10 Bài tập Sử dụng tính chất của lôgarit để biển đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, a ≠ 2 ta có: ${\log }_{\frac{a}{2}}\left(\frac{a^2}{4}\right)={\log }_{\frac{a}{2}}\left(\frac{a^2}{2^2}\right)={\log }_{\frac{a}{2}}{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=2.$

Đáp án đúng là: A

Với a > 0 ta có:  ${\log }_{4}a={\log }_4{\left(\sqrt{a}\right)}^2=2{\log }_4\sqrt{a}=2.16=32.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: log_{a $\frac{a}{b}$} = log_a a – log_a b = 1 – log_a b.

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, b > 0, c > 0, a ≠ 1 ta có:

log_a (b²c³) = log_a b² + log_a c³ = 2log_a b + 3log_a c = 2.2 + 3.3 = 13.

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, b > 0 ta có:

log₂  $\left(\frac{2a^3}{b}\right)$= log₂ 2a³ – log₂ b

                    = log₂ 2 + log₂ a³ – log₂ b

                    = 1 + 3log₂ a – log₂ b.

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, b > 0, a ≠ 1 và log_ab = 5 thì

                  $$\begin{gathered} {\log }_{a^{2}b}\left(a{b}^2\right)=\frac{{\log }_a\left(a{b}^2\right)}{{\log }_a\left(a^{2}b\right)}=\frac{{\log }_{a}a+{\log }_a{b}^2}{{\log }_a{a}^2+{\log }_{a}b} \\ =\frac{1+2{\log }_{a}b}{2+lo{g}_{a}b}=\frac{1+2.5}{2+5}=\frac{11}{7}. \end{gathered}$$

Đáp án đúng là: D

Với a, b, c là các số thực dương, ta có:

    $$\begin{gathered} P=\log \frac{a}{b}+\log \frac{b}{c}+\log \frac{c}{d}-\log \frac{a}{d} \\ =\log \left(\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}\right)-\log \frac{a}{d}=\log \left(\frac{a}{d}:\frac{a}{d}\right)=\log 1=0. \end{gathered}$$

Đáp án đúng là: D

Với a > 0, b > 0 ta có:

a² + b² = 7ab hay a² + 2ab + b² = 9ab ⇒ (a + b)² = 9ab.

 $\Rightarrow a+b=\sqrt{9ab}\Rightarrow a+b=3{\left(ab\right)}^{\frac{1}{2}}$(do a > 0, b > 0).

Xét: $\log \left(a+b\right)=\log \left[3{\left(ab\right)}^{\frac{1}{2}}\right]$

$$\begin{gathered} =\log 3+\log {\left(ab\right)}^{\frac{1}{2}} \\ =\log 3+\frac{1}{2}\left(\log a+\log b\right). \end{gathered}$$

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, a ≠ 1, $a^{\frac{1}{2}}=b$ ta có:

                   ${\log }_{ab}\left(a\sqrt{b}\right)={\log }_{a\cdot a^{\frac{1}{2}}}\left(a\sqrt{a^{\frac{1}{2}}}\right)={\log }_{a^{\frac{3}{2}}}\left(a.a^{\frac{1}{4}}\right)=\frac{2}{3}{\log }_a\left(a^{1+\frac{1}{4}}\right)$

$=\frac{2}{3}{\log }_a{a}^{\frac{5}{4}}=\frac{2}{3}.\frac{5}{4}=\frac{5}{6}.$

Đáp án đúng là: B

   ${\log }_{a\sqrt[3]{b}}\left(\sqrt[4]{a\sqrt{b}}\right)=\frac{{\log }_a\sqrt[4]{a\sqrt{b}}}{{\log }_{a}a\sqrt[3]{b}}=\frac{{\log }_a\sqrt[4]{a{b}^{\frac{1}{2}}}}{{\log }_a\left(a{b}^{\frac{1}{3}}\right)}=\frac{{\log }_a{\left(a{b}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{4}}}{{\log }_a\left(a{b}^{\frac{1}{3}}\right)}$

$=\frac{{\log }_a\left(a^{\frac{1}{4}}.b^{\frac{1}{2}.\frac{1}{4}}\right)}{{\log }_a\left(a{b}^{\frac{1}{3}}\right)}=\frac{{\log }_a\left(a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{8}}\right)}{{\log }_a\left(a{b}^{\frac{1}{3}}\right)}=\frac{{\log }_a{a}^{\frac{1}{4}}+{\log }_a{b}^{\frac{1}{8}}}{{\log }_{a}a+{\log }_a{b}^{\frac{1}{3}}}$

$=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}{\log }_{a}b}{1+\frac{1}{3}{\log }_{a}b}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}.4}{1+\frac{1}{3}.4}=\frac{9}{28}.$