{2}}$

                     $=\log 3+\frac{1}{2}\left(\log a+\log b\right).$

Với x > 0, y > 0 ta có:

x² + 4y² = 6xy ⇒ x² + 4xy + 4y² = 10xy

                   ⇒ (x + 2y)² = 10xy.

Suy ra: 2log(x + 2y) = log(x + 2y)²

        = log(10xy) = log10 + logx + logy

        = 1 + logx + logy.

Vậy 2log(x + 2y) = 1 + logx + logy.

Do log_xa, log_yb, log_zc theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có: 

$2{\log }_{y}b={\log }_{x}a+{\log }_{z}c$

$\iff 2{\log }_{y}b=\frac{1}{{\log }_{a}x}+\frac{1}{{\log }_{c}z}$

$\iff 2{\log }_{y}b=\frac{{\log }_{c}z+{\log }_{a}x}{{\log }_{a}x.{\log }_{c}z}$

$\iff \frac{2}{{\log }_{b}y}=\frac{{\log }_{a}x+{\log }_{c}z}{{\log }_{a}x.{\log }_{c}z}$

$\Rightarrow {\log }_{b}y=\frac{2{\log }_{a}x.{\log }_{c}z}{{\log }_{a}x+{\log }_{c}z}$

Chất phóng xạ có chu kì bán rã là T = 5730 (năm).

Suy ra:  $\lambda =\frac{\ln 2}{5730}.$

Gọi t là độ tuổi của mẫu gỗ cổ.

Vì độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại là 0,250 Bq nên ta có H₀ = 0,250 Bq.

Khi khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xa là 0,215 Bq, suy ra ta có H = 0,215 Bq.

Ta có: $H=H_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow 0,215=0,250\cdot e^{-\frac{\ln 2}{5730}\cdot t}$

$\Rightarrow e^{-\frac{\ln 2}{5730}\cdot t}=\frac{0,215}{0,250}=\frac{43}{50}$

$\Rightarrow e^{\frac{\ln 2}{5730}\cdot t}=\frac{50}{43}\Rightarrow \frac{\ln 2}{5730}\cdot t=\ln \frac{50}{43}$

$\Rightarrow t=\ln \frac{50}{43}:\frac{\ln 2}{5730}\approx 1247.$

Vậy độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó xấp xỉ 1 247 năm.