\({\log _2}\sqrt a - {\log _2}b = 3\) Û \({\log _2}\frac{{\sqrt a }}{b} = 3\)\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt a }}{b} = {2^3}\)\( \Leftrightarrow \sqrt a = 8b\)\( \Leftrightarrow a = 64{b^2}\).

ln(ab) = lna + lnb.

\({a^{2 - 3{{\log }_a}b}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^{3{{\log }_a}b}}}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^3}}} = {a^2}{b^{ - 3}}\).

Có 3^a = 5 Û a = log₃5.

log₂₅81\( = {\log _{{5^2}}}{3^4}\)\( = \frac{4}{2}{\log _5}3\)\( = \frac{2}{{{{\log }_3}5}} = \frac{2}{a}\).

P = 3log₂(log₄16) + \({\log _{\frac{1}{2}}}2\) \( = 3{\log _2}2 - {\log _2}2 = 3 - 1 = 2\).

log₃₆₀5 = 1 + mlog₃₆₀2 + nlog₃₆₀3 Û log₃₆₀5 = log₃₆₀360 + log₃₆₀2^m + log₃₆₀3ⁿ

Û log₃₆₀5 = log₃₆₀360.2^m.3ⁿ Û 5 = 360.2^m.3ⁿ Û 2^m.3ⁿ = 72⁻¹ Û 2^m.3ⁿ = 2⁻³.3⁻².

Suy ra m = −3; n = −2.

a) 3m + 2n = −9 −4 =−13.

b) m² + n² = 9 + 4 = 13.

c) mn = 6.

d) m + n = −5.

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

a) \(A = {\left( {{a^3}\sqrt a } \right)^{{{\log }_a}b}} + {\left( {\sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)^{{{\log }_b}a}}\)\( = {a^{\frac{7}{2}{{\log }_a}b}} + {b^{\frac{2}{3}{{\log }_b}a}}\)\( = {b^{\frac{7}{2}}} + {a^{\frac{2}{3}}}\)\( = \sqrt {{b^7}} + \sqrt[3]{{{a^2}}}\).

b) \(B = \log \frac{a}{b} + \log \frac{b}{c} + \log \frac{c}{d} - \log \frac{a}{d}\)\[ = \log \frac{{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}}}{{\frac{a}{d}}} = 0\].

c) \(A + B\sqrt a = \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}} \).

d) \(A - B\sqrt b = \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}} \).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

a) \(A = {\log _{{2^{2030}}}}4 - \frac{1}{{1015}} + \ln {e^{2035}}\)\( = \frac{2}{{2030}}{\log _2}2 - \frac{1}{{1015}} + 2035\)\( = \frac{1}{{1015}} - \frac{1}{{1015}} + 2035 = 2035\).

Suy ra A chia hết cho 5.

b) \(B = {\log _5}3.{\log _2}5 - \frac{{\ln 9}}{{\ln 4}}\)\( = {\log _5}3.{\log _2}5 - \frac{{\ln {3^2}}}{{\ln {2^2}}}\)\( = \frac{{\ln 3}}{{\ln 5}}.\frac{{\ln 5}}{{\ln 2}} - \frac{{\ln 3}}{{\ln 2}} = 0\).

Suy ra A – B = 2035.

c) A + 2024B = 2035.

d) A – 2024B = 2035.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) \(a = {\log _{27}}5 = {\log _{{3^3}}}5 = \frac{1}{3}{\log _3}5\).

b) Ta có \(a.c = c.a = {\log _2}3.{\log _{27}}5 = {\log _2}3.\frac{1}{3}.{\log _3}5 = \frac{1}{3}.{\log _2}3.{\log _3}5 = \frac{1}{3}{\log _2}5\).

c) Có \(\frac{{a.c}}{b} = \frac{{\frac{1}{3}{{\log }_2}5}}{{{{\log }_8}7}} = \frac{1}{3}{\log _2}5.{\log _7}8 = \frac{1}{3}{\log _2}5.3.{\log _7}2 = {\log _7}2.{\log _2}5 = {\log _7}5\).

d) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = {\log _{27}}5 = \frac{1}{3}{\log _3}5\\b = {\log _8}5 = \frac{1}{3}{\log _2}7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _3}5 = 3a\\{\log _2}7 = 3b\end{array} \right.\).

Mà \[{\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}\left( {7.5} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{{3.2}^2}} \right)}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}}\]\[ = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}}\]\[ = \frac{{3b + c.3a}}{{c + 2}} = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{c + 2}}\].

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Với M = 2 thì logx = 14,8 Û x ≈ 6,3.10¹⁴ erg.

b) Với M = 3 ta được logx = 16,3 Û x ≈ 2.10¹⁶ erg = 2.10⁹ jun.

c) d) Gọi x₁; x₂ (erg) lần lượt là năng lượng tạo ra của hai trận động đất có độ lớn lần lượt là M₁ = 5; M₂ = 3 (độ Richter).

Ta có logx₁ = 11,8 + 1,5M₁; logx₂ = 11,8 + 1,5M₂

\( \Rightarrow \log {x_1} - \log {x_2} = 1,5\left( {{M_1} - {M_2}} \right)\)\( \Rightarrow \log \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = 3\)\( \Rightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = {10^3} = 1000\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

\(A = {9^{{{\log }_3}5 + {{\log }_3}2}}\)\( = {9^{{{\log }_3}10}}\)\( = {3^{2{{\log }_3}10}} = {10^2} = 100\).

Trả lời: 100.

Ta có \({x^2} + 9{y^2} = 6xy\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 3y} \right)^2} = 12xy\)\( \Leftrightarrow {\log _{12}}{\left( {x + 3y} \right)^2} = {\log _{12}}\left( {12xy} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{\log _{12}}\left( {x + 3y} \right) = {\log _{12}}12 + {\log _{12}}x + {\log _{12}}y\)\( \Leftrightarrow M = \frac{{{{\log }_{12}}12 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}} = 1\)

Trả lời: 1.

M = log₂2 + log₂4 + log₂8 + …+ log₂256

= log₂(2.2².2³…2⁸) = log₂2^{1 + 2 + 3 + …+ 8} = (1 + 2 + 3 + …+ 8)log₂2 = 1 + 2 + 3 + … + 8 = 36.

Trả lời: 36.

Gọi \({M_1},{M_2}\) lần lượt là cường độ của trận động đất ở San Francisco và ở Nam Mỹ. Trận động đất ở San Francisco có cường độ là 8 độ Richter nên:

\({M_1} = \log A - \log {A_0} \Leftrightarrow 8 = \log A - \log {A_0}.\)

Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là \(4A\), khi đó cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là:

\({M_2} = \log (4A) - \log {A_0} = \log 4 + \left( {\log A - \log {A_0}} \right) = \log 4 + 8 \approx 8,6\)(độ Richter).

Trả lời: 8,6.

\(p{H_{dd}} = - \log \left( {17 \cdot {{10}^{ - 5}}} \right) = - \left[ {\log 17 + \log {{10}^{ - 5}}} \right] = - [\log 17 - 5] \approx 3,77\).

Trả lời: 3,77.